Vi phân tích doc

1 PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 2 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: )x(fyx YX:f = →  )x(fx  • Đơn ánh: ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) • Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: X→Y là song ánh thì f -1 : Y→X là ánh xạ ngược của f 3 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X,Y ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x 2 - 4x + 6 4 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f <=> g: f(x) <=> g(x), ∀ x ∈ X • f ± g = f(x) ± g(x), ∀x∈X • fg = f(x)g(x), ∀x∈X • af = af(x), ∀x∈X • f/g = f(x)/g(x), ∀x∈X, g(x)≠0 5 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua biến trung gian u. Ký hiệu f o g. Ví dụ: Tìm g o f, g o h, f o g, h o g với g = lg 2 x, f = sinx, h=e x Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y là một song ánh thì f -1 : Y→X được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f -1 đối xứng nhau qua đường y = x. 6 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 ∈ (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (f(x 1 ) ≥ f(x 2 )) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 ∈ (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) • Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu. Hàm số bị chặn: • f gọi bị chặn trên nếu ∃M: f(x) ≤ M, ∀x • f gọi bị chặn dưới nếu ∃m: f(x) ≥ m, ∀x • f gọi bị chặn nếu ∃M: |f(x)| ≤ M, ∀x 7 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: • Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2π. • Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T 0 = π. 8 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x ∈ X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X Ví dụ: f(x) = cosx + x- x 2 là Hàm số chẵn )1xxlg()x(g 2 ++= Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 9 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x α , với α ∈ R • α ∈ N: mxđ R • α nguyên âm: mxđ x ≠ 0. • α có dạng 1/p, p ∈ Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ • α là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x α tại mọi x ≥ 0, α > 0 và tại mọi x > 0 nếu α < 0. ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ Đồ thị của y = x α luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. 10 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = a x (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x dương. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. [...]... nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit, lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản • Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp  2 sin( x 2 ) + 3   f ( x ) = lg3    x2 + 2   15 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM . 1 PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 2 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ1 vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x α tại mọi x ≥ 0, α > 0 và tại mọi x > 0 nếu α < 0. ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ Đồ thị của y = x α luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu α >. số sơ cấp. • Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp.