XỬ LÝ TÍN HIỆU BẰNG LỌC THÍCH NGHI WAVELET TS. ĐỖ XUÂN THIỆU Bộ môn Kỹ thuật điện tử Khoa Điện – Điện tử Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Kết quả biến đổi tín hiệu sử dụng wavelet phụ thuộc vào wavelet mẹ. Để wavelet mẹ có thể thích ứng được với một tín hiệu hoặc một lớp các tín hiệu cần phân tích, phương pháp trong bài báo sẽ thực hiện tối ưu hoá các bộ lọc wavelet trên cơ sở các gói wavelet. Viêc tối ưu bộ lọc sử dụng phân giải lưới, đi đến giải thuật biến đổi nhanh không ràng buộc. Summary: The wavelet transform results depend on the mother wavelet. For the purpose of adaptation of mother wavelet to a specific signal or to a class of signal, the method in this paper is optimization the wavelet filters based on wavelet packets. The optimization uses lattice decomposition and leads to a fast unconstrained algorithm. I. ĐẶT VẤN ĐỀ CT 2 Biến đổi wavelet rời rạc bằng cách đưa tín hiệu qua các bộ lọc thông thấp và thông cao sau đó thực hiện phân chia hệ số hai. Giữ lại các hệ số thông cao, lặp lại lọc và phân chia tiếp cho các hệ số thông thấp… cho đến khi tín hiệu còn bằng độ dài của bộ lọc [3]. Quá trình biến đổi này phải thoả mãn một số điều kiện ràng buộc nào đó. Thoả mãn điều kiện trực giao sẽ cho các hệ số trực giao. Những ràng buộc này được biểu diễn qua các dạng khác nhau. Hướng nghiên cứu sẽ dựa vào phương pháp vùng thời gian và phương pháp lưới. Phương pháp vùng thời gian thể hiện những ràng buộc trực tiếp trên các hệ số lọc, thực hiện giải thuật tối ưu hoá các ràng buộc. Phương pháp lưới dựa vào cấu trúc lưới để tái tạo tham số các hệ số đến khi các ràng buộc tự thoả mãn, thực hiện giải thuật tối ưu hoá không ràng buộc. II. PHƯƠNG PHÁP VÙNG THỜI GIAN Để có thể đưa ra được các điều kiện ràng buộc, hãy xét ví dụ phân tích một mẫu tín hiệu có độ dài bằng 8: T 70 ]x, ,x[x = r , (1) sử dụng bộ lọc có độ dài bằng 4, các hệ số lọc thông thấp và thông cao tương ứng sẽ là: c 0 ,… c 3 , và d 0 ,…d 3 . Tín hiệu sau khi qua các bộ lọc được đưa đến bộ phân chia hệ số 2. Các giải thuật này được biểu diễn theo ma trận như sau: CT 2 } { xC,,,,,,, 1 T 32103210 r =δδδδσσσσ , (2) trong đó: (3) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2301 0123 0123 0123 2301 0123 0123 0123 1 dd0000dd dddd0000 00dddd00 0000dddd cc0000cc cccc0000 00cccc00 0000cccc C Quá trình lại lặp lại với các hệ số lọc thông thấp: {} 2 T 32101010 C,,,,,,, =δδδδηηξξ { } T 32103210 ,,,,,,, δδδδσσσσ (4) trong đó: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 00000000 01000000 00100000 00010000 0000dddd 0000dddd 0000cccc 0000cccc C 0123 0123 1302 0123 2 (5) Kết hợp hai bước biến đổi tín hiệu y r sẽ là: xCCxCy 12 r r r = = (6) Dễ dàng thấy rằng C 1 là trực giao và do vậy, C 2 và C cũng trực giao. Điều kiện trực giao sẽ là: (7) 0cccc 1cccc 3120 2 3 2 2 2 1 2 0 =+ =+++ (8) 0dddd 1dddd 3120 2 3 2 2 2 1 2 0 =+ =+++ 0dcdc 0dcdc 0dcdcdcdc 1300 3120 33221100 =+ =+ = + + + (9) Trong các điều kiện trên, điều kiện với các hệ số c thoả mãn thì các điều kiện còn lại cũng thoả mãn, bằng cách chọn: ( ) 3, ,0k;c1d k3 k k =−= − (10) Trong trường hợp tổng quát, với độ dài bộ lọc: N+1 và độ dài tín hiệu: M+1, biến đổi wavelet: xCy r r = , (11) với: max011QQ QQ;CC CCC ≤ = − (12) Q max là số mức phân giải cực đại, phụ thuộc vào độ dài tín hiệu và độ dài bộ lọc: ) 1N 1M (logfloorQ 2max + + = (13) Các điều kiện trực