Chơng 3. Tích Phân Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 45 = dt)t()t(fo + dt)t()t(go = + dz)z(gdz)z(f 2. Định hớng Nếu hàm f khả tích trên đờng cong + = (ab) thì hàm f cũng khả tích trên đờng cong - = (ba). ba dz)z(f = - ab dz)z(f (3.2.2) Chứng minh Tham số hoá + = - ([, ]) với - : [, ] D, - (t) = (-t + + ) Từ giả thiết suy ra hàm fo - (t) - (t) khả tích trên [, ]. dz)z(f = - ++ ++ dt)-t()-t(fo = - ds)s()s(fo 3. Hệ thức Chasles Nếu hàm f khả tích trên đờng cong = (ab) thì với mọi c hàm f khả tích trên các đờng cong 1 = (ac) và 2 = (cb). =+ abcbac dz)z(fdz)z(fdz)z(f (3.2.3) Chứng minh Giả sử c = () với [, ]. Tham số hoá 1 = 1 ([, ]) với 1 : [, ] D, 1 (t) = (t) 2 = 2 ([, ]) với 2 : [, ] D, 2 (t) = (t) Từ giả thiết suy ra hàm fo 1 (t) 1 (t) khả tích trên [, ] và fo 1 (t) 1 (t) khả tích trên [, ]. dt)t()t(fo 11 + dt)t()t(fo 22 = dt)t()t(fo 4. Ước lợng tích phân Kí hiệu s() là độ dài của đờng cong . Nếu hàm f khả tích trên đờng cong thì hàm | f(z) | khả tích trên đờng cong . dz)z(f ds)z(f sup | f(z) | s() (3.2.4) Chứng minh Từ giả thiết suy ra hàm fo(t)(t) khả tích trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.3) với công thức tích phân đờng loại 1 suy ra dz)z(f = dt)t()t(fo dt)t()t(fo = ds)z(f Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 3. Tích Phân Phức Trang 46 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 5. Liên hệ tích phân đờng Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả tích trên đờng cong thì các hàm u(x, y) và v(x, y) khả tích trên đờng cong . ++= dy)y,x(udx)y,x(vidy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f (3.2.5) Chứng minh Từ giả thiết suy ra các hàm u(t) và v(t) khả tích trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.3) với công thức tích phân đờng loại 2 suy ra công thức (3.2.5) Công thức Newton-Leibniz Hàm giải tích F(z) gọi là nguyên hàm của hàm f(z) trên miền D nếu z D, F(z) = f(z) Cho hàm f(z) có nguyên hàm là F(z) và = (ab). Khi đó ta có ab dz)z(f = F(b) - F(a) (3.2.6) Chứng minh Từ giả thiết suy ra hàm Fo(t) là nguyên hàm của fo(t) trên [, ]. Kết hợp công thức (3.1.1) và công thức Newton - Leibniz của tích phân xác định. ab dz)z(f = dt)t()]t([f = Fo() - Fo() Ví dụ Tính tích phân I = n z dz với là đờng tròn | z | = R định hớng dơng Ta có = (ab) với a = Re i0 , b = Re i2 Với n 1 hàm f(z) = n z 1 có nguyên hàm F(z) = n1 z n1 1 suy ra I = F(b) - F(a) = 0 Với n = 1 hàm f(z) = z 1 có nguyên hàm F(z) = Lnz. Tuy nhiên hàm logarit chỉ xác định đơn trị trên - (-, 0]. Vì vậy I = Ln 1 (e i2 ) - Ln 0 (e i0 ) = 2i Đ3. Định lý Cauchy Định lý Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng và nằm gọn trong miền D. Khi đó ta có 0dz)z(f = (3.3.1) Chứng minh Kí hiệu D D là miền đơn liên có biên định hớng dơng là đờng cong . Để đơn giản ta xem hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) với các hàm u và v có đạo hàm liên tục trên D. Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 3. Tích Phân Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 47 áp dụng công thức (3.2.5), công thức Green và điều kiện Cauchy-Riemann. dz)z(f = )vdyudx( + i + )udyvdx( = D dxdy) y u x v ( + i D dxdy) y v x u ( = 0 Chú ý Hàm f giải tích không đủ để các hàm u và v có đạo hàm riêng liên tục. Do đó việc chứng minh định lý Cauchy thực ra phức tạp hơn rất nhiều. Bạn đọc quan tâm đến phép chứng minh đầy đủ có thể tìm đọc ở các tài liệu tham khảo. Hệ quả 1 Cho miền D đơn liên có biên định hớng dơng là đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D. D dz)z(f = 0 (3.3.2) Chứng minh Theo định nghĩa tích phân, ta có thể xem tích phân trên D nh là giới hạn của tích phân trên đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng, nằm gọn trong miền D và dần đến D. Hệ quả 2 Cho miền D đa liên có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D. D dz)z(f (3.3.3) Chứng minh Giả sử miền D đa liên và chúng ta cắt miền D bằng các cung (ab) và (cd) nhận đợc miền đơn liên D 1 nh hình bên. Ta có D 1 = D + (ab) + (ba) + (cd) + (dc) Kết hợp hệ quả 2 và tính định hớng, tính