dẫn nhiệt ổn định trong vật thể hình trụ chứa nguồn nhiệt phân bố đều ThS. Nguyễn đức huy Bộ môn Kỹ thuật nhiệt Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Bi báo trình by cách giải bi toán dẫn nhiệt ổn định trong vật thể hình trụ chứa nguồn nhiệt phân bố đều, điều kiện biên loại 1 v loại 3. Summary: The article presents the solution to stable heat conduction problem in the cylinders with uniform heat generation, boundary conditions of the first and third classes. Trong thực tế, các vật thể hình trụ (ống trụ, cột trụ ) có vai trò rất quan trọng, đặc biệt là trong lĩnh vực xây dựng. Mặt khác, việc nghiên cứu đặc tính nhiệt trong các kết cấu xây dựng ngày càng có ý nghĩa to lớn nhằm góp phần nâng cao độ bền và tuổi thọ của các kết cấu đó. Tuy thế, đặc điểm truyền nhiệt trong các vật thể hình trụ cho đến nay còn cha đợc nghiên cứu một cách toàn diện và đầy đủ. Một trong những lý do dẫn đến tình trạng này là còn thiếu các công trình lý thuyết cũng nh thực nghiệm nghiên cứu về truyền nhiệt trong các vật hình trụ. Nội dung của bài báo này là thiết lập các phơng trình truyền nhiệt đặc trng đối với các vật thể có dạng hình trụ, với mục tiêu là xây dựng các cơ sở lý thuyết để xác định phơng trình trờng nhiệt độ và lập công thức tính mật độ dòng nhiệt đối với vật thể hình trụ (dạng vách và dạng thanh) có chứa nguồn nhiệt phân bố đều. i. vách trụ Khái niệm vách trụ ở đây đợc hiểu là vật thể hình trụ rỗng. Xét một vách trụ đủ mỏng chứa nguồn nhiệt phân bố đều có năng suất sinh nhiệt thể tích là q v (w/m 3 ). Đờng kính trong và đờng kính ngoài của vách tơng ứng là 2r 1 và 2r 2 (m). Hệ số dẫn nhiệt của vách là (w / m. 0 C). Cần xác định phơng trình trờng nhiệt độ trong vách và tính mật độ dòng nhiệt truyền qua chiều dày vách. Giả thiết quá trình truyền nhiệt trong vách là ổn định. Phơng trình vi phân đặc trng có dạng: 2 2 dr td + dr dt r 1 = v q (1.1) Đặt dr dt = u 2 2 dr td = dr du Do đó (1.1) trở thành: dr du + r u = v q hoặc = + dr.udu.r v q dr.r tơng đơng với: = )ur(d v q dr.r Lấy tích phân sẽ đợc: = r .u v q 2 r 2 + C 1 suy ra: r C r 2 q u 1v + = (1.2) hoặc: dr dt r C r 2 q 1v + = suy ra r dr Cdr.r 2 q dt 1 v + = Tích phân lần thứ hai sẽ đợc: t = 2 v r 4 q + C 1 rln + C 2 (1.3) Đây chính là phơng trình tổng quát mô tả trờng nhiệt độ trong vách trụ. Các hằng số tích phân C 1 và C 2 đợc xác định theo các điều kiện biên của bài toán. Ta có thể nêu lên vài nhận xét nh sau liên quan đến sự biến thiên của nhiệt độ trong vách trụ: - Do dr dt = r C r 2 q 1v + nên biến thiên của nhiệt độ trong vách phụ thuộc dấu của hằng số C 1 - Nếu C 1 0 thì dr dt < 0 có nghĩa nhiệt độ là hàm nghịch biến trong toàn bộ chiều dày vách - Nếu C 1 > 0, phơng trình dr dt = r C r 2 q 1v + = 0 có nghiệm: r = r 0 = v 1 q 2 C (1.4) Tiến hành xét dấu của dr dt , ta đợc kết quả nh trình bày trong bảng sau r r 0 dr dt + 0 f (r) t = đồn g biến n g h ị ch biến Vấn đề ở đây là cần xác định tơng quan vị trí giữa r 0 và khoảng [r 1 ; r 2 ]. Tùy thuộc vào tơng quan đó mà nhiệt độ t có thể đồng biến, nghịch biến hoặc đạt cực đại trong phạm vi chiều dày vách trụ. - Dấu của hằng số C 1 đợc xác định tùy thuộc vào mối quan hệ giữa các đại lợng thuộc điều kiện đơn trị của bài toán. Mật độ dòng nhiệt đợc xác định theo định luật Fourier: q = - n t = - dr dt = - .u = - ( r C r 2 q 1v + ) = r 2 q v - 1 C r (w/ m 2 ) (1.5) Có thể thấy mật độ dòng nhiệt q = 0 chính tại giá trị r = r 0 = v 1 q 2 C 1. Điều kiện biên loại 1 t m 2 t m1 t m1 t r r 1 r 2 Giả sử nhiệt độ 2 mặt vách là t m1 và t m 2 . Trong hệ tọa độ trụ nh hình vẽ, điều kiện biên đợc viết nh sau: khi r = r 1 , t = t m1 khi r = r 2 , t = t m 2 Thay quan hệ trên vào phơng trình (1.3) ta đợc C 1 = 1 2 2 1 2 2 v 2m1m r r ln )rr( 4 q )tt( C 2 = + + 2 1 v 1m r 4 q t 1 1 2 2 1 2 2 v 2m1m rln r r ln )rr( 4 q )tt( Từ đó phơng trình trờng nhiệt độ (1.3) có dạng cụ thể nh sau: t = )rr( 4 q t 2 1 2 v 1m 1 1 2 2 1 2 2 v 2m1m r r ln r r ln )rr( 4 q )tt( hoặc: t = () 1 1 2 2 1 2 2 1 v 2m1m 2 1 2 1 v 1m r r ln r r ln r r 1r 4 q tt r r 1r 4 q t + + (1.6) Mật độ dòng nhiệt đợc xác định theo (1.5): q = r 2 q v - 1 C r Thay giá trị đã biết của C 1 ta tìm đợc biểu thức tính mật độ dòng nhiệt q: q = r 2 q v + 1 2 2 1 2 2 v 2m1m r r lnr )rr( 4 q )tt( hoặc q = r 2 q v + 1 2 2 1 2 2 1 v 2m1m r r lnr r r 1r 4 q )tt( + (w / m 2 ) (1.7) Bán kính r 0 là nghiệm của phơng trình dr dt = 0 đợc xác định theo công thức: r 0 = v 1 q 2 C = () () v 1 2 2m1m 2 1 2 2 v q 2 r r ln ttrr 4 q = ( ) () 1 2 v 2m1m 2 1 2 2v r r lnq2 tt4rrq (1.8) Để thuận tiện cho việc hình dung biến thiên nhiệt độ trong vách trụ chứa nguồn nhiệt, ta xét một số thí dụ cụ thể sau đây: Thí dụ 1: Các thông số của vách r 1 = 0,2 m ; r 2 = 0,3 m = 2 w/m. 0 C ; q v = 800 w/m 3 t m1 = 60 0 C ; t m 2 = 40 0 C + Tính hằng số C 1 : C 1 = 1 2 2 1 2 2 v 2m1m r r ln )rr( 4 q )tt( = - 37,5 0 C + Phơng trình trờng nhiệt độ: Theo (1.6) t = 64 - 100r 2 - 37,5 ln(5r) + Mật độ dòng nhiệt: Theo (1.7) q = 400r + r 75 + Nhiệt độ lớn nhất: Do C 1 < 0 nên nhiệt độ là hàm nghịch biến trên toàn bộ chiều dày vách, suy ra t max = t m1 = 60 0 C + Đồ thị: t 0 C 60 40 r ( m ) 0,2 0,3 q ( w/m 2 ) 0,3 0,2 r ( m ) 455 370 Thí dụ 2: Các thông số của vách r 1 = 0,2 m ; r 2 = 0,3 m = 2 w/m. 0 C ; q v = 3200 w/m 3 t m1 = 60 0 C ; t m 2 = 55 0 C + Tính hằng số C 1 : C 1 = 1 2 2 1 2 2 v 2m1m r r ln )rr( 4 q )tt( = 37,5 0 C + Phơng trình trờng nhiệt độ: Theo (1.6) t = 76 - 400r 2 + 37,5 ln(5r) + Mật độ dòng nhiệt: Theo (1.7) q = 1600r - r 75 + Nhiệt độ lớn nhất: Theo (1.8) r 0 = v 1 q 2 C = 0,22m [0,2; 0,3] Nh vậy nhiệt độ đạt cực đại cũng đồng thời là giá trị lớn nhất tại: r = r 0 = 0,22 m t max = t(r 0 ) 61 0 C + Đồ thị: t 0 C 0,2 0,3 r ( m ) 60 55 q ( w/m 2 ) 0,2 0,3 r ( m ) -55 230 Thí dụ 3: Các thông số của vách r 1 = 0,2 m ; r 2 = 0,3 m = 2 w/m. 0 C ; q v = 3200 w/m 3 t m1 = 60 0 C ; t m 2 = 80 0 C + Tính hằng số C 1 : C 1 = 1 2 2 1 2 2 v 2m1m r r ln )rr( 4 q )tt( = 100 0 C + Phơng trình trờng nhiệt độ: Theo (1.6) t = 76 - 400r 2 + 100 ln(5r) + Mật độ dòng nhiệt: Theo (1.7) q = 1600r - r 200 + Nhiệt độ lớn nhất: Theo (1.8) r 0 = v 1 q 2 C = 0,35 m [0,2; 0,3] Suy ra nhiệt độ đồng biến trên đoạn [0,2; 0,3] do đó t max = t m 2 = 80 0 C + Đồ thị: 2. Điều kiện biên loại 3 a. Trờng hợp nhiệt chỉ toả ra ở mặt ngoi vách: Giả sử mặt ngoài vách tiếp xúc với chất lỏng có nhiệt độ t L . Hệ số toả nhiệt giữa chất lỏng và mặt ngoài vách là . Mặt trong vách đợc cách nhiệt hoàn toàn. Vách đợc làm nguội trong chất lỏng. Khi đó điều kiện biên loại 3 đợc viết nh sau: - Tại mặt trong: 0 dr dt 2 rr = = Thay vào (1.2) ta tìm đợc C 1 = 2 1 v r 2 q - Tại mặt ngoài: () = ++ = = = = = 2 1 v 1 221 2 2 v 2m L2m 2 rr 2 rr r 2 q C )3.1(theoCrlnCr 4 q t tt dr dt q Từ đó tìm đợc giá trị của C 2 bằng: C 2 = t L + + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 v rlnr 2 r 1 r r r 1 2 q Thay các giá trị của C 1 và C 2 vào (1.3) sẽ tìm đợc phơng trình trờng nhiệt độ trong trờng hợp đang khảo sát: t = 2 v r 4 q + C 1 rln + C 2 t = t L + + + 2 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 v r r 1 r. 2 r r ln r r 2 r r 1r 4 q (1.9) t 0 C 0,2 0,3 60 80 r ( m ) q ( w/m 2 ) 0,2 0,3 - 186 - 680 r ( m ) Mật độ dòng nhiệt tại mặt ngoài vách trụ đợc tính theo công thức Newton - Richman: )tt(q L2m 2 rr = = hoặc theo công thức: 1 2 2 v 2 rr 2 rr C r r 2 q dr dt q = = = = = 2 v r 2 q - 2 r 2 1 v r 2 q = 2 2 1 2 2v r rr 2 q (1.10) b. Trờng hợp nhiệt chỉ toả ra ở mặt trong vách: Giả sử mặt trong vách tiếp xúc với chất lỏng có nhiệt độ t L . Hệ số toả nhiệt giữa chất lỏng và mặt trong vách là . Mặt ngoài vách đợc cách nhiệt hoàn toàn. Vách đợc làm nguội trong chất lỏng. Khi đó điều kiện biên loại 3 đợc viết nh sau: - Tại mặt ngoài: 0 dr dt 2 rr = = Thay vào (1.2) ta tìm đợc C 1 = 2 2 v r 2 q - Tại mặt trong: () = ++ = = = = = 2 2 v 1 211 2 1 v 1m L1m 1 rr 1 rr r 2 q C )3.1(theoCrlnCr 4 q t tt dr dt q Từ đó tìm đợc giá trị của C 2 bằng: C 2 = t L + + 1 2 2 2 1 1 2 2 1 v rlnr 2 r 1 r r r 1 2 q Thay các giá trị của C 1 và C 2 vào (1.3) sẽ tìm đợc phơng trình trờng nhiệt độ trong trờng hợp này: t = 2 v r 4 q + C 1 rln + C 2 t = t L + + + 2 1 2 11 2 1 2 2 1 2 1 v r r 1 r. 2 r r ln r r 2 r r 1r 4 q (1.11) Mật độ dòng nhiệt tại mặt trong vách trụ đợc tính theo công thức Newton-Richman : )tt(q L1m 1 rr = = hoặc theo công thức: 1 1 1 v 1rr 1rr C r r 2 q dr dt q = = = = = 1 v r 2 q - 1 r 2 2 v r 2 q = 1 2 2 2 1v r rr 2 q (1.12) c. Trờng hợp nhiệt toả ra ở cả 2 mặt vách: Xét trờng hợp vách trụ tiếp xúc với cùng một chất lỏng ở cả 2 mặt vách. Nhiệt độ chất lỏng là t L , hệ số toả nhiệt giữa chất lỏng và mặt vách là . Vách đợc làm nguội trong chất lỏng. Ta có hệ phơng trình viết cho mật độ dòng nhiệt ở 2 mặt vách nh sau: () () () () + +== + +== = = 1 2 2 2 1 2 2 1 v 2m1m 2 2 v L2m 2 rr 1 2 1 2 1 2 2 1 v 2m1m 2 1 v L1m 1 rr r r lnr r r 1r 4 q tt r 2 q ttq r r lnr r r 1r 4 q tt r 2 q ttq Giải ra đối với 2 ẩn là t m1 và t m2 , ta đa đợc bài toán về trờng hợp điều kiện biên loại 1 nh đã xét ở trên. Có thể thấy rằng do giả thiết nhiệt truyền từ cả 2 mặt vách đến chất lỏng bao quanh (có nghĩa chiều dòng nhiệt tại 2 mặt là ngợc nhau) nên chắc chắn nhiệt độ của vách sẽ đạt cực đại tại giá trị r 0 (r 1 ; r 2 ), tại đó dr dt = 0 q (r 0 ) = 0. ii. thanh trụ Khái niệm thanh trụ ở đây đợc hiểu là vật thể hình trụ đặc. Xét thanh trụ đờng kính R, hệ số dẫn nhiệt , chứa nguồn nhiệt phân bố đều có năng suất sinh nhiệt thể tích là q v . 