Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng nguyên lý điều khiển luồng theo tiến trình Poisson với tham số p1 pptx

7 Pr{B}= 1- µΔt Giả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ là thời gian phục vụ trung bình (thực tế được phân bố theo hàm mũ. D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đi trong khoảng Δt Giả sử Pr{D}=0, (2-1) Thực ra, nó chỉ ra rằng khi Δt nhỏ, sự kiện nhân (vừa đi vừa đến) là không xảy ra. Ngoài các giả thiết trên về đặc tính của tiến trình đến và tiến trình phục vụ, còn có thêm các giả thiết sau:  Tiến trình đến là tiến trình Poisson với tham số λ  Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ  Thời gian phục vụ phân bố theo hàm mũ với tham số 1/µ  Tiến trình đến là độc lập với tiến trình phục vụ và ngược lại Để phân tích hệ thống hàng đợi cần hiểu khái niệm “Trạng thái hệ thống”. Có thể định nghĩa thông qua biến thích hợp mô tả “ Sự phát triển theo thời gian” của hệ thống hàng đợi. Để thuận tiện cho hệ thống hàng đợi biến được chọn sẽ là số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t. Trạng thái hệ thống tại t = N(t)= Số lượng khách hàng tại thời điểm t (2-2) Tức là : p N (t)=Pr{N(t)=N} (2-3) với p N (t) là ký hiệu của trạng thái thứ N của hệ thống tại thời điểm t. Pr{N(t)=N} là xác suất có N khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t. Có nghĩa là có N khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t. Sử dụng trạng thái đầu tiên tại t=0, nếu ta có thể tìm pN(t) thì có thể mô tả hệ thống có quan hệ về mặt thời gian như thế nào? Tiếp theo, cho thời gian Δt →0. Xét các trạng thái có thể của hệ thống {0,1,…}(bằng đúng số lượng khách hàng trong hệ thống) tại thời điểm t ta có thể tìm trạng thái của hệ thống tại thời điểm t+Δt như sau: p 0 (t+Δt )= p 0 (t)(1-λΔt)+p 1 (t)µΔt, N=0. Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng nguyên lý điều khiển luồng theo tiến trình Poisson với tham số 8 p N (t+Δt )= p N (t)(1-λ Δt-µΔt)+p N-1 (t)λΔt+ p N+1 (t)µΔt, N>0 (2-4) ta luôn có điều kiện phân bố chuẩn: 0,1)(    ttp i i (2-5) Tức là chuẩn hóa các pi(t), t≥0, thành các tính chất phân bố rời rạc theo thời gian. Ta có thể tính giới hạn khi Δt →0 và có hệ phương trình vi phân: 0),()()()( )( 0),()( )( 11 10 0    Ntptptp dt tdp Ntptp dt tdp NNN N   (2-6) Để giải ta phảo cho điều kiện ban đầu. Giả sử rằng hệ thống hàng đợi bắt đầu tại thời điểm t=0 với N khách hàng ở trong hệ thống, điều kiện ban đầu được viết như sau: p i (0)=0, với i≠N p N (0)=1, với i=N (2-7) Sử dụng điều kiện ban đầu phù hợp hệ thống có thể được giải để được giải pháp thời gian ngắn (transient solution), một giải pháp phức tạp thậm chí cho các hệ đơn giản nhất. Bây giờ ta xét giải pháp trạng thái ổn định (equilibrium solution), t→∞. Khi đó ta có: 0,0 )( 0,0 )( 0   N dt tdp N dt tdp N (2-8) Vì vậy, p 0 (t)=p 0 , với N=0 p N (t)=p N , với N>0 (2-9) Định nghĩa ρ=λ /µ với ngụ ý rằng hệ thống hàng đợi ổn định với ρ <1, ta có: p 1 =ρp 0 p N+1 (t)=(1+ρ)p N - ρp N-1 =ρp N =ρ N+1 p 0, N>0 (2-10) Gỉa sử tuân theo điều kiện phân bố chuẩn, ta có: p i = ρ i (1-ρ ), i=0,1,… (2-11) với giải pháp trạng thái ổn định cho phân bố trạng thái với ρ <1. 