cộng tính của tích phân 0 = 1 D dz)z(f = D dz)z(f + ab dz)z(f + ba dz)z(f + cd dz)z(f + dc dz)z(f = D dz)z(f Hệ quả 3 Cho miền D đa liên có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc D = + +++ n10 L LL và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D. 0 L dz)z(f = = n 1k L k dz)z(f (3.3.4) Chứng minh Suy ra từ công thức (3.3.3) và tính định hớng, tính cộng tính của tích phân. d c a b Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 3. Tích Phân Phức Trang 48 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Hệ quả 4 Cho hàm f giải tích trong miền D đơn liên. Khi đó tích phân az d)(f với a, z D (3.3.5) không phụ thuộc đờng cong đơn, trơn từng khúc, nối a với z và nằm gọn trong miền D. Chứng minh Giả sử (amb) và (anb) là hai đờng cong đơn, trơn từng khúc, nối a với z và nằm gọn trong D. Khi đó (amzna) là đờng cong đơn, trơn từng khúc, kín và nằm gọn trong D. Từ công thức (3.3.1) và tính cộng tính 0 = amzna d)(f = amz d)(f + zna d)(f Chuyển vế và sử dụng tính định hớng suy ra amz d)(f = anz d)(f Hệ quả 5 Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và a D. Khi đó hàm F(z) = z a d)(f với z D (3.3.6) là nguyên hàm của hàm f trong miền D và F(a) = 0. Chứng minh Theo công thức (3.3.5) hàm F xác định đơn trị trên miền D và F(a) = 0. Ngoài ra với mọi (z, h) D ì sao cho [z, z + h] D )z(f h )z(F)hz(F + = ( ) + hz z d)z(f)(f h 1 sup{| f() - f(z) | : [z, z + h]} 0h 0 Suy ra hàm F giải tích trong D và F(z) = f(z). Đ4. Công thức tích phân Cauchy Bổ đề Cho đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng và D = D . Khi đó ta có a - , Ind (a) = az dz i2 1 = D a 0 D a 1 (3.4.1) Hàm Ind (a) gọi là chỉ số của điểm a đối với đờng cong . Chứng minh a n m z Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 3. Tích Phân Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 49 Với a D , hàm f(z) = a z 1 liên tục trên D , giải tích trong D. Theo công thức (3.3.2) tích phân của hàm f trên đờng cong kín bằng không. Với a D, kí hiệu B = B(a, ) D, S = B + là đờng tròn tâm a, bán kính , định hớng dơng và D 1 = D - B. Hàm f(z) liên tục trên 1 D , giải tích trong D 1 theo công thức (3.3.4) và các ví dụ trong Đ1. az dz = S az dz = 2i Định lý Cho hàm f giải tích trong miền D và đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng sao cho D D. Khi đó ta có a D - , Ind (a)f(a) = dz az )z(f i2 1 (3.4.2) Công thức (3.4.2) gọi là công thức tích phân Cauchy . Chứng minh Từ giả thiết suy ra hàm g(z) = = a z )a(f a z az )a(f)z(f giải tích trong miền D. Sử dụng công thức (3.3.1) ta có 0 = dz)z(g = dz az )a(f dz az )z(f Kết hợp với công thức (3.4.1) suy ra công thức (3.4.2) Hệ quả 1 Cho miền D có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D. z D, f(z) = D d z )(f i2 1 (3.4.3) Chứng minh Nếu D là miền đơn liên thì biên D là đờng cong định hớng dơng, đơn, kín và trơn từng khúc. Lập luận tơng tự nh trong chứng minh định lý và sử dụng công thức (3.3.2) thay cho công thức (3.3.1) Nếu D là miền đa liên biến đổi miền D thành miền D 1 đơn liên nh trong hệ quả 2, Đ3. Sau đó sử dụng kết quả đ biết cho miền đơn liên, tính cộng tính và tính định hớng của tích phân. Nhận xét Theo các kết quả trên thì giá trị của hàm giải tích trong miền D đợc xác định bằng các giá trị của nó trên biên D. a S D Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . . V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 3. Tích Phân Phức Trang 46 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 5. Liên hệ tích phân đờng Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả tích trên đờng cong thì các hàm u(x, y) và v(x, y) khả tích trên. tích phân, ta có thể xem tích phân trên D nh là giới hạn của tích phân trên đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng, nằm gọn trong miền D và dần đến D. Hệ quả 2 Cho miền D đa. V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 3. Tích Phân Phức Trang 48 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Hệ quả 4 Cho hàm f giải tích trong miền D đơn liên. Khi đó tích phân az d)(f với a, z D (3.3.5) không