Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Trang 80 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (t) = < 0 t 0 0t 1 gọi là hàm nhảy đơn vị (t, h) = h 1 [ (t) - (t - h)] = > < ht ,0t 0 ht 0 h 1 gọi là hàm xung (t) = 0h lim (t, h) = =+ 0t 0 0 t gọi là hàm xung Dirac (5.1.2) Định lý Hàm xung Dirac có các tính chất sau đây. 1. + dt)t( = 1 2. Với mọi hàm f liên tục tại 0 + dt)t()t(f = f(0) 3. t 3, (t) = t d)( = + 0 d)t( và (t) = (t) Chứng minh 1. + dt)t( = + dt)h,t(lim 0h = 0h lim h 0 dt)h,t( = 1 2. + dt)t()t(f = + dt)h,t(lim)t(f 0h = 0h lim h 0 dt)t(f h 1 = f(0) 3. Xét tích phân (t, h) = t d)h,( = << ht 1 ht0 h t 0t 0 Chuyển qua giới hạn (t) = 0h lim (t, h) Từ đó suy ra các hệ thức khác. Cho các hàm f, g F(3, ). Tích phân t 3, (fg)(t) = + d)t(g)(f (5.1.3) gọi là tích chập của hàm f và hàm g. Định lý Tích chập có các tính chất sau đây. 1. f, g L 1 f g L 1 và || f g || 1 || f || 1 || g || 1 2. f, g L 1 f g = g f 3. f L 1 C(3, ) f = f = f 4. f, g, h L 1 , (f + g) h = f h + g h Chứng minh Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 81 1. Do hàm g khả tích tuyệt đối nên bị chặn trên 3 (t, ) 3 2 , | f()g(t - ) | || g || | f() | Do f khả tích tuyệt đối nên tích phân suy rộng (fg)(t) hội tụ tuyệt đối và bị chặn đều || f g || 1 = + + dtd)t(g)(f + + ddt|)t(g||)(f| = || f || 1 || g || 1 2. t 3, (fg)(t) = + d)t(g)(f = + d)(g)t(f = (gf)(t) 3. t 3, (f)(t) = + d)h,(lim)t(f 0h = h 0 0h d)t(f h 1 lim = f(t) 4. Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân Đ2. Các bổ đề Fourier Bổ đề 1 Cho hàm f L 1 . Với mỗi f 3 cố định kí hiệu f x (t) = f(t - x) với mọi t 3 Khi đó ánh xạ : 3 L 1 , f f x là liên tục theo chuẩn. Chứng minh Ta chứng minh rằng > 0, > 0 : x, y 3, | x - y | < || (x) - (y) || 1 < Thật vậy Do hàm f khả tích tuyệt đối nên > 0, N > 0 : N|t| dt|)t(f| < 4 1 Trong khoảng [-N, N] hàm f có hữu hạn điểm gián đoạn loại một a 1 = - N < a 2 < < a m = N với = Max{ | a k - a k-1 | : k = 1 m} và trên mỗi khoảng con [a k-1 , a k ] hàm có thể thác triển thành hàm liên tục đều > 0, > 0 : | x - y | < | f(x) - f(y) | < m 2 Từ đó suy ra ớc lợng || (x) - (y) || 1 = + dt)yt(f)xt(f N|t| dt)yt(f)xt(f + = m 1k a a k 1k dt)yt(f)xt(f < Với mọi (, t, x) 3 * + ì 3 ì 3 kí hiệu Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Trang 82 Giáo Trình Toán Chuyên Đề H(t) = e -|t| và h (x) = + dte)t(H 2 1 ixt (5.2.1) Bổ đề 2 Các hàm H(t) và h (x) có các tính chất sau đây 1. t 3, 0 < H(t) 1 0 lim H( t) = 1 + lim H( t) = 0 2. ( , x) 3 * + ì 3 h (x) = 22 x 1 + + dx)x(h = 1 3. f L 1 (f h )(x) = + + dte)t(Hdse)s(f 2 1 ixtist 4. g L liên tục tại x 3 0 lim (g h )(f) = g(x) 5. f L 1 0 lim || f h - f || 1 = 0 Chứng minh 1. Suy ra từ định nghĩa hàm H(t) 2. Tính trực tiếp tích phân (5.2.1) h (x) = + + + + 0 t)ix( 0 t)ix( dtedte 2 1 = + + ix 1 ix 1 2 1 = 22 x 1 + 3. Theo định nghĩa tích chập và hàm h (f h )(x) = + dy)y(h)yx(f = + + dte)t(Hdye)yx(f 2 1 ixtt)yx(i Đổi biến s = x - y ở tích phân bên trong nhận đợc kết quả. 4. Theo định nghĩa tích chập và hàm h (g h )(x) = + dy)y(h)yx(g = + ds)s(h)sx(g 1 với y = s Ước lợng trực tiếp (x, s) 3 2 , | g(x - s)h 1 (s) | || g || | h 1 (s) | Suy ra tích phân trên bị chặn đều. Do hàm g liên tục nên có thể chuyển giới hạn