9 giải pháp trạng thái ổn định không phụ thuộc điều kiện phân bố ban đầu. Tuy nhiên, nó cần điều kiện rằng tốc độ đến nhỏ hơn tốc độ phục vụ. Các tham số hiệu năng trung bình Số lượng trung bình của khách hàng trong hệ thống Nhắc lại rằng phân bố của trạng thái ổn định cho số lượng khách hàng trong hệ thống khi t→∞. Ví vậy, có thể suy ra số khách hàng trung bình trong hệ thống từ phân bố trạng thái ổn định của hệ thống như sau:           1 )1(][ 00 i i i i iipNE (2-12) Kết quả trên không áp dụng cho số trung bình khách hàng trong hệ thống tại một khoảng thời gian ngắn t (arbitrary time t). Số lượng trung bình của khách hàng trong hàng đợi Chú ý rằng số lượng khách hàng trong hàng đợi thì bằng với số lượng khách hàng trong hệ thống trừ đi 1. Sử dụng cùng các giả thiết ta có:                     11 )1( 1 )1(][ 2 0 111 ppippiNE i i i i i iQ (2-13) Chú ý rằng tổng bắt đầu từ i=1, do sự kiện khách hàng đợi chỉ đúng khi có nhiều hơn 0 khách hàng trong hệ thống. Chú ý rằng (i-1)!, do đang tìm số lượng khách hàng trung bình trong hàng đợi. Thời gian trung bình trong hệ thống Thời gian này có thể được phân chia thành hai thành phần :  Thời gian đợi  Thời gian phục vụ Tính toán các tham số hiệu năng này đòi hỏi những giả thiết thêm dựa trên đặc tính của hệ thống hàng đợi :  Quy tắc phục vụ khách hàng : Giả sử quy tắc “ first-come, first served” là khách hàng được phục vụ theo thứ tự như khi đến hệ thống  Phân bố trạng thái ổn định p k , k=0,1,…, cũng giống như phân bố xác suất của số lượng khách hàng trong hệ thống.  Thời gian phục vụ dư trung bình của khách hàng sẽ dùng để phục vụ khi tiến trình đến xảy ra với tốc độ 1/µ, cũng giống như vậy. Vì vậy được gọi là đặc tính không nhớ. Sử dụng các giả thiết cho thời gian trung bình trong hệ thống của khách hàng :   )1( 111 000             k k k k k k p k pp k WE (2-14) Thời gian trung bình trong hàng đợi (thời gian đợi để được phục vụ) 10 Với các giả thiết trên ta có:   )1( 0         k k Q p k WE (2-15) Chú ý rằng thời gian trung bình trong hàng đợi bằng với thời gian trung bình hệ thống trừ đi thời gian phục vụ:     )1( 1 )1( 11        WEWE Q (2-16) Có thể có khả năng rằng khách hàng phải chờ để được phục vụ Sử dụng phân bố trạng thái ổn định pk, k=0,1,…ta chú ý rằng lượng khách hàng đến luôn phải đợi để được phục vụ nếu số lượng khách hàng lớn hơn 0 trong hệ thống. Vì vậy, P wait =1-p 0 =ρ (2-17) Sử dụng server Ý nghĩa vật lý của tham số hiệu năng là nó đưa ra khoảng thời gian khi server bận. vì vậy, P busy =1-p 0 =ρ (2-18) Các cách tiếp cận đã trình bày được sử dụng để phân tích bất kỳ một hệ thống hàng đợi đều phải có các giả thiết sau:  Tiến trình đến là tiến trình poisson, có nghĩa là khoảng thời gian đến được phân bố theo hàm mũ.  Tiến trình đến với tốc độ đến thay đổi.  