Contents Anti-Copyright xxiv Preface xxv 0.1 Advice to Teachers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv 0.2 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv 0.3 Warnings and Disclaimers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi 0.4 Suggested Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii 0.5 About the Title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii I Algebra 1 1 Sets and Functions 2 1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Single Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Inverses and Multi-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Transforming Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 i 2 Vectors 22 2.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 The Dot and Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 II Calculus 47 3 Differential Calculus 48 3.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.1 Application: Using Taylor’s Theorem to Approximate Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6.2 Application: Finite Difference Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.8.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.8.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.8.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.8.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.8.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.8.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 ii 3.8.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.11 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.12 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4 Integral Calculus 116 4.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.3 The Fundamental Theorem of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.9 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.10 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5 Vector Calculus 154 5.1 Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2 Gradient, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 iii 5.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.6 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.7 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 III Functions of a Complex Variable 179 6 Complex Numbers 180 6.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.2 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.3 Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.4 Arithmetic and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.5 Integer Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.6 Rational Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7 Functions of a Complex Variable 239 7.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.2 The Point at Infinity and the Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.3 A Gentle Introduction to Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.4 Cartesian and Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.5 Graphing Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.6 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.7 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.8 Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 7.9 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 iv 7.11 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 7.12 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8 Analytic Functions 360 8.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 8.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 8.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 8.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 8.4.1 Categorization of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 8.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 8.5 Application: Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 8.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 8.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 9 Analytic Continuation 437 9.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 9.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 9.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 9.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 9.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or Imaginary Parts . . . . . . . . . . . . . . 450 9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 9.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 9.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 10 Contour Integration and the Cauchy-Goursat Theorem 462 10.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 10.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 10.2.1 Maximum Modulus Integral Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 10.3 The Cauchy-Goursat Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 v 10.4 Contour Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 10.5 Morera’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 10.6 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 10.7 Fundamental Theorem of Calculus via Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 10.7.1 Line Integrals and Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 10.7.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 10.8 Fundamental Theorem of Calculus via Complex Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 10.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 10.10Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 10.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 11 Cauchy’s Integral Formula 493 11.1 Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 11.2 The Argument Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 11.3 Rouche’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 11.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 11.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 12 Series and Convergence 525 12.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 12.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 12.1.2 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 12.1.3 Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 12.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 12.2.1 Tests for Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 12.2.2 Uniform Convergence and Continuous Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 12.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 12.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 12.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 vi 12.5.1 Newton’s Binomial Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 12.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 12.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 12.7.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 12.7.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 12.7.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 12.7.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 12.7.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 12.7.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 12.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 12.