qua dấu tích phân. (g h )(x) 0 + ds)s(h)x(g 1 = g(x) 5. Kí hiệu y 3, g(y) = || f y - f || 1 = + dx|)x(f)yx(f| 2|| f || 1 Theo bổ đề 1. hàm g liên tục tại y = 0 với g(0) = 0 và bị chặn trên toàn 3 Từ định nghĩa chuẩn, tích chập và hàm h Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 83 || fh - f || 1 = + dx|)x(f)x)(hf(| = + + dxdy)y(h))x(f)yx(f( + + dy)y(hdx|)x(f)yx(f| = (gh )(0) 0 g(0) = 0 Suy ra từ tính chất 4. của bổ đề 2. Đ3. Biến đổi Fourier Cho các hàm f, F L 1 kí hiệu 3, f ) ( ) = + dte)t(f ti (5.3.1) t 3, F ( (t) = + de)(F 2 1 it (5.3.2) Ngoài ra hàm f và hàm g gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên 3 nếu R dx|)x(g)x(f| = 0 Định lý Với các kí hiệu nh trên 1. f L 1 f ) C 0 L 1 và || f ) || || f || 1 2. F L 1 F ( C 0 L 1 và || F ( || || f || 1 3. Nếu f ) = F thì F ( n.k.h = f Chứng minh 1. Theo giả thiết hàm f khả tích tuyệt đối và ta có (, t) 3 2 , | f(t)e -i t | = | f(t) | Suy ra tích phân (5.3.1) bị chặn đều. Do hàm f(t)e -i t liên tục nên hàm f ) () liên tục. Biến đổi tích phân f ) () = + + dte)t(f )t(i = - + dte)t(f ti Cộng hai vế với công thức (5.3.1) suy ra 2| f ) () | + dt|e||)t(f)t(f| ti = || f - f || 1 + 0 Do ánh xạ liên tục theo chuẩn theo bổ đề 1. Ngoài ra, ta có Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Trang 84 Giáo Trình Toán Chuyên Đề || f ) || = sup R | f ) () | sup R + dt|e||)t(f| ti = || f || 1 2. Kí hiệu F - (t) = F(- t) với t 3. Biến đổi công thức (5.3.2) )t(F ( = + de)-(F 2 1 it = )t(F 2 1 - ) với = - Do hàm F L 1 nên hàm F - L 1 và kết quả đợc suy ra từ tính chất 1. của định lý. 3. Theo tính chất 3. của bổ đề 2 và tính chất của tích phân bị chặn đều (f h )(t) = + de)(H)(f 2 1 it ) = + de)(H)(F 2 1 it 0 )t(F ( Mặt khác theo tính chất 5. của theo bổ đề 2 || fh - f || 1 0 0 Do tính chất của sự hội tụ theo chuẩn t 3, (fh )(t) n.k.h 0 f(t) Do tính duy nhất của giới hạn suy ra F ( n.k.h = f Cặp ánh xạ F : L 1 C 0 , f f ) và F -1 : L 1 C 0 , F F ( (5.3.3) xác định theo cặp công thức (5.3.1) và (5.3.2) gọi là cặp biến đổi Fourier thuận nghịch. Do tính chất 3. của định lý sau này chúng ta lấy F = f ) và đồng nhất f F ( . Hàm f gọi là hàm gốc , hàm F gọi là hàm ảnh và kí hiệu là f F. Ví dụ 1. f(t) = e -at (t) f ) () = + + dte)t( t)ia( = + ia 1 với Re a > 0 f(t) = e - |t| ( > 0) f ) () = 0 t)i( dte + + + 0 t)i( dte = i 1 + + i 1 = 22 2 + 2. (t) u() = + dte)t( ti = 1 và u(t) = + de)( it = 1 F() = 2() 3. f(t) = > T |t|0 T |t|1 f ) () = T T ti dte = 2 Tsin F() = 2 Tsin F ( (t) = + de Tsin 2 2 1 ti f(t) ngoại trừ các điểm t = T F() = > T ||0 T ||1 F ( (t) = T T it de 2 1 = t Ttsin 2 1 f ) (t) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . . )t(F 2 1 - ) với = - Do hàm F L 1 nên hàm F - L 1 và kết quả đợc suy ra từ tính chất 1. của định lý. 3. Theo tính chất 3. của bổ đề 2 và tính chất của tích phân bị chặn đều (f h )(t). đổi Fourier thuận nghịch. Do tính chất 3. của định lý sau này chúng ta lấy F = f ) và đồng nhất f F ( . Hàm f gọi là hàm gốc , hàm F gọi là hàm ảnh và kí hiệu là f F. Ví dụ 1. f(t). thiết hàm f khả tích tuyệt đối và ta có (, t) 3 2 , | f(t)e -i t | = | f(t) | Suy ra tích phân (5.3.1) bị chặn đều. Do hàm f(t)e -i t liên tục nên hàm f ) () liên tục. Biến đổi tích phân