Hệ thống có một hoặc nhiều server  Thời gian phục vụ có dạng phân bố hàm mũ  Tiến trình đến là độc lập với các tiến trình phục vụ và ngược lại  Có vô hạn các vị trí đợi hữu hạn trong hệ thống Tất cả các giả thiết tạo thành lớp đơn giản nhất của hệ thống hàng đợi. 2.2. Nhắc lại các khái niệm thống kê cơ bản 2.2.1. Tiến trình điểm Các tiến trình đến là một tiến trình điểm ngẫu nhiên, với tiến trình này chúng ta có khả năng phân biệt hai sự kiện với nhau. Các thông tin về sự đến riêng lẻ (như thời gian phục vụ, số khách hàng đến) không cần biết, do vậy thông tin chỉ có thể dùng để quyết định xem một sự đến có thuộc quá trình hay không. 11 Mô tả tiến trình Chúng ta xem xét qui luật của tiến trình điểm thông thường, nghĩa là loại trừ các tình huống đến kép. Xét số lần cuộc gọi đến với cuộc gọi thứ i tại thời điểm Ti : 0 = T0 < T1 < T2 < < …… < Ti < Ti+1< …… (2-19) Lần quan sát thứ nhất tại T0 = 0. Số các cuộc gọi trong nửa khoảng thời gian mở [0, t] là N t , ở đây N t là một biến ngẫu nhiên với các tham số thời gian liên tục và thời gian rời rạc, khi t tăng thì N t không bao giờ giảm. Khoảng thời gian giữa hai lần đến là: X i = T i - T i-1 (2-20) Khoảng thời gian này gọi là khoảng thời gian giữa hai lần đến. Sự phân bố của tiến trình này gọi là sự phân bố khoảng đến. Tương ứng với hai biến ngẫu nhiên Nt và Xi, hai tiến trình này có thể được mô tả theo hai cách:  Cách biểu diễn số N t : khoảng thời gian t giữ không đổi, và ta xét biến ngẫu nhiên N t cho số cuộc gọi trong khoảng thời gian t.  Cách biểu diễn khoảng t i : số các cuộc gọi đến là hằng số (n), và ta xét biến ngẫu nhiên t i là khoảng thời gian diễn ra n cuộc gọi. Mối quan hệ căn bản giữa hai cách biểu diễn thể hiện đơn giản như sau: Nt < n khi và chỉ khi    n i in tXT 1 Điều này được biểu diễn bằng đẳng thức Feller - Jensen :     tTpnNp nt  với n = 1, 2,… (2-21) Phân tích tiến trình điểm có thể dựa trên cả hai cách này, về nguyên tắc chúng tương đương với nhau. Cách biểu diễn khoảng thời gian tương ứng với việc phân tích chuỗi thời gian thông thường. Cách biểu diễn số không song song với phân tích chuỗi thời gian. Số liệu thống kê được tính toán trên mỗi đơn vị thời gian và ta có các mức trung bình thời gian. Đặc tính của tiến trình điểm Phần này chúng xem xét đặc tính của nó thông qua cách biểu diễn số. Tính dừng (tính đồng nhất thời gian)(Stationarity-time homogeneity) : Tính chất này có thể mô tả là cho dù ở vị trí nào trên trục thời gian cũng vậy, phân bố xác suất tiến trình điểm là độc lập với thời điểm quan sát. Định nghĩa sau đây được sử dụng trong thực tế: 12 Định nghĩa: Cho tuỳ ý t 2 > 0 và với mỗi 0k  . Xác suất mà k cuộc gọi đến trong khoảng thời gian [t 1 , t 1 +t 2 ] là độc lập với t 1 , nghĩa là với mọi t, k ta có:     kNNpkNNp tttttttt   )()( 121121 (2-22) Đây là một trong nhiều định nghĩa về tính dừng của tiến trình điểm các cuộc gọi đến. Tính độc lập (Independence) Tính chất này thể hiện là: tương lai của tiến trình chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại. Định nghĩa: xác suất có k sự kiện (với k nguyên và lớn hơn hoặc bằng 0) trong khoảng [t 1 , t 1 +t 2 ] là độc lập với các sự kiện trước thời điểm t 1 :     kNNpnNNkNNp tttttt  )(|)( 120112 (2-23) Nếu điều này đúng với mọi t thì tiến trình này là tiến trình Markov: trạng thái tiếp theo chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, nhưng độc lập với việc nó đã có được như thế nào. Đây chính là tính chất