Chu . o . ng 5 KH ˆ OI PHU . CA ˙’ NH Nhu . trong tru . `o . ng ho . . p nˆang cao chˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh, mu . cd¯´ıch ch´ınh cu ˙’ a phu . chˆo ` ia ˙’ nh l`a ca ˙’ i thiˆe . na ˙’ nh theo ngh˜ıa n`ao d¯´o. B`ai to´an o . ˙’ d¯ˆay l`a phu . chˆo ` i hay xˆay du . . ng la . ia ˙’ nh bi . suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng du . . a trˆen nh˜u . ng hiˆe ˙’ ubiˆe ´ tvˆe ` a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng suy gia ˙’ m. C´ac phu . o . ng ph´ap trong chu . o . ng n`ay nhˇa ` m mˆo h`ınh ho´a qu´a tr`ınh suy gia ˙’ m v`a xu . ˙’ l´y ngu . o . . cd¯ˆe ˙’ phu . chˆo ` ia ˙’ nh gˆo ´ c. C´ach gia ˙’ i quyˆe ´ tthu . `o . ng liˆen quan d¯ˆe ´ n b`ai to´an tˆo ´ iu . u c´o d¯iˆe ` ukiˆe . n. Ngu . o . . cla . i, c´ac k˜y thuˆa . t nˆang cao chˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh liˆen quan d¯ˆe ´ n c´ac thu ˙’ tu . c heuristic d¯ u . o . . c thiˆe ´ tkˆe ´ d¯ ˆe ˙’ thao t´ac trˆen a ˙’ nh nhˇa ` mta . od¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . ichokh´ıa ca . nh tˆam l´y cu ˙’ ahˆe . thˆo ´ ng thi . gi´ac con ngu . `o . i. Chˇa ˙’ ng ha . n, d˜an d¯ˆo . tu . o . ng pha ˙’ nd¯u . o . . c xem l`a k˜y thuˆa . t nˆang cao chˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh v`ı mang la . ica ˙’ m gi´ac dˆe ˜ chi . u cho ngu . `o . i quan s´at, trong khi phu . chˆo ` ila . ia ˙’ nh bi . nho`ebˇa ` ng c´ach ´ap du . ng h`am gia ˙’ m nho`e d¯u . o . . c coi l`a k˜y thuˆa . t phu . chˆo ` ia ˙’ nh. C´ac phu . o . ng ph´ap phu . chˆo ` ia ˙’ nh tru . ´o . c d¯ˆay hˆa ` unhu . chı ˙’ su . ˙’ du . ng k˜y thuˆa . tmiˆe ` n tˆa ` nsˆo ´ . Tuy nhiˆen, chu . o . ng n`ay tˆa . p trung v`ao mˆo . t c´ach tiˆe ´ pcˆa . nd¯a . isˆo ´ hiˆe . nd¯a . iho . n nhu . ng c˜ung hiˆe . u qua ˙’ ho . n. Mˇa . cd`ul`o . i gia ˙’ i tru . . ctiˆe ´ pcu ˙’ a c´ac phu . o . ng ph´ap d¯a . isˆo ´ liˆen quan d¯ˆe ´ nviˆe . c gia ˙’ imˆo . thˆe . l´o . n c´ac phu . o . ng tr`ınh, nhu . ng ch´ung ta s˜e ch´u . ng to ˙’ rˇa ` ng, v´o . i nh˜u . ng gia ˙’ thiˆe ´ t nhˆa ´ td¯i . nh, d¯ˆo . ph´u . cta . p t´ınh to´an c´o thˆe ˙’ gia ˙’ mc`ung m´u . cnhu . trong c´ac phu . o . ng ph´ap phu . chˆo ` imiˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ . Nh˜u . ng vˆa ´ nd¯ˆe ` trong chu . o . ng n`ay chı ˙’ mang t´ınh gi´o . i thiˆe . u. Ch´ung ta x´et b`ai to´an phu . chˆo ` i a ˙’ nh sˆo ´ ho´a bi . suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng m`a khˆong kha ˙’ o s´at nh˜u . ng vˆa ´ nd¯ˆe ` liˆen quan d¯ˆe ´ nbˆo . ca ˙’ mbiˆe ´ n, sˆo ´ ho´a v`a suy gia ˙’ m trong hiˆe ˙’ n thi . .Nh˜u . ng vˆa ´ nd¯ˆe ` n`ay mˇa . cd`u quan tro . ng trong b`ai to´an phu . chˆo ` ia ˙’ nh, nhu . ng vu . o . . t qu´a pha . mvicu ˙’ a gi´ao