giao tổng quát sẽ là: () ∑ = − − =δ= N k2n k2nn 2 1N , ,0k;kcc (14) CT 2 () ∑ = − − =δ= N k2n k2nn 2 1N , ,0k;kdd (15) () () ∑ ∑ = − = − − =δ= − =δ= N k2n nk2n N k2n k2nn 2 1N , ,0k;kdc 2 1N , ,0k;kdc (16) Các hệ số lọc thông cao có thể được tính từ thông thấp: (17) () N, ,0k;c1d kN k k =−= − III. PHƯƠNG PHÁP LƯỚI Phương pháp tái tạo các tham số lọc để các ràng buộc tự thoả mãn. Ta hãy bắt đầu bằng ví dụ lọc 4 hệ số, điều kiện ràng buộc (7) cụ thể sẽ là: 1cccc 2 31 2 20 =+++ (18) Điều kiện này tự thoả mãn bằng cách đặt: (19) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ θθ= θθ−= θθ= θθ= 213 212 211 210 cossinc sinsinc sincosc coscosc Trường hợp tổng quát: () ( ) 2 1N , ,0k;1cc 2 1k2 2 k2 − ==+ ∑∑ + (20) Đặt: (21) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ= ∑∑∑∑ − = − = + − = − = 2/)1N( 0n n 2/)1N( 0n 1n2 2/)1N( 0n n 2/)1N( 0n n2 sinc;cosc Công thức (19) có thể viết lại như sau: , (22) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ θ=θθ= θ−=θθ−= θ=θθ= θ=θθ= 2 )1( 121 )2( 3 2 )1( 121 )2( 2 2 )1( 021 )2( 1 2 )1( 021 )2( 0 cosccossinc sincsinsinc sincsincosc cosccoscosc CT 2 viết dưới dạng ma trận: (23) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ θ− θ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ )1( 0 )1( 1 2 2 2 2 )2( 0 )2( 1 )2( 2 )2( 3 c c cos0 sin0 0sin 0cos c c c c Có thể mở rộng cho 6 hệ số: (24) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ )2( 0 )2( 1 )2( 2 )2( 3 3 3 33 33 3 3 )3( 0 )3( 1 )3( 2 )3( 3 )3( 4 )3( 5 c c c c k000 s000 0kk0 0ks0 000s 000k c c c c c c Với s j =sinθ j và k j =cosθ j . Thế (23) vào (24) và làm tương tự với các hệ số d, kết hợp ma trận các hệ số c và d ta được: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ )3( 0 )3( 1 )3( 2 )3( 3 )3( 4 )3( 5 )3( 0 )3( 1 )3( 2 )3( 3 )3( 4 )3( 5 dddddd cccccc = = (25) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 11 11 sk ks ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 22 22 ks00 00sk ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 33 33 33 33 ks0000 00sk00 00ks00 0000sk Như vậy ma trận biến đổi tầng lọc wavelet thứ nhất được biểu diễn dưới dạng: )(R.S).(R.S).(R.EC 3211 θ θ θ = , (26) trong đó, R(θ j ) là ma trận vòng: (27) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − =θ jj jj jj jj jj jj jj jj j sk000000 ks000000 00sk0000 00ks0000 0000sk00 0000ks00 000000sk 000000ks )(R CT 2 và S là ma trận dịch lên: (28) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 00000000 10000000 01000000 00100000 00010000 00001000 00000100 00000010 S E để tách các hệ số lọc thông cao từ thông thấp. Trường hợp tổng quát, với bộ lọc dài 2K: )(R.S) (R.S).(R.EC K211 θ θ θ = (29) Ma trận biến đổi wavelet tính cho các gói wavelet sẽ là: (30) )R.S R.S.R.E) (R.S R.S.R.E(C CC )K( 11 )2( 11 )1( 11 )K( QQ )2( QQ )1( QQ1Q == Cơ sở gói tốt nhất sẽ được chọn trong thư viện các gói wavelet theo một số tiêu chuẩn nào đó [2]. Phương pháp trong bài báo này là tối ưu gradient, xác định tham số tái tạo tối ưu tín hiệu hoặc một lớp tín hiệu bằng cách cực tiểu hàm mục tiêu tương ứng, thủ tục đơn giản là tính vi phân các tham số biến đổi wavelet. Gradient của hàm mục tiêu theo các tham số biến đổi wavelet: (31) φ∇=φ∇ y T pp J trong đó J p là Jacobi [4] của ℑ, với [ ] xCx r r = ℑ : [ ] x)C, (x)C(,x)C(J pq2p1pp r r r ∂ ∂ ∂= (32) + θ θ θ= θ θ∂ )(RS) (RD S).(R.E), (C K11jQQQ1QK1j + θ θ θ + −− )(RS) (RD S).