SOIL MECHANICS - CHAPTER 30 pptx

Chapter 30 FLAMANT In 1892 Flamant obtained the solution for a vertical line load on a homogeneous isotropic linear elastic half space, see Figure 30.1. This is the two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r θ x z F σ xx σ xz σ zz σ zx Figure 30.1: Flamant’s Problem. dimensional equivalent of Boussinesq’s basic problem. It can be considered as the superposition of an infinite number of point loads, uniformly distributed along the y-axis. A derivation is given in Appendix B. In this case the stresses in the x, z-plane are σ zz = 2F π z 3 r 4 = 2F πr cos 3 θ, (30.1) σ xx = 2F π x 2 z r 4 = 2F πr sin 2 θ cos θ, (30.2) σ xz = 2F π xz 2 r 4 = 2F πr sin θ cos 2 θ. (30.3) In these equations r = √ x 2 + z 2 . The quantity F has the dimension of a force per unit length, so that F/r has the dimension of a stress. Expressions for the displacements are also known, but these contain singular terms, with a factor ln r. This factor is infinitely large in the origin and at infinity. Therefore these expressions are not so useful. On the basis of Flamant’s solution several other solutions may be obtained using the principle of superp os ition. An example is the case of a uniform load of magnitude p on a strip of width 2a, see Figure 30.2. In this case the stresses are σ zz = p π [(θ 1 − θ 2 ) + sin θ 1 cos θ 1 − sin θ 2 cos θ 2 ], (30.4) σ xx = p π [(θ 1 − θ 2 ) − sin θ 1 cos θ 1 + sin θ 2 cos θ 2 ], (30.5) σ xz = p π [cos 2 θ 2 − cos 2 θ 1 ]. (30.6) 168 Arnold Verruijt, Soil Mechanics : 30. FLAMANT 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x z p r 1 r 2 θ 1 θ 2 Figure 30.2: Strip load. In the center of the plane, for x = 0, θ 2 = −θ 1 . Then the stresses are x = 0 : σ zz = 2p π [(θ 1 + sin θ 1 cos θ 1 ], (30.7) x = 0 : σ xx = 2p π [(θ 1 − sin θ 1 cos θ 1 ], (30.8) x = 0 : σ xz = 0. (30.9) That the shear stress σ xz = 0 for x = 0 is a consequence of the symmetry of this case. The stresses σ xx and σ zz are shown in Figure 30.3, as functions of the depth z. Both stresses tend towards zero for z → ∞, of course, but the horizontal normal stress appears to tend towards zero much faster than the vertical normal stress. It also appears that at the surface the horizontal stress is equal to the vertical stress. At the surface this vertical stress is equal to the load p, of course, because that is a boundary condition of the problem. Actually, in every point of the surface below the strip load the normal stresses are σ xx = σ zz = p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ zz /pσ xx /p z/a Figure 30.3: Stresses for x = 0. It may be interesting to further explore the result that the shear stress σ xz = 0 along the axis of symmetry x = 0 in the case of a strip load, see Figure 30.2. It can be expected that this symmetry also holds for the horizontal displacement, so that u x = 0 along the axis x = 0. This means that this solution can also be used as the solution of the problem that is obtained by considering the right half of the strip problem only, see Figure 30.4. In this problem the quarter plane x > 0, z > 0 is supposed to be loaded by a strip load of width a on the surface z = 0, and the boundary conditions on the boundary x = 0 are that the displacement u x = 0 and the shear stress σ xz = 0, representing a pe rfectly smooth and rigid vertical wall. The wall is supposed to extend to an infinite depth, which is impractical. For a smooth rigid wall of finite depth the solution may be c onsidered as a first approximation. The formulas (30.7) and (30.8) can also be written as x = 0 : σ zz = 2p π [arctan( a z ) + az a 2 + z 2 ], (30.10) x = 0 : σ xx = 2p π [arctan( a z ) − az a 2 + z 2 ]. (30.11) Arnold Verruijt, Soil Mechanics : 30. FLAMANT 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x z p Figure 30.4: Strip load next to a smooth rigid wall. Integration of the horizontal stress σ xx from z = 0 to z = h gives the total force on a wall of height h, Q = 2 π ph arctan( a h ). (30.12) For a very deep wall (h  a) this becomes, because then arctan(a/h) ≈ a/h, h → ∞ : Q = 2 π pa = 0.637 pa. (30.13) The quantity pa is the total vertical load F (per unit length perpendicular to the plane of the drawing). It appears that the horizontal reaction in an elastic material is 0.637 F . For a very shallow wall (h  a) the total lateral force will be, because then arctan(a/h) ≈ π/2, h → 0 : Q = ph. (30.14) This is in agreement with the observation made earlier that the value of the horizontal stress at the surface, just below the load, is σ xx = p. For a very short wall the horizontal force will be that horizontal stress, multiplied by the length of the wall. Another interesting application of Flamant’s solution is shown in Figure 30.5. In the case of a surface load by two parallel line loads it can . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 30.5: Line load next to a smooth rigid wall. Arnold Verruijt, Soil Mechanics : 30. FLAMANT 171 be expe cted that at the axis of symmetry (x = 0) the horizontal displacement and the shear stress will be zero, because of symmetry. This means that the solution of that problem can also be used as the solution of the problem of a line load at a certain distance from a smooth rigid wall, because the boundary conditions along the wall are that u x = 0 and σ zx = 0 for x = 0. By the symmetry of the problem shown in the left half of Figure 30.5, these conditions are satisfied by the solution of that problem. The horizontal stresses against the wall are given by equation (30.2) for Flamant’s basic problem, multiplied by 2, because there are two line loads and each gives the same stress. In this formula the value of x should be taken as x = a, where a is the distance of the force to the wall. The horizontal stress against the wall in this case is σ xx = 4 π F a 2 z (a 2 + z 2 ) 2 . (30.15) The distribution of the horizontal stresses against the wall are also shown in Figure 30.5. The maximum value occurs for z = 0.577 a, and that maximum stress is σ xx−max = 0.4135 F a The total force on a wall of depth h can be found again by integration of the horizontal stress over the depth of the wall. This gives Q = 2 π F 1 + a 2 /h 2 . (30.16) If a = 0 this is Q = 0.637 F . If a increases the value of Q will gradually become smaller. A force at a larger distance from the wall will give smaller stresses against the wall. Problems 30.1 Is it a coincidence that in each of the formulas (30.12) and (30.16) the same factor 2/π appears? 30.2 Transform the stresses in Flamant’s solution into polar coordinates, or in other words, derive ex press ions for the stress components σ rr , σ θθ and σ rθ . Note that the result is somewhat peculiar. . formulas (30. 7) and (30. 8) can also be written as x = 0 : σ zz = 2p π [arctan( a z ) + az a 2 + z 2 ], (30. 10) x = 0 : σ xx = 2p π [arctan( a z ) − az a 2 + z 2 ]. (30. 11) Arnold Verruijt, Soil Mechanics. θ 1 cos θ 1 + sin θ 2 cos θ 2 ], (30. 5) σ xz = p π [cos 2 θ 2 − cos 2 θ 1 ]. (30. 6) 168 Arnold Verruijt, Soil Mechanics : 30. FLAMANT 169 . the y-axis. A derivation is given in Appendix B. In this case the stresses in the x, z-plane are σ zz = 2F π z 3 r 4 = 2F πr cos 3 θ, (30. 1) σ xx = 2F π x 2 z r 4 = 2F πr sin 2 θ cos θ, (30. 2) σ xz = 2F π xz 2 r 4 = 2F πr sin