1. Điều kiện biên loại 1 Biết nhiệt độ bề mặt thanh trụ là t m . Giả thiết tại trục của thanh, gradient nhiệt độ bằng không: 0 dr dt 0r = = . Từ biểu thức (1.2): = r .u r dr dt = 2 r q 2 v + C 1 kết hợp với giả thiết: 0 dr dt 0r = = . Có thể suy ra: C 1 = 0 do đó (1.2) trở thành: dr dt = 2 r q v dt = v q 2 rdr t = - 2 v r 4 q + C 2 Điều kiện biên: khi r = R thì t = t m từ đó tính đợc C 2 = + m t 2 v R 4 q Phơng trình trờng nhiệt độ trong thanh trụ có dạng: = - t 2 v r 4 q + C 2 = - 2 v r 4 q + + m t 2 v R 4 q = t + m t )rR( 4 q 22 v = + m t 2 2 v R r 1R 4 q (2.1) Rõ ràng là khi r = 0 thì t đạt giá trị lớn nhất bằng t max = t x= 0 = + m t 2 v R 4 q Mật độ dòng nhiệt bằng: q = - ( dr dt ) = r 2 q v - 1 C r = r 2 q v (2.2) Nh vậy q đạt giá trị lớn nhất khi r = R, q max = R 2 q v 2. Điều kiện biên loại 3 Chất lỏng bao quanh thanh trụ có nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tơng ứng là t L và . Giả sử thanh trụ đợc làm nguội trong môi trờng lỏng. Ta có hệ phơng trình sau: = = += = = )tt(q R 2 q q R r 1R 4 q tt LmRr v Rr 2 2 v m Giải hệ đó ta sẽ tìm đợc phơng trình trờng nhiệt độ trong thanh trụ: t = t L + + 2 2 v R r R. 21R 4 q (2.3) Nhiệt độ bề mặt thanh trụ đợc xác định theo công thức: t m = R 2 q v + t L Mật độ dòng nhiệt tại bán kính r bất kỳ bằng: q = - ( dr dt ) = r 2 q v - 1 C r = r 2 q v (2.4) iii. Kết luận Khảo sát quá trình dẫn nhiệt trong vách trụ chứa nguồn nhiệt là lĩnh vực nghiên cứu có ý nghĩa to lớn cả về phơng diện lý thuyết cũng nh thực tế. Chúng tôi hy vọng bài báo này sẽ là một trong những đề xuất cụ thể nhằm góp phần hoàn thiện hóa các cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu toàn diện bài toán truyền nhiệt. Tài liệu tham khảo [1]. André B. De Vrient. "La transmission de la chaleur ". Gaởtan Morin éditeur,1990. [2]. Frank Kreith, Mark S.Bohn. "Principles of heat transfer". West Publishing Company,1993. [3]. B.N. Yudaev. "Teplopredatra". Moskva Vshaia Schola, 1973. [4]. Đặng Quốc Phú, Trần Thế Sơn, Trần Văn Phú. "Truyền nhiệt ". Nhà xuất bản Giáo dục, 1999 . dẫn nhiệt ổn định trong vật thể hình trụ chứa nguồn nhiệt phân bố đều ThS. Nguyễn đức huy Bộ môn Kỹ thuật nhiệt Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Bi báo trình by cách. 0. ii. thanh trụ Khái niệm thanh trụ ở đây đợc hiểu là vật thể hình trụ đặc. Xét thanh trụ đờng kính R, hệ số dẫn nhiệt , chứa nguồn nhiệt phân bố đều có năng suất sinh nhiệt thể tích là q v . xác định phơng trình trờng nhiệt độ và lập công thức tính mật độ dòng nhiệt đối với vật thể hình trụ (dạng vách và dạng thanh) có chứa nguồn nhiệt phân bố đều. i. vách trụ Khái niệm vách trụ