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 13 The Residue Theorem 626 13.1 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 13.2 Cauchy Principal Value for Real Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 13.2.1 The Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 13.3 Cauchy Principal Value for Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 13.4 Integrals on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 13.5 Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 13.6 Fourier Cosine and Sine Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 13.7 Contour Integration and Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 13.8 Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 13.8.1 Wedge Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 13.8.2 Box Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 13.9 Definite Integrals Involving Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 13.10In finite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 13.11Exe rcises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 13.12Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680 13.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 vii IV Ordinary Differential Equations 772 14 First Order Differential Equations 773 14.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 14.2 Example Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 14.2.1 Growth and Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 14.3 One Parameter Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 14.4 Integrable Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 14.4.1 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 14.4.2 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 14.4.3 Homogeneous Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 14.5 The First Order, Linear Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 14.5.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 14.5.2 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792 14.5.3 Variation of Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 14.6 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 14.6.1 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 14.7 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 14.8 Equations in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 14.8.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 14.8.2 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 14.8.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 14.8.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 14.9 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816 14.10Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 14.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 14.12Qu iz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843 14.13Qu iz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 viii 15 First Order Linear Systems of Differential Equations 846 15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 15.2 Using Eigenvalues and Eigenvectors to find Homogeneous Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847 15.3 Matrices and Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 15.4 Using the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 15.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 15.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870 15.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 16 Theory of Linear Ordinary Differential Equations 900 16.1 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900 16.2 Nature of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 16.3 Transformation to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 16.4 The Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 16.4.1 Derivative of a Determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 16.4.2 The Wronskian of a Set of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 16.4.3 The Wronskian of the Solutions to a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 16.5 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 16.6 The Fundamental Set of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 16.7 Adjoint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915 16.8 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919 16.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920 16.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 16.11Qu iz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 16.12Qu iz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929 17 Techniques for Linear Differential Equations 930 17.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930 17.1.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 17.1.2 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 ix [...]... 11 66 11 66 11 68 11 69 11 71 11 74 11 77 11 79 11 80 11 81 Differential Equation 11 84 11 84 11 88 11 98 12 01 12 03 12 06 10 92 10 95 10 98 11 00 11 04 11 09 11 17 11 23 11 26 11 64 11 65 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8... 10 25 10 27 10 27 10 29 10 32 10 34 10 35 10 41 10 41 10 43 10 45 10 46 10 48 10 50 10 52 10 59 10 59 10 61 10 65 10 65 10 68 10 71 10 74 10 74 10 76 10 77 10 79 10 82 21. 7 .1 Green Functions for Sturm-Liouville Problems 21. 7.2 Initial Value Problems 21. 7.3 Problems with Unmixed Boundary Conditions 21. 7.4 Problems with Mixed Boundary Conditions 21. 8 Green Functions for. .. 16 05 16 05 16 07 16 09 16 11 16 13 16 18 16 19 16 20 16 22 16 22 16 23 16 26 16 28 16 29 16 30 16 33 16 36 16 39 16 40 16 44 16 46 16 46 16 50 16 55 16 57 V Partial Differential Equations 35 Transforming 35 .1 Exercises 35.2 Hints 35.3 Solutions 16 80 Equations 16 81 16 82 16 83 ... 12 16 12 16 12 19 12 24 12 25 12 48 12 49 12 51 12 51 12 55 12 63 12 70 12 72 12 72 12 78 12 78 12 80 12 81 12 83 12 83 12 84 12 87 12 88 12 94 12 97 13 02 13 03 13 04 25 .14 Solutions 13 05 26 Self 26 .1 26.2 26.3 26.4 26.5 Adjoint Linear Operators Adjoint Operators Self-Adjoint... 15 39 15 39 15 41 15 44 15 45 15 45 15 48 15 50 15 52 15 52 15 53 15 54 15 57 15 59 15 59 15 60 15 62 15 62 15 63 15 64 15 64 15 66 15 68 15 69 15 71 15 78 15 81 33 The 33 .1 33.2 33.3 33.4 33.5 33.6 33.7 33.8 Gamma Function Euler’s Formula Hankel’s Formula Gauss’ Formula Weierstrass’ Formula Stirling’s Approximation Exercises ... 16 92 16 94 16 96 16 97 16 98 17 04 17 04 17 04 17 06 17 09 17 10 17 13 17 16 17 18 17 34 17 39 38 Finite Transforms 18 21 38 .1 Exercises 18 25 38.2 Hints 18 26 38.3 Solutions 18 27 39 The 39 .1 39.2 39.3 Diffusion Equation 18 31 Exercises ... 19 18 19 18 19 20 19 20 19 22 19 26 19 28 19 50 19 50 19 51 19 53 19 58 19 60 19 71 19 74 46 Conformal Mapping 46 .1 Exercises 46.2 Hints 46.3 Solutions 2034 2035 2038 2039 44 Transform Methods 44 .1 Fourier Transform for Partial Differential... 13 07 13 07 13 08 13 11 13 12 13 13 13 14 13 14 13 15 13 18 13 18 13 23 13 26 13 27 13 28 28 Fourier Series 28 .1 An Eigenvalue Problem 28.2... 10 18 10 18 10 21 10 21 10 22 10 24 10 24 x 19 .4 19 .5 19 .6 19 .7 20 The 20 .1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 19 .3.2 Transformation to a Constant Coefficient Equation Integral Equations 19 .4 .1 Initial Value Problems 19 .4.2 Boundary Value Problems Exercises ... 18 41 18 41 18 41 18 42 18 43 18 46 18 47 41 Waves 18 59 41. 1 Exercises 18 60 41. 2 Hints 18 66 41. 3 Solutions 18 68 42 Similarity Methods 42 .1 Exercises . . . . . 10 06 19 Transformations and Canonical Forms 10 18 19 .1 The Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 18 19 .2 Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . 11 09 21. 10Exe rcises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 17 21. 11Hi nts . . . . . . . . . . . . . . 11 81 23 Series Solutions of Differential Equations 11 84 23 .1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 84 23 .1. 1 Taylor