(R.E K11j1Q1QQ1Q … CT 2 )(RS) (RD S).(R.E K11j11Q1Q θ θ θ + , (33) trong đó D l là các ma trận khối chéo gồm các khối: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 01 10 Kết hợp chọn cơ sở tốt nhất trong thư viện các gói wavelet [1] và tối ưu gradient các hệ số biến đổi. Điều này có thể phát sinh ràng buộc cho các hệ số lọc như số các điểm triệt tiêu, trở thành tối ưu hoá có ràng buộc. Tuy nhiên, giá của điều kiện trung bình không đối với các hệ số lọc thông cao lại rất thấp cho nên tối ưu ràng buộc lại trở về không ràng buộc. IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Thực nghiệm phương pháp biến đổi wavelet trong môI trường Matlab đối với các tín hiệu mẫu: Doppler, Bumps, HeaviSine, Blocks và tín hiệu thực đo khí mêtan đề tài KC03-04. Kết quả liệt kê trong bảng 1 so sánh sai số cực đại của phép biến đổi sử dụng wavelet Daubechies: db8 và phương pháp của đề tài, với sai số cực đại: )xsmax( kkmax −=Δ ; k = 1,2,…N, (34) trong đó s k là tín hiệu gốc, x k là tín hiệu khôi phục. Các kết quả cho thấy sai số giữa tín hiệu khôi phục và tín hiệu gốc đối với các dạng tín hiệu thử nghiệm khác nhau của phương pháp lọc thích nghi wavelet nhỏ hơn khi sử dụng hàm wavelet mẹ db8. Bảng 1. Kết quả thử nghiệm đối với các dạng tín hiệu khác nhau Tín hiệu khôi phục Sử dụng db8 Tín hiệu khôi phục Sử dụng lọc thích nghi wavelet Tín hiệu (Gốc max) Giá trị cực đại Sai số cực đại Giá trị cực đại Sai số cực đại Doppler (0,4975) 0,5268 0,139 0,5031 0,0790 Bumps (5,0527) 5,0059 0,4311 5,0033 0,1333 HeaviSine (6,0000) 5,9909 0,3467 5,9923 0,1711 Blocks (5,2000) 5,3633 0,3634 5,3039 0,169 Đo mêtan (3,8000) 3,7992 0,3617 3,8086 0,0946 CT 2 V. KẾT LUẬN Phương pháp lọc thích nghi wavelet có khả năng chọn được cơ sở wavelet mẹ tối ưu thích ứng với các dạng tín hiệu cụ thể nên có thể nâng cao được chất lượng đáng kể khi thực hiện xử lý các tín hiệu có các dạng khác nhau. Các giải thuật để thực hiện phương pháp lọc đã được mô phỏng trong môi trường Matlab, có thể lập trình được cho hệ vi xử lý kết hợp với DSP biến đổi tín hiệu sử dụng wavelet, ứng dụng được trong thực tế. Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Xuân Thiệu (2002), Nghiên cứu ứng dụng khai triển wavelet để giảm nhiễu tín hiệu - Phương pháp sử dụng các gói wavelet, Tuyển tập các báo cáo khoa học Hội nghị toàn quốc về tự động hóa VICA 5, Hà nội. [2] Coifman, R.R. and Wickerhauser, M.V. (1992), Entropi-based algorithm for best basis selection, Yale University New Haven, Connecticut 06520, USA. [3] Lovescu, C. (2002), Wavelet transforms in the TMS320C55x, Texas Instruments Application report, SPRA800. [4] Thomas S. Shores. Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, McGraw-Hill Primus Custom Publishing, Copyright â November 2003 All Rights Reserved ♦ . là tín hiệu gốc, x k là tín hiệu khôi phục. Các kết quả cho thấy sai số giữa tín hiệu khôi phục và tín hiệu gốc đối với các dạng tín hiệu thử nghi m khác nhau của phương pháp lọc thích nghi. mẹ db8. Bảng 1. Kết quả thử nghi m đối với các dạng tín hiệu khác nhau Tín hiệu khôi phục Sử dụng db8 Tín hiệu khôi phục Sử dụng lọc thích nghi wavelet Tín hiệu (Gốc max) Giá trị cực. XỬ LÝ TÍN HIỆU BẰNG LỌC THÍCH NGHI WAVELET TS. ĐỖ XUÂN THIỆU Bộ môn Kỹ thuật điện tử Khoa Điện – Điện tử Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Kết quả biến đổi tín hiệu sử