Hay tu . o . ng d¯u . o . ng W −1 ˆ f =( ¯ DD + γA −1 B) −1 ¯ DW −1 g. T`u . ´y ngh˜ıa cu ˙’ a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a ma trˆa . n A v`a B ta thˆa ´ yrˇa ` ng c´ac ma trˆa . n bˆen trong dˆa ´ u ngoˇa . cc´oda . ng d¯u . `o . ng ch´eo v`a do d¯´o c´o thˆe ˙’ ´ap du . ng c´ac kˆe ´ t qua ˙’ Phˆa ` n 5.2.3 d¯ˆe ˙’ viˆe ´ tla . idu . ´o . ida . ng (gia ˙’ thiˆe ´ t M = N) ˆ F (u, v)= ¯ H( u, v) |H( u, v)| 2 + γ[S η (u, v)/S f (u, v)] G(u, v) = 1 H( u, v) |H( u, v)| 2 |H( u, v)| 2 + γ[S η (u, v)/S f (u, v)] G(u, v) (5.22) v´o . i u, v =0, 1, ,N − 1, trong d¯´o |H(u, v)| 2 = ¯ H( u, v)H(u, v). Khi γ =1sˆo ´ ha . ng trong dˆa ´ u ngoˇa . c ngo`ai c`ung go . il`alo . c Wiener. Nˆe ´ u coi γ l`a biˆe ´ nd¯iˆe ` u khiˆe ˙’ n th`ı biˆe ˙’ uth´u . c n`ay go . il`alo . c tham sˆo ´ Wiener. Trong tru . `o . ng ho . . p khˆong c´o nhiˆe ˜ uth`ıS η (u, v) = 0 v`a lo . c Wiener ch´ınh l`a lo . c ngu . o . . cl´ytu . o . ˙’ ng x´et trong Phˆa ` n 5.4. Tuy nhiˆen khi γ = 1 th`ı Phu . o . ng tr`ınh (5.22) c´o thˆe ˙’ khˆong pha ˙’ il`al`o . i gia ˙’ itˆo ´ iu . u theo ngh˜ıa trong Phˆa ` n 5.3.2 do γ chu . achˇa ´ c d¯˜a thoa ˙’ m˜an r`ang buˆo . c g−H ˆ f 2 = n 2 . Tuy nhiˆen c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh rˇa ` ng l`o . i gia ˙’ iv´o . i γ =1l`atˆo ´ iu . u theo ngh˜ıa cu . . ctiˆe ˙’ u ho´a h`am E{[f(x, y) − ˆ f(x, y)] 2 }. Hiˆe ˙’ n nhiˆen d¯ˆay l`a tiˆeu chuˆa ˙’ n thˆo ´ ng kˆe trong d¯´o coi f v`a ˆ f l`a c´ac d¯a . ilu . o . . ng ngˆa ˜ u nhiˆen. Trong tru . `o . ng ho . . p S η (u, v)v`aS f (u, v) chu . abiˆe ´ t (b`ai to´an thu . `o . ng gˇa . p trong thu . . c tˆe ´ ) ta thu . `o . ng d`ung xˆa ´ pxı ˙’ ˆ F(u, v) 1 H( u, v) |H( u, v)| 2 |H( u, v)| 2 + K G(u, v) trong d¯´o K l`a hˇa ` ng sˆo ´ n`ao d¯´o. B`ai to´an cho . n γ sao cho tˆo ´ iu . u trong phu . chˆo ` ia ˙’ nh s˜e x´et trong Phˆa ` n 5.6. 5.6 Khˆoi phu . c b`ınh phu . o . ng tˆo ´ i thiˆe ˙’ u c´o d¯iˆe ` ukiˆe . n Phu . o . ng ph´ap b`ınh phu . o . ng tˆo ´ i thiˆe ˙’ u trong phˆa ` n tru . ´o . c l`a mˆo . tthu ˙’ tu . c thˆo ´ ng kˆe do tiˆeu chuˆa ˙’ ntˆo ´ iu . udu . . a trˆen c´ac ma trˆa . ntu . o . ng quan cu ˙’ aa ˙’ nh v`a h`am nhiˆe ˜ u. D - iˆe ` u n`ay chı ˙’ ra rˇa ` ng c´ac kˆe ´ t qua ˙’ nhˆa . nd¯u . o . . cbˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng lo . c Weiner l`a tˆo ´ iu . u theo ngh˜ıa trung b`ınh. Mˇa . t kh´ac, phu . chˆo ` ia ˙’ nh trong phˆa ` n n`ay l`a tˆo ´ iu . ud¯ˆo ´ iv´o . imˆo ˜ ia ˙’ nh cho tru . ´o . c v`a chı ˙’ cˆa ` nbiˆe ´ t tru . ´o . cvˆe ` nhiˆe ˜ u trung b`ınh v`a phu . o . ng sai. Ngo`ai ra, ch´ung ta c˜ung kha ˙’ o s´at b`ai to´an thay d¯ˆo ˙’ i tham sˆo ´ γ sao cho r`ang buˆo . c (5.13) thoa ˙’ m˜an. 131 Nhu . chı ˙’ ra trong Phˆa ` n 5.3.2, l`o . i gia ˙’ icu ˙’ a b`ai to´an phu . chˆo ` ia ˙’ nh nhˆa . nd¯u . o . . csu . ˙’ du . ng (5.13) phu . thuˆo . c v`ao ma trˆa . n Q.V`ıvˆa . y, trong mˆo . tsˆo ´ tru . `o . ng ho . . pa ˙’ nh bi . nho`e do nghiˆe . mcu ˙’ a b`ai to´an khˆong ˆo ˙’ nd¯i . nh khi thay d¯ˆo ˙’ i c´ac gi´a tri . cu ˙’ a ma trˆa . n Q. Do d¯´o vˆa ´ nd¯ˆe ` quan tˆam l`a nghiˆen c´u . u t´ınh chˆa ´ p nhˆa . nd¯u . o . . ccu ˙’ aviˆe . ccho . n ma trˆa . n Q sao cho nh˜u . ng a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng xˆa ´ u l`a ´ıt nhˆa ´ t. Ta c´o thˆe ˙’ ph´at biˆe ˙’ umˆo . t tiˆeu chuˆa ˙’ ntˆo ´ iu . udu . . a trˆen d¯ ˆo . d¯o cu ˙’ a t´ınh tro . nchˇa ˙’ ng ha . nnhu . :cu . . ctiˆe ˙’ u ho´a phiˆe ´ m h`am n`ao d¯´o phu . thuˆo . c v`ao c´ac d¯a . o h`am riˆeng bˆa . c hai. Tru . ´o . chˆe ´ tch´ung ta x´et tru . `o . ng ho . . pmˆo . tchiˆe ` u. V´o . i h`am r`o . ira . c f(x),x=0, 1, , d¯ a . o h`am bˆa . c hai ta . i x c´o thˆe ˙’ xˆa ´ pxı ˙’ bˇa ` ng ∂ 2 f(x) ∂x 2 f(x +1)−2f(x)+f(x − 1). Khi d¯´o, tiˆeu chuˆa ˙’ ndu . . a trˆen biˆe ˙’ uth´u . c n`ay l`a cu . . ctiˆe ˙’ u ho´a biˆe ˙’ uth´u . c[ ∂ 2 f(x) ∂x 2 ] 2 ;t´u . cl`a x [f(x +1)− 2f(x)+f(x − 1)] 2 −→ min . Hay du . ´o . ida . ng ma trˆa . n, cu . . ctiˆe ˙’ u ho´a phiˆe ´ m h`am f t C t Cf −→ min trong d¯´o C = 1 −21 1 −21 1 −21 . . . 1 −21 1 −2 1 l`a ma trˆa . n “tro . n” v`a f l`a vector m`a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a n´o l`a c´ac gi´a tri . f(x). Tu . o . ng tu . . , trong tru . `o . ng ho . . p 2D, ta cˆa ` ncu . . ctiˆe ˙’ u ho´a phiˆe ´ m h`am ∂ 2 f(x, y) ∂x 2 + ∂ 2 f(x, y) ∂y 2 2 −→ min (5.23) trong d¯´o to´an tu . ˙’ Laplace d¯u . o . . cxˆa ´ pxı ˙’ bo . ˙’ i ∂ 2 f ∂x 2 + ∂ 2 f ∂y 2 [2f(x, y) − f(x +1,y) −f(x − 1,y)] + [2f(x, y) − f(x, y +1)− f(x, y −1)] 4f(x, y) −[f(x +1,y)+f(x − 1,y)+ f(x, y +1)+f(x, y − 1)] . 132 Ta c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng cˆong th´u . c trˆen d¯ˆe ˙’ t´ınh to´an tu . ˙’ Laplace. Tuy nhiˆen c˜ung c´o thˆe ˙’ t´ınh biˆe ˙’ uth´u . c n`ay bˇa ` ng c´ach t´ıch chˆa . p h`am a ˙’ nh f(x, y)v´o . i to´an tu . ˙’ p(x, y):= 0 −10 −14−1 0 −10 . Nhu . chı ˙’ ra trong Phˆa ` n 5.1.3, lˆo ˜ iphu ˙’ trong t´ıch chˆa . pr`o . ira . c c´o thˆe ˙’ khˇa ´ c phu . cbˇa ` ng c´ach th´ac triˆe ˙’ n c´ac h`am f(x, y)v`ap(x, y). Tu . o . ng tu . . nhu . c´ach x´ac d¯i . nh f e ta c´o th´ac triˆe ˙’ n sau p e (x, y):= p(x, y)nˆe ´ u(x, y) ∈ [0, 2] ×[0, 2], 0nˆe ´ u x ∈ [3,M − 1] hoˇa . c y ∈ [3,N − 1]. Nˆe ´ u f(x, y) c´o k´ıch thu . ´o . c A ×B ta cho . n M ≥ A +3−1v`aN ≥ B +3−1dop(x, y) c´o k´ıch thu . ´o . c3× 3. Khi d¯´o t´ıch chˆa . p g e (x, y)= M−1 m=0 N− 1 n=0 f e (m, n) p e (x − m, y −n) tr `ung v´o . i (5.4). Tu . o . ng tu . . v´o . il´yluˆa . n trong Phˆa ` n 5.1.3, ta c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n tiˆeu chuˆa ˙’ nd¯ˆo . tro . no . ˙’ da . ng ma trˆa . n. D - ˆa ` u tiˆen, x´et ma trˆa . n khˆo ´ i chu tr`ınh C = C 0 C M−1 C M−2 C 1 C 1 C 0 C M−1 C 2 C M−1 C M−2 C M−3 C 0 , trong d¯´o C j l`a ma trˆa . n chu tr`ınh cˆa ´ p N × N x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i C j := p e (j, 0) p e (j, N −1) p e (j, N −2) p e (j, 1) p e (j, 1) p e (j, 0) p e (j, N −1) p e (j, 2) p e (j, 2) p e (j, 1) p e (j, 0) p e (j, 3) p e (j, N −1) p e (j, N −2) p e (j, N −3) p e (j, 0) . 133 V`ı C l`a ma trˆa . n khˆo ´ i chu tr`ınh nˆen c´o thˆe ˙’ ch´eo ho´a bˇa ` ng ma trˆa . n W trong Phˆa ` n 5.2.2. N´oi c´ach kh´ac E = W −1 CW (5.24) trong d¯´o E l`a ma trˆa . nd¯u . `o . ng ch´eo c´o c´ac phˆa ` ntu . ˙’ E(k,j)= P k N ,k mod N nˆe ´ u k = j, 0nˆe ´ u k = j. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay P(u, v) l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ a p e (x, y). Ch´u´yrˇa ` ng, c´ac phˆa ` n tu . ˙’ P (u, v) d¯ ˜a d¯ u . o . . c chia cho MN (xem d¯oa . n cuˆo ´ icu ˙’ a Phˆa ` n 5.2.3). Do d¯´o tiˆeu chuˆa ˙’ n l`am tro . na ˙’ nh cu ˙’ a (5.23) c´o da . ng f t C t Cf → min, trong d¯´o vector f ∈ R MN , C l`a ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p MN. D - ˇa . t Q=Cv`a ch´u´yrˇa ` ng Qf 2 = Qf, Qf = f t QQf ta d¯u . ad¯ˆe ´ ncu . . ctiˆe ˙’ u ho´a phiˆe ´ m h`am c´o da . ng trong Phˆa ` n 5.3.2: Qf 2 → min . Thˆa . tvˆa . y, nˆe ´ u d¯`oi ho ˙’ i g − H ˆ f 2 = n 2 th`ı nghiˆe . mtˆo ´ iu . u cho trong (5.13) v´o . i Q=Cl`a ˆ f =(H t H + γC t C) −1 H t g. Hay tu . o . ng d¯u . o . ng (do (5.7) v`a (5.24)) ˆ f =(W ¯ DDW −1 + γW ¯ EEW −1 ) −1 W ¯ DW −1 g. Suy ra W −1 ˆ f =( ¯ DD + γ ¯ EE) −1 ¯ DW −1 g. (5.25) Ch´u´yrˇa ` ng c´ac phˆa ` ntu . ˙’ bˆen trong dˆa ´ u ngoˇa . c c´o da . ng d¯u . `o . ng ch´eo v`a su . ˙’ du . ng kh´ai niˆe . m trong Phˆa ` n 5.2.3 ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t ˆ F(u, v)= ¯ H( u, v) |H( u, v)| 2 + γ|P (u, v)| 2 G(u, v), (5.26) 134 v´o . i u, v =0, 1, ,N−1. Nhˆa . n x´et rˇa ` ng (5.26) tu . o . ng tu . . v´o . ilo . c tham sˆo ´ Wiener trong Phˆa ` n 5.5. Kh´ac nhau chu ˙’ yˆe ´ ul`akˆe ´ t qua ˙’ sau n`ay khˆong yˆeu cˆa ` uhiˆe ˙’ ubiˆe ´ ttu . `o . ng minh c´ac tham sˆo ´ thˆo ´ ng kˆe ngoa . itr`u . mˆo . tu . ´o . clu . o . . ng nhiˆe ˜ u trung b`ınh v`a phu . o . ng sai. Tru . `o . ng ho . . ptˆo ˙’ ng qu´at, Phu . o . ng tr`ınh (5.13) yˆeu cˆa ` u tham sˆo ´ γ thoa ˙’ m˜an r`ang buˆo . c g −H ˆ f 2 = n 2 . V`ıvˆa . y nghiˆe . mcu ˙’ aphu . o . ng tr`ınh (5.26) chı ˙’ tˆo ´ iu . unˆe ´ u γ thoa ˙’ m˜an r`ang buˆo . c n`ay. Thuˆa . t to´an lˇa . pdu . ´o . id¯ˆayd`ung x´ac d¯i . nh tham sˆo ´ n`ay. X´et vector thˇa . ng du . r := g −H ˆ f. (5.27) Thay ˆ f ta d¯u . o . . c r = g −H(H t H + γC t C) −1 H t g. Nhu . vˆa . yc´othˆe ˙’ coi r l`a h`am cu ˙’ a γ. Thˆa . tvˆa . y, c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh rˇa ` ng Φ(γ)=r, r l`a h`am sˆo ´ d¯ o . nd¯iˆe . u tˇang theo γ. Ta cˆa ` nd¯iˆe ` uchı ˙’ nh γ sao cho r 2 = n 2 ± a, trong d¯´o a l`a hˆe . sˆo ´ d¯ o d¯ ˆo . ch´ınh x´ac. Hiˆe ˙’ n nhiˆen, nˆe ´ u r 2 = n 2 th`ı d¯iˆe ` ukiˆe . n g − H ˆ f 2 = n 2 s˜e thoa ˙’ m˜an. V`ıΦ(γ)d¯o . nd¯iˆe . u, nˆen ta c´o thˆe ˙’ dˆe ˜ d`ang x´ac d¯i . nh γ thoa ˙’ Phu . o . ng tr`ınh (5.25) theo c´ac bu . ´o . c sau: Bu . ´o . c1. Cho tru . ´o . c gi´a tri . ban d¯ˆa ` u γ; Bu . ´o . c2. T´ınh ˆ f v`a r 2 ;v`a Bu . ´o . c3. D`u . ng nˆe ´ u (??) thoa ˙’ m˜an; ngu . o . . cla . i tˇang γ nˆe ´ u r 2 < n 2 − a hoˇa . c gia ˙’ m γ nˆe ´ u r 2 > n 2 − a. Ta c´o thˆe ˙’ ´ap du . ng nh˜u . ng phu . o . ng ph´ap kh´ac t`ım γ, chˇa ˙’ ng ha . n thuˆa . t to´an Newton- Raphson, d¯ˆe ˙’ ca ˙’ i thiˆe . ntˆo ´ cd¯ˆo . hˆo . itu . . D - ˆe ˙’ thu . . chiˆe . n c´ac t´ınh to´an, ta cˆa ` nmˆo . t v`ai thˆong tin vˆe ` n 2 . Phu . o . ng sai cu ˙’ a η e (x, y)l`a σ 2 e = E{[η e (x, y) − ¯η e ] 2 } = E[η 2 e (x, y)] − ¯η 2 e , 135 . γC t C) −1 H t g. Hay tu . o . ng d¯u . o . ng (do (5. 7) v`a (5. 24)) ˆ f =(W ¯ DDW −1 + γW ¯ EEW −1 ) −1 W ¯ DW −1 g. Suy ra W −1 ˆ f =( ¯ DD + γ ¯ EE) −1 ¯ DW −1 g. (5. 25) Ch´u´yrˇa ` ng c´ac phˆa ` ntu . ˙’ bˆen. cho r`ang buˆo . c (5. 13) thoa ˙’ m˜an. 131 Nhu . chı ˙’ ra trong Phˆa ` n 5. 3.2, l`o . i gia ˙’ icu ˙’ a b`ai to´an phu . chˆo ` ia ˙’ nh nhˆa . nd¯u . o . . csu . ˙’ du . ng (5. 13) phu . thuˆo . c. −n) tr `ung v´o . i (5. 4). Tu . o . ng tu . . v´o . il´yluˆa . n trong Phˆa ` n 5. 1.3, ta c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n tiˆeu chuˆa ˙’ nd¯ˆo . tro . no . ˙’ da . ng ma trˆa . n. D - ˆa ` u tiˆen,