không nhớ. Nếu tính chất này chỉ xảy ra tại các thời điểm nào đó (ví dụ thời điểm đến), thì những điểm này được gọi là các điểm cân bằng hay các điểm tái tạo. Khi đó tiến trình có nhớ giới hạn, và ta cần lưu lại điểm tái tạo gần nhất. Tính đều đặn (Regularity) Như đã nói ta loại trừ các tiến trình của nhiều cuộc gọi vào một thời điểm, vậy ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: một tiến trình điểm được gọi là đều đặn nếu xác suất xảy ra với nhiều hơn một sự kiện ở cùng một thời điểm bằng không:   0)(,0:),(2)(   totkhitoNNp ttt (2-24) 2.2.2. Tiến trình Poisson Tiến trình Poisson là tiến trình điểm quan trọng nhất bởi vì vai trò của nó cũng quan trọng như vai trò của phân bố chuẩn trong phân bố thống kê. Tất cả những tiến trình điểm ứng dụng khác đều là dạng tổng quát hoá hay dạng sửa đổi của tiến trình Poisson. Tiến trình Poisson mô tả rất nhiều tiến trình trong đời sống thực tế, do nó có tính ngẫu nhiên nhất. 13 Đặc tính của tiến trình Poisson : Những đặc tính cơ bản của tiến trình Poisson là:  Tính dừng  Tính độc lập tại mọi thời điểm  Tính đều đặn Hai tính chất sau là tính chất cơ bản, từ đó tiến trình Poisson có cường độ phụ thuộc thời gian.Từ các tính chất trên người ta có thể đưa ra các tính chất khác đủ để biểu diễn tiến trình Poisson, đó là:  Biểu diễn số: là số các sự kiện đến trong một khoảng thời gian với độ dài cố định được phân bố theo tiến trình Poisson.  Biểu diễn khoảng thời gian: là các khoảng thời gian X i giữa các sự kiện liên tiếp nhau được phân bố theo hàm mũ. Tiến trình đến Poisson sử dụng trong lưu lượng viễn thông của mạng chuyển mạch gói và mạng máy tính. Thêm vào đó tiến trình Poisson đã được sử dụng để mô tả các tiến trình nhiễu và để nghiên cứu hiện tượng các hố điện tử xuất hiện trong chất bán dẫn, và trong các ứng dụng khác … Ba vấn đề cơ bản được sử dụng để định nghĩa tiến trình đến Poisson. Xét một khoảng thời gian nhỏ t  (với 0   t ), như Hình 2-7. t  t tt   t Hình 2-7 Khoảng thời gian sử dụng để định nghĩa tiến trình Đó là:  Xác suất của một tiến trình đến trong khoảng thời gian t  được định nghĩa là )t(ot     , với 1t    và  là hằng số tỷ lệ lý thuyết.  Xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian t  là )t(ot1       Tiến trình đến không có nhớ: một tiến trình đến trong khoảng thời gian t  là độc lập với các tiến trình trước đó và các tiến trình trong tương lai. Nếu lấy một chu kỳ T, tìm xác suất p(k) của k tiến trình đến trong thời gian T được cho bởi:   ! )( k eT kp T k     với k = 0, 1, 2, 3…… (2-25) Nó được gọi là phân bố Poisson. Đây là một phân bố chuẩn 1)( 0    k kp và giá trị kỳ vọng là : 14     0 )()( k TkkpkE  (2-26) Phương sai : )()( 222 kEkE k   hay: TkE k   )( 2 (2-27) Tham số   là hằng số tỷ lệ, được xem là tham số tốc độ: T kE )(   Phương trình (2-25) mô tả tốc độ đến trung bình của tiến trình Poisson. Bình thường giá trị trung bình E(k) tiến tới không tương đương với  T lớn: TkE k ./1)(/   với nghĩa là  T lớn, phân bố có quan hệ chặt chẽ với giá trị trung bình  T. Do đó nếu một thông số (ngẫu nhiên) số các tiến trình đến n trong khoảng thời gian T lớn (‘lớn’ theo nghĩa  T >>1, hoặc T >> 1/  ), n/T có thể đánh giá  . Cũng chú ý là T e)0(p   . Khi  T tăng với phân bố đỉnh E (k) =  T, xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian T tiến đến không với e mũ T. 2.3. Định luật Little Xem xét một hệ thống hàng đợi, khách hàng đến là một tiến trình ngẫu nhiên. Các khách hàng đến hệ thống ở các thời điểm ngẫu nhiên và chờ được phục vụ thì khách hàng sẽ rời khỏi hệ thống. 2.3.1. Công thức Little Chúng ta có ký hiệu như sau: ) ( t N = Số cuộc gọi đến hệ thống tại thời điểm t. t  = Số cuộc gọi đi đến hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t). t  = Số cuộc gọi rời khỏi hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t). i T = Thời gian của cuộc gọi thứ i trong hệ thống (thời gian phục vụ). Như vậy: t N - Số lượng cuộc gọi trung bình đến hệ thống trong (0,t) là :   t tt dtN t N 0 1 t  - Mật độ cuộc gọi trong khoảng (0,t) là : t t t    t T - Thời gian trung bình của cuội gọi trong hệ thống là :    t i i t t TT   1 1 Giả sử các giới hạn sau đây tồn tại : 15 t t t t t t TTNN   lim;lim;lim  Có công thức sau: T N   (2-28) Công thức trên có tên gọi là Định lý Little Số cuộc gọi trung bình trong hệ thống bằng tích mật độ cuộc gọi với thời gian chiếm kênh trung bình. 2.3.2. Chứng minh công thức Little Chứng minh công thức Little bằng phương pháp hình học theo như minh họa dưới đây. Hình 2-8 Xét trong khoảng (0,t) : Diện tích phần gạch chéo:      t tt ttdtNS 0 )()(  Mặt khác diện tích này cũng bằng : S= 1.   t i Ti  1 Như vậy  t dttN 0 )( =   t i Ti  1  t i i t o t t t T t dtN t        1 1 tức là : ttt TN   (*) Nếu giới hạn sau đây tồn tại : 16 t t t t t t TTNN   lim;lim;lim  (**) Từ (*) và (**)  T N   Công thức được chứng minh 2.4. Các mô hình hàng đợi 2.4.1. Ký hiệu Kendall Bất kỳ hệ thống xếp hàng nào cũng được mô tả bởi : Tiến trình đến Nếu các khách hàng đến vào các thời điểm t1, t2 … tj thì các biến số ngẫu nhiên Pj=tj-tj-1 được gọi là các thời điểm giữa các lần đến. Các thời điểm này thường được giả thiết là các biến số ngẫu nhiên độc lập và được phân bố đồng nhất IID (Independent and Identycally distributed). Các tiến trình đến thông dụng nhất là : M: Tiến trình mũ (là tiến trình Markov hay tiến trình không nhớ) Er: Tiến trình Erlang bậc r Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r D: Tiến trình tất định (deterministic) G: Tiến trình chung Tiến trình phục vụ Thời gian mà mỗi công việc tiêu tốn cần thiết tại server gọi là thời gian phục vụ. Các thời gian phục vụ thường giả thiết là các biến số ngẫu nhiên IID. Các tiến trình phục vụ thông dụng nhất cũng giống như thời gian đến. Số lượng các bộ server: Số lượng các server phục vụ cho hàng đợi Dung lượng hệ thống Kích thước bộ nhớ đệm cực đại Qui mô mật độ Số lượng các công việc đến tại hàng đợi. Qui mô mật độ luôn là hữu hạn trong các hệ thống thực. Tuy nhiên phân tích hệ thống với qui mô mật độ lớn sẽ dễ dàng hơn nếu giả thiết rằng qui mô mật độ là vô hạn. Qui tắc phục vụ Thứ tự mà theo đó các công việc trong hàng xếp được phục vụ. Các qui tắc phổ biến nhất là đến trước phục vụ trước FCFS (First Come First Served), đến sau phục vụ trước LCFS (Last Come First Served), theo vòng tròn RR (Round Robin), thời gian xử lý ngắn nhất phục vụ trước SPT (Shortest Procesing Time First) và thời gian xử lý ngắn nhất được đề cử SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) Ký hiệu Kendall A/S/m/B/K/SD được sử dụng rộng rãi để mô tả hệ thống xếp hàng [...]