Chơng 1. Số Phức Trang 20 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 1. Viết dạng đại số của các số phức a. (2 - i)(1 + 2i) b. i34 2 c. i 4 3 i54 + d. (1 + 2i) 3 2. Cho các số phức a, b . Chứng minh rằng a. | a | = | b | = 1 z , b a )ba(zabz + + i 3 b. | a | = | b | = 1 và 1 + ab 0 ab 1 ba + + 3 3. Viết dạng lợng giác của các số phức a. -1 + i 3 b. ( 3 + i) 10 c. 3 i d. 5 i1 + 4. Giải các phơng trình a. z 2 - (2 + 3i)z - 1 + 3i = 0 b. z 4 - (5 - 14i)z 2 - 2(12 + 5i) = 0 c. (3z 2 + z + 1) 2 + (z 2 + 2z + 2) 2 = 0 d. z + z + j(z + 1) + 2 = 0 e. 3 iz iz + + 2 iz iz + + i z iz + + 1 = 0 f. | z | = z 1 = | 1 - z | g. (z + i) n = (z - i) n h. 1 + 2z + 2z 2 + + 2z n-1 + z n = 0 5. Tính các tổng sau đây a. A = 0 n C + 3 n C + 6 n C + , B = 1 n C + 4 n C + 7 n C + , C = 2 n C + 5 n C + 8 n C + b. C = = + n 0k )kbacos( và S = = + n 0k )kbasin( 6. Kí hiệu = n 2 i e là căn bậc n thứ k của đơn vị a. Tính các tổng = + 1n 0k k )1k( = 1n 0k kk n C b. Chứng minh rằng z , = 1n 1k k )z( = = 1n 0l l z Suy ra = 1n 1k n k sin = 1n 2 n 7. Trong mặt phẳng phức cho tìm điểm M(z) sao cho a. Các điểm có toạ vị là z, z 2 và z 3 lập nên tam giác có trực tâm là gốc O b. Các điểm có toạ vị z, z 2 và z 3 thẳng hàng c. Các điểm có toạ vị z, z 2 và z 3 lập thành tam giác vuông 8. Khảo sát sự hội tụ của dy số phức u 0 , n , u n+1 = n n u1 u1 + Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 21 9. (n , z n ) ì * và | argz n | . Chứng minh rằng chuỗi 0n n |z| hội tụ 10. Cho tam giác ABC. Kí hiệu M 0 = A, M 1 = B, M 2 = C và n , M n+3 là trọng tâm của tam giác M n M n+1 M n+2 . Chứng tỏ rằng dy điểm (M n ) n là dy hội tụ và tìm giới hạn của nó? 11. Cho hàm f : I sao cho f(t) 0. Chứng minh rằng hàm | f | là đơn điệu tăng khi và chỉ khi Re(f/ f) 0. 12. Cho f : 3 + liên tục và bị chặn. Tính giới hạn a. 0x lim + 1 x 1 dt t )t(f x ( 1) b. +x lim + + 0 2 dt t1 )x/t(f 13. Khảo sát các đờng cong phẳng a. z(t) = acost + ibsint b. z(t) = acht + ibsht c. z(t) = (t - sint) + i(1 - cost) d. z(t) = tlnt + i t tln 14. Biểu diễn trên mặt phẳng các tập con của tập số phức a. | z - 3 + 4i | = 2 b. | z - 1 | + | z + 1 | = 3 c. arg(z - i) = 4 d. - 3 < argz < 4 và | z | > 2 e. 0 < Imz < 1 và | z | < 2 f. | z - 1 | + | z + 1 | > 3 g. | z | < 2 và Rez > -1 h. | z - i | > 1 và | z | < 2 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Trang 22 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Chơng 2 Hàm biến phức Đ1. Hàm biến phức Cho miền D . ánh xạ f : D , z w = f(z) gọi là hàm biến phức xác định trên miền D và kí hiệu là w = f(z) với z D. Thay z = x + iy vào biểu thức f(z) và thức hiện các phép toán f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) với (x, y) D 3 2 (2.1.1) Hàm u(x, y) gọi là phần thực, hàm v(x, y) gọi là phần ảo, hàm | f(z) | = 22 vu + gọi là module, hàm f (z) = u(x, y) - iv(x, y) gọi là liên hợp phức của hàm phức f(z). Ngợc lại, với x = 2 1 (z + z ) và y = 2 1 (z - z ), ta có u(x, y) + iv(x, y) = f(z, z ) với z, z D (2.1.2) Nh vậy hàm phức một mặt xem nh là hàm một biến phức, mặt khác đợc xem nh hàm hai biến thực. Điều này làm cho hàm phức vừa có các tính chất giống và vừa có các tính chất khác với hàm hai biến thực. Sau này tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể, chúng ta có thể cho hàm phức ở dạng (2.1.1) hoặc dạng (2.1.2) Ví dụ Xét w = z 2 . Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy) 2 = (x 2 - y 2 ) + i(2xy) = u + iv Để biểu diễn hình học hàm phức, ta dùng cặp mặt phẳng (z) = (Oxy) và (w) = (Ouv). Qua ánh xạ f Điểm z 0 = x 0 + iy 0 biến thành điểm w 0 = u 0 + iv 0 Đờng cong z(t) = x(t) + iy(t) biến thành đờng cong w(t) = u(t) + iv(t) Miền D biến thành miền G Chính vì vậy mỗi hàm phức xem nh là một phép biến hình từ mặt phẳng (Oxy) vào mặt phẳng (Ouv). Nếu ánh xạ f là đơn ánh thì hàm w = f(z) gọi là đơn diệp, trái lại gọi là đa diệp. Hàm đa diệp biến một mặt phẳng (z) thành nhiều mặt phẳng (w) trùng lên nhau. Nếu ánh xạ f là đơn trị thì hàm w = f(z) gọi là hàm đơn trị, trái lại gọi là đa trị. Hàm đa w(t) w 0 D (z) z 0 z(t) (w) G Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 2. Hàm BiếnPhức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 23 trị biến một mặt phẳng (z) thành nhiều tập con rời nhau của mặt phẳng (w). Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các hàm phức đơn trị xác định trên miền đơn diệp của nó. Trên tập F(D, ) các hàm phức xác định trên miền D, định nghĩa các phép toán đại số tơng tự nh trên tập F(I, ) các hàm trị phức xác định trên khoảng I. Cho các hàm f : D , z = f(z) và g : G , w = g() sao cho f(D) G. Hàm h : D , z w = g[f(z)] (2.1.3) gọi là hàm hợp của hàm f và hàm g, kí hiệu là h = gof. Cho hàm f : D , z w = f(z) và G = f(D). Hàm g : G , w z = g(w) sao cho f(z) = w (2.1.4) gọi là hàm ngợc của hàm f, kí hiệu là g = f -1 . Hàm ngợc của hàm biến phức có thể là hàm đa trị. Các tính chất phép toán của hàm phức tơng tự nh các tính chất của hàm thực. Ví dụ Hàm w = z 2 là hàm đa diệp trên và có hàm ngợc z = w là hàm đa trị. Đ2. Giới hạn và liên tục Cho hàm f : D , a D và L . Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z dần đến a và kí hiệu là az lim f(z) = L nếu > 0, > 0 : z D, | z - a | < | f(z) - L | < Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z dần ra vô hạn và kí hiệu là z lim f(z) = L nếu > 0, N > 0 : z D, | z | > N | f(z) - L | < Hàm f gọi là dần ra vô hạn khi z dần đến a và kí hiệu là az lim f(z) = nếu M > 0, > 0 : z D, | z - a | < | f(z) | > M Định lý Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), a = + i và L = l + ik az lim f(z) = L ),()y,x( lim u(x, y) = l và ),()y,x( lim v(x, y) = k (2.2.1) Chứng minh Giả sử az lim f(z) = L > 0, > 0 : z D, | z - a | < | f(z) - L | < (x, y) D, | x - | < /2 và | y - | < /2 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 2. Hàm Biến Phức Trang 24 Giáo Trình Toán Chuyên Đề | u(x, y) - l | < và | v(x, y) - k | < Suy ra ),()y,x( lim u(x, y) = l và ),()y,x( lim v(x, y) = k Ngợc lại ),()y,x( lim u(x, y) = l và ),()y,x( lim v(x, y) = k > 0, > 0 : (x, y) D, | x - | < và | y - | < | u(x, y) - l | < /2 và | v(x, y) - k | < /2 z D, | z - a | < | f(z) - L | < Suy ra az lim f(z) = L Hệ quả 1. az lim f(z) = L )z(flim az = L az lim | f(z) | = | L | 2. az lim [ f(z) + g(z)] = az lim f(z) + az lim g(z) az lim [f(z)g(z)] = az lim f(z) az lim g(z), az lim [f(z)/ g(z)] = az lim f(z)/ az lim g(z) 3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn hàm biến thực Hàm f gọi là liên tục tại điểm a D nếu az lim f(z) = f(a). Hàm f gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm z D. Hàm f gọi là liên tục đều trên miền D nếu > 0, > 0 : z, z D, | z - z | < | f(z) - f(z) | < Rõ ràng hàm f liên tục đều trên miền D thì nó liên tục trên miền D. Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung là không đúng. Định lý Cho hàm f liên tục trên miền D compact. 1. Hàm | f(z) | bị chặn trên miền D và z 1 , z 2 D sao cho z D, | f(z 1 ) | | f(z) | | f(z 2 ) | 2. Tập f(D) là miền compact 3. Hàm f liên tục đều trên miền D 4. Các tính chất khác tơng tự hàm biến thực liên tục Chứng minh 1. Do hàm trị thực | f(z) | = )y,x(v)y,x(u 22 + liên tục trên miền compact nên bị chặn và đạt trị lớn nhất, trị bé nhất trên miền đó. 2. Theo chứng minh trên tập f(D) là tập giới nội. Xét dy w n = f(z n ) + w 0 . Do miền D compact nên có dy con z (n) + z 0 D. Do hàm f liên tục nên f(z (n) ) + w 0 = f(z 0 ) f(D). Suy ra tập f(D) là tập đóng. Xét cặp hai điểm w 1 = f(z 1 ), w 2 = f(z 2 ) f(D) tuỳ ý. Do tập D liên thông nên có tham số Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . . biến hình từ mặt phẳng (Oxy) vào mặt phẳng (Ouv). Nếu ánh xạ f là đơn ánh thì hàm w = f(z) gọi là đơn diệp, trái lại gọi là đa diệp. Hàm đa diệp biến một mặt phẳng (z) thành nhiều mặt phẳng. V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 2. Hàm BiếnPhức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 23 trị biến một mặt phẳng (z) thành nhiều tập con rời nhau của mặt phẳng (w). Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các hàm. phức ở dạng (2.1.1) hoặc dạng (2.1.2) Ví dụ Xét w = z 2 . Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy) 2 = (x 2 - y 2 ) + i(2xy) = u + iv Để biểu diễn hình học hàm phức, ta dùng cặp mặt phẳng