Báo cáo khoa học: "Đánh giá ổn định bền vững hệ thống điều khiển đối t-ợng mờ" doc

Đánh giá ổn định bền vững hệ thống điều khiển đối tợng mờ PGS. TS. lê hùng lân ThS. lê thị tuyết nhung Khoa Điện - Điện tử Trờng Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bi báo giới thiệu một phơng pháp xác định độ dự trữ ổn định bền vững của hệ thống điều khiển kín đối tợng với các tham số mờ. Dựa trên các khái niệm về ổn định bền vững của Kharitonov v Tsypkin - Polyak, một phơng pháp mới nhằm đánh giá ổn định v xác định mối quan hệ giữa độ dự trữ ổn định bền vững của hệ thống điều khiển với khoảng cách từ đờng đáp ứng tần số hệ hở tới điểm (-1,j0) sẽ đợc đề cập. Summary: This paper presents a method of determining the robustness margin of the closed - loop control systems with fuzzy parametric uncertainty. Owing to the Kharitonovs and Tsypkin - Polyaks robust stability concept, it is determined to analyse and associate the robustness margin of the closed-loop systems with the distance of the frequency response to the (-1,j0) point. CB A i. đặt vấn đề Một vấn đề quan trọng của nghiên cứu về điều khiển đối tợng mờ là tìm ra các phơng pháp đánh giá ổn định hệ thống điều khiển kín đối tợng với các tham số mờ. Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này chẳng hạn nh [1-5]. Đi theo hớng này trong [8-9] tác giả đã đa ra phơng pháp đánh giá ổn định hệ thống điều khiển với đa thức đặc trng có chứa tham số mờ trên cơ sở mở rộng tiêu chuẩn ổn định bền vững Tsypkin - Polyank. Một trong các giải pháp là mở rộng các phơng pháp ổn định bền vững với các hệ số chứa tham số khoảng sang các hệ chứa tham số mờ. Bài báo ở đây sẽ xem xét một khía cạnh khác đó là ổn định hệ thống điều khiển kín có chứa đối tợng với các tham số mờ. Bằng cách tổng quát hóa các kết quả nghiên cứu về ổn định bền vững trong [10] và [11], tiêu chuẩn ổn định đợc đề xuất trong bài báo có thể hiện đồ họa trực quan và trực tiếp đa ra mối quan hệ giữa độ dự trữ ổn định tham số với độ mờ của thông tin về đối tợng. ii. giải quyết vấn đề Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback). Hệ thống có đối tợng P(s,a,b) và bộ điều khiển C(s) trong mạch điều khiển hở. Hàm truyền đạt của đối tợng điều khiển: nm a sbsa b sbsb )a,s(A )b,s(B )b,a,s(P 0 1n 1n n n 0 1m 1m m m +++ +++ == (1) Với: (2) ++ iiiiii bbb,aaa Cho trớc hàm truyền đạt của bộ điều khiển C(s), bài toán đặt ra là đánh giá tính ổn định của hệ thống. Từ các giả thiết trên suy ra đa thức đặc trng danh định kín 1)b,a,j(P).j(C + . Theo tiêu chuẩn Nyquist xét cho trờng hợp hệ hở ổn định, điều kiện để hệ kín ổn định là đáp ứng tần số của hệ hở không bao điểm M(-1,j0). Trở lại bài toán điều khiển với đối tợng tham số khoảng (1), giả sử đã có một hệ thống danh định ổn định với bộ tham số , điều kiện để hệ kín ổn định l chuỗi các miền giá trị không bao điểm (-1,j0). * i * i b,a { ),0[),b,a,j(P).j(C + } ở đây các tham số đợc biểu diễn dới dạng: * i * i b,a 2 aa a, 2 aa a,aaa 2 bb b, 2 bb b,bbb ii i ii * ii * ii ii i ii * ii * ii ++ ++ = + =+= = + =+= (3) Khi đó chuyển sang miền tần số các đa thức tử số có thể viết lại nh sau: CB A () (){} ()({} {}{} * B * BB * B 3* 3 * 1 3* 3 * 1 2 20 2* 2 * 0 m m * m 1 * 1 0 * 0 m m10 IIjRR bb bbj bb bb )j)(bb( )j)(bb()bb( )j(b )j(bb)b,j(B +++= +++++++= ++++++= +++= ) ) (4) Tơng tự đa thức mẫu số biểu diễn sang miền tần số: () (){} ()({} {}{} * A * AA * A 3* 3 * 1 3* 3 * 1 2 20 2* 2 * 0 IIjRR aa aaj aa aa )a,j(A +++= +++++++= = (5) Các số phức )b,j(B , gồm các phần thực và phần ảo là tổng các số khoảng. )a,j(A Nh vậy tại mỗi tần số > 0, đặc tính tần số )b,a,j(P là miền giá trị: ( ) ( ) ()() A * AA * A B * BB * B AA BB IIRR IIjRR jIR jIR )b,a,j(P ++ +++ = + + = (6) trong đó: bbI; bbI bbR; bbR 3* 3 * 1B 3* 3 * 1 * B 2 20 B 2* 2 * 0 * B +=+= +=+= (7) aaI; aaI aaR; aaR 3* 3 * 1A 3* 3 * 1 * A 2 20 A 2* 2 * 0 * A +=+= +=+= (8) CB A } Xét một điểm cố định thuộc mặt phẳng phức. Điểm M sẽ nằm trong miền giá trị Nyquist { khi và chỉ khi tồn tại một giá trị thực jvuM += ),0[),b,a,j(P).j(C + sao cho: )j(C jvu )b,a,j(Pjvu)b,a,j(P).j(C + =+= (9) Từ (6) và (9) có: ( ) ( ) ()() 'jv'u )j(C jvu IIRR IIjRR A * AA * A B * BB * B += + = ++ +++ (10) ( ) ( ) ( ) ()( )( ) +++=+ ++=+ A * AA * AB * B A * AA * AB * B RR'vII'uII II'vRR'uRR (11) Suy ra: ( ) ( ) ( ) ()( )( ) +++=+ ++=+ A * AA * AB * B A * AA * AB * B RR'vII'uII II'vRR'uRR (12) () ( ) () () =+ =+++ 0R'vI'uIR'vI'uI 0I'vR'uRI'vR'uR AAB * A * A * B AAB * A * A * B (13) Khi đó tính ổn định bền vững của hệ thống đợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau: Định lý 1: Hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số khoảng (1) l ổn định bền vững khi v chỉ khi: a. Hệ thống kín danh định ổn định b. )b,a,j(L Với ( ) () ( ) () AAB * A * A * B AAB * A * A * B R'vI'uI R'vI'uI j I'vR'uR I'vR'uR )b,a,j(L + + + = (14) Chứng minh Giả sử với bộ tham số hệ thống kín ổn định. * i * i b,a Theo tiêu chuẩn Nyquist mở rộng đã trình bày ở trên, để hệ thống kín ổn định thì miền giá trị {} ),0[),b,a,j(P).j(C + không bao điểm (u,jv), ta có: ( ) ( ) ()() )j(C jvu IIRR IIjRR A * AA * A B * BB * B + ++ +++ (15) () ( ) () () + +++ 0R'vI'uIR'vI'uI 0I'vR'uRI'vR'uR AAB * A * A * B AAB * A * A * B (16) Từ (16) suy ra: () () ( ) () + + AAB * A * A * B AAB * A * A * B R'vI'uI R'vI'uI , I'vR'uR I'vR'uR min (17) Và suy ra điều phải chứng minh: )b,a,j(L . Biểu thức (17) thể hiện về mặt đồ họa nh sau: là bán kính hình vuông tiệm cận với đờng cong ở (14), đó chính là độ dự trữ tham số ổn định bền vững (robustness margin) của hệ thống. )b,a,j(L Ví dụ: Cho hệ thống điều khiển kín sau: Đối tợng 01 2 01 ~ asas bsb )s(P ++ + = . Trong đó các tham số của đối tợng là tham số khoảng: [ ] [ ] [ ] [ ] 3.3,1.3,7.2b,3.2,9.1,7.1b,5.10,2.10,5.9a,5.2,2.3,5.3a 1001 = = = = CB A Bộ điều khiển 5s10s 23s20 )s(C 2 ++ + = : Khi đó đa thức đặc trng danh định kín: . 