...A: Phân bố thời gian giữa các lần đến S: Phân bố thời gian phục vụ m: Số lượng server B:Kích thước bộ đệm K: Quy mô mật độ SD: Quy tắc phục vụ Ví dụ hàng đợi M/D/1: M có nghĩa tiến trình đến là tiến trình Markov không nhớ (với thời gian giữa các lần đến theo hàm mũ); D thời gian phục vụ luôn như nhau (tất định); 1 có một server... (2-37) Chiều dài hàng đợi  Số lượng trung bình các khách hàng trong hệ thống L=   1  (2-38) Số lượng trung bình các job trong server: L S L S = 1P(n>=1) =1- P(n=0) =1-(1-  ) =   (2-39) Số lượng trung bình của các công việc trong hàng đợi L q  2 L q = L- L S = = 1  1  (2-40) Ví dụ: Cho Switch nhận các bản tin đến tốc độ 240bản tin/phút Độ dài bản tin có phân bố hàm mũ với chiều dài trung bình... suất ổn định trạng thái 0   Trong trường hợp này số kênh phục vụ bằng 1, chỉ có 1 server  : Mật độ lưu lượng  = Các công thức tính toán:  Xác suất có n khách hàng trong hệ thống Pn= (1-  )  n ; n=1,2, P0= (1-  )  (2-31) (2-32) Số lượng trung bình các khách hàng trong hệ thống L=E(n)= Phương sai:  n2 =  1  (2-33)  (1   ) 2 (2-34) Tham số thời gian  Thời gian trung bình của 1 khách hàng... phục vụ là FCFS 2.4.2 Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death) Trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng số các khách hàng n trong một hệ thống Khi có một khách hàng mới đến thì trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi sang n+1, khi có một khách hàng ra đi thì trạng thái hệ thống sẽ thay đổi sang n-1, ta có lược đồ chuyển tiếp trạng thái là quá trình sinh tử Hình 2-9 Chuỗi Markov của một quá trình sinh-tử n : Tốc... bản tin đi khỏi hệ thống là 500 ký tự/giây Tính các tham số sau :  Thời gian trung bình của bản một tin trong hệ thống  Số bản tin trung bình trong hệ thống  Tính chiều dài hàng đợi và thời gian đợi trung bình Bài giải: Xét hệ thống M/M/1: Tốc độ đến   240  4 bản tin/giây 60 Tốc độ phục vụ   500 5 100 Mật độ lưu lượng    4   0 8  5  Số bản tin trong hệ thống L=E(n)=  0 8   4 bản tin... 4   1 (s)  4  Chiều dài hàng đợi L q 19 Lq = 2 0,8.0,8   3,2 bản tin 1   1  0,8  Thời gian đợi trung bình W q Wq = L 2 3,2  q   0,8 (s)  (1   )  4 2.4.4 Hàng đợi M/M/1/K Hình 2-11 Với số khách hàng là k Pn = (  n ) P0 ; 0 . tính của tiến trình đến và tiến trình phục vụ, còn có thêm các giả thiết sau:  Tiến trình đến là tiến trình Poisson với tham số λ  Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ. tích quy trình ứng dụng nguyên lý điều khiển luồng theo tiến trình Poisson với tham số 8 p N (t+Δt )= p N (t)(1-λ Δt-µΔt)+p N-1 (t)λΔt+ p N+1 (t)µΔt, N>0 (2-4) ta luôn có điều. distributed). Các tiến trình đến thông dụng nhất là : M: Tiến trình mũ (là tiến trình Markov hay tiến trình không nhớ) Er: Tiến trình Erlang bậc r Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r D: Tiến trình tất