tr`ınh. 111 5.1 Mˆo h`ınh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng Chu . o . ng n`ay x´et a ˙’ nh v`ao f(x, y)d¯u . o . . cxu . ˙’ l´y bo . ˙’ imˆo . thˆe . thˆo ´ ng H c´o x´et d¯ˆe ´ n nhiˆe ˜ u η(x, y)d¯ˆe ˙’ ta . oraa ˙’ nh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng g(x, y). Viˆe . c phu . chˆo ` ia ˙’ nh sˆo ´ c´o thˆe ˙’ xem nhu . mˆo . txˆa ´ pxı ˙’ cu ˙’ a f(x, y)du . . a trˆen g(x, y) v`a thˆong tin biˆe ´ t tru . ´o . ccu ˙’ a nhiˆe ˜ u η(x, y). 5.1.1 C´ac d¯i . nh ngh˜ıa Quan hˆe . gi˜u . a qu´a tr`ınh nhˆa . p xuˆa ´ ta ˙’ nh qua hˆe . thˆo ´ ng H c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ nbo . ˙’ i g(x, y):=H[f(x, y)] + η(x, y). (5.1) Tru . ´o . chˆe ´ t gia ˙’ thiˆe ´ trˇa ` ng nhiˆe ˜ u η =0. Khi d¯´o g(x, y)=H[f(x, y)]. Nhˇa ´ cla . i H l`a tuyˆe ´ n t´ınh nˆe ´ u H[k 1 f 1 (x, y)+k 2 f 2 (x, y)] = k 1 H[f 1 (x, y)] + k 2 H[f 2 (x, y)] trong d¯´o k 1 ,k 2 l`a c´ac hˇa ` ng sˆo ´ v`a f 1 (x, y),f 2 (x, y) l`a c´ac a ˙’ nh. D - ˇa . cbiˆe . t khi k 1 = k 2 =1 ta c´o t´ınh chˆa ´ t cˆo . ng t´ınh H[f 1 (x, y)+f 2 (x, y)] = H[f 1 (x, y)] + H[f 2 (x, y)]; n´oi c´ach kh´ac nˆe ´ u H l`a to´an tu . ˙’ tuyˆe ´ n t´ınh th`ı d¯´ap ´u . ng cu ˙’ atˆo ˙’ ng hai a ˙’ nh bˇa ` ng tˆo ˙’ ng cu ˙’ a hai d¯´ap ´u . ng. Ho . nn˜u . a to´an tu . ˙’ tuyˆe ´ n t´ınh H c´o t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t H[kf(x, y)] = kH[f(x, y)]. X´et mˆo ´ i quan hˆe . nhˆa . p-xuˆa ´ t g(x, y)=H[f(x, y)]. Ta n´oi H l`a bˆa ´ tbiˆe ´ nvi . tr´ı hay bˆa ´ tbiˆe ´ n khˆong gian nˆe ´ u H[f(x − α, y −β)] = g(x −α, y −β) v´o . imo . ia ˙’ nh f(x, y)v`aα, β ∈ R. N´oi c´ach kh´ac, d¯´ap ´u . ng ta . id¯iˆe ˙’ mbˆa ´ tk`y trong a ˙’ nh chı ˙’ phu . thuˆo . cv`aoa ˙’ nh m`a khˆong phu . thuˆo . cvi . tr´ı cu ˙’ ad¯iˆe ˙’ m trong a ˙’ nh. 112 5.1.2 Tru . `o . ng ho . . p liˆen tu . c Nhˇa ´ cla . i l`a (xem Phˆa ` n 3.3) h`am f(x, y) c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ nda . ng f(x, y)= R 2 f(α, β)δ(x −α, y − β)dαdβ. Do d¯´o, nˆe ´ u nhiˆe ˜ u η =0th`ıt`u . (5.1) ta c´o g(x, y)=H[f(x, y)] = H R 2 f(α, β)δ(x −α, y − β)dαdβ . Nˆe ´ u H l`a to´an tu . ˙’ tuyˆe ´ n t´ınh trˆen khˆong gian c´ac h`am a ˙’ nh, v`a ta mo . ˙’ rˆo . ng d¯ˇa . c tru . ng cˆo . ng th`anh t´ıch phˆan th`ı g(x, y)= R 2 H [f(α, β)δ(x −α, y − β)] dαdβ = R 2 f(α, β)H [δ( x − α, y −β)] dαdβ. H`am h(x, y, α, β)=H [δ(x −α, y − β)] . go . il`ad¯´ap ´u . ng xung cu ˙’ a H. N´oi c´ach kh´ac, nˆe ´ u nhiˆe ˜ u η =0th`ıh(x, y, α, β) l`a d¯´ap ´u . ng cu ˙’ a H d¯ ˆo ´ iv´o . i xung c´o cu . `o . ng d¯ˆo . 1ta . i(α, β). Trong quang ho . c, xung tro . ˙’ th`anh mˆo . td¯iˆe ˙’ m s´ang v`a h(x, y, α, β)d¯u . o . . cgo . il`ah`am phˆan t´an d¯iˆe ˙’ m (point spread function). Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay ta c´o g(x, y)= R 2 f(α, β)h(x, y, α, β)dαdβ. Biˆe ˙’ uth´u . cph´ıa bˆen pha ˙’ igo . il`at´ıch phˆan Fredholm loa . imˆo . t. D - ˇa ˙’ ng th´u . c trˆen d¯´ong vai tr`o quan tro . ng trong l´y thuyˆe ´ thˆe . tuyˆe ´ n t´ınh. N´o khˇa ˙’ ng d¯i . nh rˇa ` ng nˆe ´ ubiˆe ´ t d¯´ap ´u . ng cu ˙’ a H d¯ ˆo ´ iv´o . imˆo . t xung th`ı c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh d¯´ap ´u . ng cu ˙’ a h`am f(α, β)bˆa ´ tk`y. N´oi c´ach kh´ac, hˆe . tuyˆe ´ n t´ınh H ho`an to`an x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i d¯´ap ´u . ng xung cu ˙’ a n´o. Nˆe ´ u H bˆa ´ tbiˆe ´ n khˆong gian, th`ı H[δ(x −α, y − β)] = h(x − α, y −β). Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay g(x, y)= R 2 f(α, β)h(x −α, y − β)dαdβ ch´ınh l`a t´ıch chˆa . pcu ˙’ a f v`a h. 113 Trong tru . `o . ng ho . . p c´o nhiˆe ˜ u, mˆo h`ınh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh tuyˆe ´ nt´ınh c´o da . ng g(x, y)= R 2 f(α, β)h(x, y, α, β)dαdβ + η(x, y). Nˆe ´ u H bˆa ´ tbiˆe ´ n khˆong gian ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . i g(x, y)= R 2 f(α, β)h(x − α, y −β)dαdβ + η(x, y). D˜ı nhiˆen gia ˙’ thiˆe ´ t nhiˆe ˜ u trong ca ˙’ hai tru . `o . ng ho . . p khˆong phu . thuˆo . cvi . tr´ı cu ˙’ aa ˙’ nh. Nhiˆe ` u loa . i mˆo h`ınh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng c´o thˆe ˙’ xˆa ´ pxı ˙’ bo . ˙’ itiˆe ´ n tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh v`a bˆa ´ tbiˆe ´ nvi . tr´ı. Phu . o . ng ph´ap n`ay thuˆa . ntiˆe . nv`ıc´othˆe ˙’ su . ˙’ du . ng nhiˆe ` u cˆong cu . cu ˙’ a l´y thuyˆe ´ thˆe . tuyˆe ´ n t´ınh d¯ˆe ˙’ gia ˙’ i c´ac b`ai to´an phu . chˆo ` ia ˙’ nh. C´ac to´an tu . ˙’ phi tuyˆe ´ nv`a khˆong bˆa ´ tbiˆe ´ nvi . tr´ı mˇa . cd`u l`a tˆo ˙’ ng qu´at ho . n (v`a ch´ınh x´ac ho . n) thu . `o . ng kh´o t`ım l`o . i gia ˙’ i hoˇa . crˆa ´ t kh´o gia ˙’ ibˇa ` ng m´ay t´ınh d¯iˆe . ntu . ˙’ .Chu . o . ng n`ay d¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ n c´ac phu . o . ng ph´ap phu . chˆo ` ia ˙’ nh tuyˆe ´ n t´ınh v`a bˆa ´ tbiˆe ´ nvi . tr´ı. Tuy nhiˆen, v´o . inh˜u . ng gia ˙’ thiˆe ´ t n`ay, viˆe . c gia ˙’ imˆo . t c´ach tru . . ctiˆe ´ p c´o thˆe ˙’ vu . o . . t qu´a kha ˙’ nˇang cu ˙’ a m´ay t´ınh hiˆe . nnay. 5.1.3 Tru . `o . ng ho . . pr`o . ira . c Tru . ´o . chˆe ´ tx´et tru . `o . ng ho . . pmˆo . t chiˆe ` u v`a khˆong c´o nhiˆe ˜ u. Gia ˙’ su . ˙’ hai h`am f(x)v`a h(x)d¯u . o . . clˆa ´ ymˆa ˜ ud¯ˆe ` utu . o . ng ´u . ng hai ma ˙’ ng c´o k´ıch thu . ´o . ctu . o . ng ´u . ng A v`a B. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay x l`a biˆe ´ nr`o . ira . c thay d¯ˆo ˙’ i trong pha . mvi0, 1, ,A−1, d¯ ˆo ´ iv´o . i f(x) v`a trong pha . mvi0, 1, ,B− 1d¯ˆo ´ iv´o . i h(x). D - ˆe ˙’ c´o thˆe ˙’ lˆa ´ y t´ıch chˆa . pcu ˙’ a f(x)v`ah(x) ta cˆa ` nmo . ˙’ rˆo . ng k´ıch thu . ´o . cl`aM ≥ A + B − 1 (xem Phˆa ` n 3.3.8). Gia ˙’ su . ˙’ f e (x)v`ah e (x) l`a c´ac mo . ˙’ rˆo . ng tu . o . ng ´u . ng. T´ıch chˆa . pcu ˙’ ach´ung l`a g e (x):= M−1 m=0 f e (m)h e (x −m) (5.2) v´o . i x =0, 1, ,M−1. V`ı f e (x)v`ah e (x) tuˆa ` n ho`an v´o . ic`ung chu k`y M nˆen h`am g e (x) c˜ung tuˆa ` n ho`an v´o . i chu k`y M. Ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t (5.2) da . ng ma trˆa . n g=Hf, (5.3) 114 trong d¯´o f v`a g l`a c´ac vector cˆo . t M chiˆe ` u f = f e (0) f e (1) . . . f e (M −1) , g = g e (0) g e (1) . . . g e (M −1) , v`a H l`a ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p M : H = h e (0) h e (−1) h e (−2) ··· h e (−M +1) h e (1) h e (0) h e (−1) ··· h e (−M +2) h e (2) h e (1) h e (0) ··· h e (−M +3) . . . h e (M −1) h e (M −2) h e (M − 3) ··· h e (0) . Theo gia ˙’ thiˆe ´ t h`am h e (x) tuˆa ` n ho`an v´o . ichuk`y M nˆen h e (x)=h e (M + x). Do d¯´o H = h e (0) h e (M − 1) h e (M −2) ··· h e (1) h e (1) h e (0) h e (M −1) ··· h e (2) h e (2) h e (1) h e (0) ··· h e (3) . . . h e (M −1) h e (M − 2) h e (M −3) ··· h e (0) . Cˆa ´ utr´uc cu ˙’ a ma trˆa . n n`ay d¯´ong vai tr`o quan tro . ng trong phˆa ` n c`on la . icu ˙’ achu . o . ng. Ch´u´yrˇa ` ng c´ac h`ang cu ˙’ a ma trˆa . n H c´o t´ınh chˆa ´ t: phˆa ` ntu . ˙’ bˆen pha ˙’ i nhˆa ´ t trong mˆo . t h`ang bˇa ` ng phˆa ` ntu . ˙’ bˆen tr´ai nhˆa ´ t trong h`ang du . ´o . ikˆe ´ tiˆe ´ p. Ho . nn˜u . a ma trˆa . n chu tr`ınh H l`a d¯ˆa ` yd¯u ˙’ ;t´u . c l`a h`ang d¯ˆa ` u tiˆen nhˆa . nd¯u . o . . ct`u . h`ang cuˆo ´ icu ˙’ a ma trˆa . n n`ay bˇa ` ng c´ach di . ch chuyˆe ˙’ n v`ong mˆo . t phˆa ` ntu . ˙’ . Ma trˆa . n thoa ˙’ m˜an hai t´ınh chˆa ´ t n`ay go . il`ama trˆa . n chu tr`ınh. Ch´u´yrˇa ` ng, t´ınh chˆa ´ t chu tr`ınh cu ˙’ a H l`a hˆe . qua ˙’ tru . . ctiˆe ´ pcu ˙’ a gia ˙’ thiˆe ´ t tuˆa ` n ho`an cu ˙’ a h e (x). V´ı d u . 5.1.1 Gia ˙’ su . ˙’ A =4v`aB =3. Ta c´o thˆe ˙’ cho . n M = 6 v`a thˆem hai phˆa ` ntu . ˙’ bˇa ` ng khˆong trong ma ˙’ ng f(x) v`a ba phˆa ` ntu . ˙’ bˇa ` ng khˆong trong ma ˙’ ng h(x). Khi d¯´o f 115 . nˆe ´ u H[k 1 f 1 (x, y)+k 2 f 2 (x, y)] = k 1 H[f 1 (x, y)] + k 2 H[f 2 (x, y)] trong d¯´o k 1 ,k 2 l`a c´ac hˇa ` ng sˆo ´ v`a f 1 (x, y),f 2 (x, y) l`a c´ac a ˙’ nh. D - ˇa . cbiˆe . t khi k 1 = k 2 =1 ta. d¯´o H = h e (0) h e (M − 1) h e (M −2) ··· h e (1) h e (1) h e (0) h e (M 1) ··· h e (2) h e (2) h e (1) h e (0) ··· h e (3) . . . h e (M 1) h e (M − 2) h e (M −3) ··· h e (0) . Cˆa ´ utr´uc. = f e (0) f e (1) . . . f e (M 1) , g = g e (0) g e (1) . . . g e (M 1) , v`a H l`a ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p M : H = h e (0) h e ( 1) h e (−2)