7.94s3.195s2.45s8.6s)s(A 234 k ++++= Đa thức này có 4 nghiệm nằm ở nửa trái mặt phẳng phức: ;5495.0p;9024.4p;8909.5j6741.0p;8909.5j6741.0p 4321 = = = + = Nh vậy hệ thống danh định kín ổn định. Đồ thị )b,a,j(L nh hình vẽ: Từ hình vẽ ta có I I R R 2.8 = == cho biết phạm vi điều chỉnh tham số, đó chính là độ dự trữ tham số ổn định bền vững (robustness margin) iii. Bi toán xây dựng tiêu chuẩn ổn định bền vững hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số mờ Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback). Đối tợng mờ và bộ điều khiển C(s) nằm trong mạch điều khiển hở của hệ thống kín. Trong đó hàm truyền đạt đối tợng: )q,s(P ~~ nm, a sbsa b sbsb )a,s(A )b,s(B )q,s(P 0 ~ 1n 1n ~ n n ~ 0 ~ 1m 1m ~ m m ~ ~~ ~~ ~~ +++ +++ == (18) Với véc tơ tham số mờ ; các tham số )b,a(q ~~~ = m,1j,b j ~ = ; n,1i,a i ~ = là các số mờ có hàm thuộc tam giác, dựa vào khái niệm về lát cắt có thể biểu diễn số mờ nh một số khoảng nh sau: [] () () () () [] + +++ += +=== i * ii * i ii * iiiiiii a1a,a1a a,a1a)(a),(a)a,a,(aa (19) Tơng tự với : j ~ b [ ] ( ) ( ) () () [] + +++ += +=== j * jj * j jj * jjjjjjj b1b,b1b b,b1b)(b),(b)b,b,(bb (20) Khi đó chuyển sang miền tần số, các đa thức mẫu số và tử số có thể viết nh sau: () () [] () () [] () () () [] () () () [] () () [] ++ + ++ +++=+= =++ ++++= =+++= BB * BBB * BBB n m * mm * m 1 * 11 * 10 * 00 * 0 0 ~ 1m 1m ~ m m ~~~ I,I1IjR,R1RjIR jb1b,b1b jb1b,b1bb1b,b1b b )j(b)j(b)b,j(B (21) CB A trong đó: bbbI, bbbR bbbI, bbbR bbbI, bbbR 5 5 3 31 B 4 4 2 20 B 5 5 3 31B 4 4 2 20B 5* 5 3* 3 * 1 * B 4* 4 2* 2 * 0 * B ++=++= ++=++= ++=++= ++++++ ++ (22) Tơng tự: () ( ) [] () ( ) [ ] ++ +++=+= AA * AAA * AAA ~~ I,I1IjR,R1RjIR)a,i(A (23) Với aaaI, aaaR aaaI, aaaR aaaI, aaaR 5 5 3 31 A 4 4 2 20 A 5 5 3 31A 4 4 2 20A 5* 5 3* 3 * 1 * A 4* 4 2* 2 * 0 * A ++=++= ++=++= ++=++= ++++++ ++ (24) Nh vậy tại mỗi tần số , đặc tính tần số đối tợng mờ là miền giá trị: 0> )q,s(P ~ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] () () [] () ( [] ) ++ ++ +++ +++ = + + = AA * AAA * A BB * BBB * B AA BB ~~ I,I1IjR,R1R I,I1IjR,R1R jIR jIR )q,s(P (25) Khi đó tính ổn định bền vững của hệ thống đợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau: Định lý 2: Hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số mờ (18) l ổn định bền vững khi v chỉ khi: a. Hệ thống kín danh định ổn định b. )b,a,j(L Trong đó: )()()b,a,j(L 21 + = + + + = AAB * A * A * B 1 I'vR'uR I'vR'uR )( nếu (26) 0I'vR'uR * A * A * B >+ + + + = AAB * A * A * B I'vR'uR I'vR'uR nếu 0I'vR'uR * A * A * B <+ ++ = AAB * A * A * B 2 R'vI'uI R'vI'uI )( nếu (27) 0R'vI'uI * A * A * B > + = AAB * A * A * B R'vI'uI R'vI'uI nếu 0R'vI'uI * A * A * B < Chứng minh Xét tại một điểm cố định bất kỳ trên mặt phẳng phức jvuM + = với biên độ hữu hạn. Rõ ràng điểm M này nằm trong miền giá trị Nyquist khi và chỉ khi tồn tại giá trị sao cho: )q,j(P)j(C ~ CB A 'jv'u )j(C jvu )q,j(Pjvu)q,j(P)j(C ~~ += + =+= (28) Từ đó rút ra: () ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] () () [] () () [] () () [] () () [] () ( [] () () [] () () [] () () [] +++=+ ++=+ += +++ +++ +++ +++ ++ ++ AA * AAA * ABB * B AA * AAA * ABB * B AA * AAA * A BB * BBB * B R,R1R'vI,I1I'uI,I1I I,I1I'vR,R1R'uR,R1R 'jv'u I,I1IjR,R1R I,I1IjR,R1R ) (29) Do đó để Đồ thị Nyquist không bao điểm (-1, j0) thì: () ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] () () [] () () [] () () [] +++=+ ++=+ +++ +++ AA * AAA * ABB * B AA * AAA * ABB * B R,R1R'vI,I1I'uI,I1I0 I,I1I'vR,R1R'uR,R1R0 (30) Cuối cùng: () () ( ) ( ) [ ] () () ()() [] + ++++ +++ +++ AABAAB * A * A * B AABAAB * A * A * B R'vI'uI,R'vI'uI1R'vI'uI0 I'vR'uR,I'vR'uR1I'vR'uR0 (31) Từ đó rút ra điều phải chứng minh. Ví dụ Cho hệ thống điều khiển kín sau: đối tợng 01 2 01 ~ asas bsb )s(P ++ + = , Trong đó các tham số của đối tợng là tham số mờ. Trong đó có các hàm thuộc tam giác có dạng: [ ] [ ] [ ] [ ] 3.3,1.3,7.2b,3.2,9.1,7.1b,5.10,2.10,5.9a,5.2,2.3,5.3a 1001 = = = = Bộ điều khiển 5s10s 23s20 )s(C 2 ++ + = ; Đa thức danh định kín: , dễ dàng chứng minh đợc hệ thống danh định kín ổn định. 7.94s3.195s2.45s8.6s)s(A 234 k ++++= Đồ thị nh hình vẽ bên: )b,a,j(L CB A iv. Kết luận Từ đồ thị có 5.0 = . Điều đó có nghĩa là hệ thống ổn định với độ dự trữ ổn định (robustness margin) là 0.5. Mục tiêu đặt ra của bài báo là xác định độ dự trữ ổn định tham số của đối tợng điều khiển trong hệ thống, và mối liên hệ giữa độ dự trữ ổn định với độ mờ thông tin về đối tợng. Định lý 2 cho phép xác định trực tiếp độ dự trữ ổn định của đối tợng điều khiển mờ (18). Ví dụ minh họa xét trờng hợp hàm thuộc tham số có dạng tam giác, các chứng minh của định lý 2 vẫn đúng khi hàm thuộc có các dạng khác nh hình thang Tài liệu tham khảo [1]. Lê Hùng Lân, (1998). Khảo sát thiết kế hệ thống điều khiển tự động mờ. Tuyển tập các báo cáo khoa học VICA 3, 281 287. [2]. Lê Hùng Lân, (1998). Robust stability criterion for automatic control system with fuzzy logic controller, Vietnam - Japan bilateral symposium on fuzzy systems and applications, 666-669. [3]. Lê Hùng Lân, (1999). ổn định tuyệt đối của hệ phản hồi mờ có chứa bất định tham số. K yu Hi ngh ng dng toán học toàn quốc ln th nht, 227-234. [4]. Lê Hùng Lân, (2000), Phân tích ổn định hệ thống điều khiển mờ trên cơ sở tính thụ động hệ thống. Tuyn tp các báo cáo khoa học VICA4, 259-264. [5]. FUZZY SETS AND SYSTEMS SPECIAL ISSUE, (2003), Interfaces between fuzzy set theory and interval analysis, V.135. [6]. BONDIA J., PICO J., (2003) Analysis of linear systems with fuzzy parametric uncertainty. Fuzzy Sets and Systems, V.135. 81-121. [7]. TSYPKIN YA.Z, POLYAK B.T (1991), Frequency domain criteria for l p -robust stability of continuous linear systems. IEEE Trans. Automat. Control. . V.36. 1464-1469. [8]. E YH AH, (2005), ), ,N2. [9]. E YH AH, (1993), , . . 119-130. [10]. Lê Hùng Lân, Lê Thị Tuyết Nhung. Đánh giá độ dự trữ ổn định hệ thống điều khiển đối tợng mờ, Tuyển tập VICA6. [11]. Lê Hùng Lân, (1997). ổn định hệ thống điều khiển logic mờ. Thông báo khoa học các Trờng Đại học Điện - Điện tử - Tự động hoá, 49 - 55 CB A . ổn định bền vững của hệ thống đợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau: Định lý 1: Hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số khoảng (1) l ổn định bền vững khi v chỉ khi: a. Hệ thống kín danh định. tính ổn định bền vững của hệ thống đợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau: Định lý 2: Hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số mờ (18) l ổn định bền vững khi v chỉ khi: a. Hệ thống kín danh định. chuẩn ổn định bền vững hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số mờ Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback). Đối tợng mờ và bộ điều khiển