Chuyên đề khảo sát hàm số

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ (Chuyên đề khảo sát hàm số) Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. Câu II: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại   m M C  cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm   0 0 M x , y    3 C . Tiếp tuyến của   3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. Câu III: Cho hàm số 2 2 2 1 3 x mx m y x m      . Tìm tham số m để hàm số có: 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng. 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng 10 m . 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX. 6. Cực trị và thỏa mãn: 2 3 CD CT y y  . TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 2 of 16 Câu IV: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng   : 2 1 m d y mx m    tại 2 điểm phân biệt A, B: a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau c. Thỏa mãn điều kiện 4 . 5 OAOB    Câu V: Cho hàm số   2 3 3 2 1 x x y x      (1) a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2 b. Tìm m để đường thẳng d:   2 3 y m x    và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB. Câu VI: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a. 2 2 3 1 log 3 x m x     b. 2 3 2 1 0 3 x m x      Câu VII: Cho hàm số   2 3 3 2 1 x x y x      (1) a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min. b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ. Câu VIII: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 3 of 16 b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 4 of 16 HDG CÁC BTVN Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. HDG Tập xác định: 1 \ 2 D R         . Ta có:   2 3 ' 0, 2 1 y x D x       Bài 1: Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng:   2 3 y k x    tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:     2 1 2 3 2 1 3 2 1 x k x x k x                 có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:     2 2 1 3 2 3 7 4 4 0 2 1 2 1 x x x x x x             : Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C) Bài 2: Hàm số có: TCĐ: 1 2 x   ; TCN: 1 2 y   1 1 ; 2 2 I          Vì đường thẳng 1 2 x   không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua 1 1 ; 2 2 I         có hệ số góc k có dạng: 1 1 2 2 y k x          tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 5 of 16   2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 x k x x k x                      có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:     2 1 3 1 1 3 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x                    :Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C) Bài 3: Gọi   0 0 1 3 1 ; 2 4 2 M x C x          . Tiếp tuyến tại M có dạng:   0 2 2 0 0 0 0 3 3 1 3 3 1 : 4 4 2 4 2 2 d y x x x x x x x          Giả sử Ox; A d B d Oy     suy ra:   0 0 0 0 2 3 3 ;0 ; 0; 3 x x x A B x              OAB  vuông tạo O   2 0 1 2 . 3 1 2 3 OAB S OAOB x       0 0 6 6 6 3 2 2 x x        Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 4 6 20 40 12 6 y x      hay 3 4 6 20 40 12 6 y x      Bài 4: Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 k   . Gọi     0 0 ; M x y C  là tiếp điểm - Nếu   0 0 2 0 3 1 3 1 1 2 1 3 2 2 1 k x x x                Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y         tiếp tuyến là: 1 3 y x    TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 6 of 16 Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y         tiếp tuyến là: 1 3 y x    - Nếu     2 0 2 0 3 1 1 2 1 3 2 1 k x x           : Vô nghiệm Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: 1 3 y x    và 1 3 y x    Câu II: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại   m M C  cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm   0 0 M x , y    3 C . Tiếp tuyến của   3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. HDG Bài 1: Gọi   0 0 ; M x y là điểm cố định của hàm số   0 0 0 1 ; m x m y m x m           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1 0 0 0 1 m x y x x y m x y x x x y y                        Với   0; 1 M  , tiếp tuyến tại M là:   ' 0 1 1 y y x x      Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định 1 y x    tại   0; 1 M  . Bài 2: Ta có: 2 1 m y m x m      TCĐ: x m  và TCN: 1 y m   Gọi   2 ; 1 , 0 m m M a m m C a a            . Tiếp tuyến tại M có dạng:      2 2 2 2 : ' 1 1 m m m d y y a m x a m m x a m m a a a               TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 7 of 16 Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:   2 2 2 ; 1 ; ; 1 m A a m m B m m a           Nhận thấy 2 2 A B M A B M x x x y y y         M là trung điểm của AB (đpcm) Bài 3: Điểm   3 9 9 : 2 3 ;2 3 M C y M x                Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: 2 2 9 18 27 : 2y x          Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:   18 2 3;2 ; 3;2A B a          Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên   3;2 I + IAB  vuông tại I nên: 1 1 18 . . . 2 . 18 2 2 IAB S IA IB       (đvdt) + Chu vi tam giác IAB là: 2 2 18 18 2 4p IA IB AB                  2 2 18 18 2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2                  Dấu = xảy ra 18 2 3           6;5 M hoặc   0; 1 M  Câu III: HDG: Tập xác định:   \ D R m  TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 8 of 16 Ta có:     2 2 2 2 1 1 2 1 3 ' 1 x xm m y x m y x m x m x m              1: Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung  y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu 2 2 ( ) 2 1 g x x xm m      có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m 2 1 0 1 1 ( ) 0 m m g m            Vậy   1;1 m  2: Có: 1 2 1 ' 0 1 x x m y x x m            Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại 1 2 ; x x . Ta có:     1 1 2 2 4 2; 4 2 y y x m y y x m       Gọi 2 điểm cực trị là     1;4 2 ; 1;4 2 A m m B m m     OAB  vuông tại O . 0 OA OB OAOB               2 1 1 4 2 4 2 0 85 17 5 0 17 m m m m m m              Vậy 85 17 m   là giá trị cần tìm. 3:. Ta có:     1;4 2 ; 1;4 MA m m MB m m        A, M, B thẳng hàng       || 4 1 1 4 2 MA MB m m m m         1 6 2 3 m m     Đáp số: 1 3 m  4: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 9 of 16 Ta có: 2 10 4 4 10 2 AB m m m      5: Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị. Vì   1 lim 3 lim 0 3 x x y x m y x m x m              là TCX của hàm số. Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:     1 4 2 3 1 2 2 m m m h       6: Ta có: 3 4 2 3 8 2 3 3 4 CD CT m y my m               Đáp số: 3 3 ; ; 4 4 m                      Câu IV: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng   : 2 1 m d y mx m    tại 2 điểm phân biệt A, B: a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau c. Thỏa mãn điều kiện 4 . 5 OAOB    HDG: Xét phương trình hoành độ giao điểm: TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Page 10 of 16     2 1 2 1 5 1 2 2 0 2 1 x mx m f x mx m x m x              với 1 2 x     C cắt   m d tại 2 điểm phân biệt A, B   0 f x   có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2  2 0 0 17 2 9 0 6 1 1 3 0 2 4 2 m m m m m f m                                   (*) a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị   0 f x   có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x mà 1 2 1 2 x x    0 1 1 3 0 6 2 4 2 m mf m m m                          b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:         2 2 3 3 ' ; ' 2 1 2 1 A A B B A B k y x k y x x x             2 2 3 3 . . 0 2 1 2 1 A B A B k k x x      nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán. c. Gọi 1 2 ; x x là 2 nghiệm của f(x). Giả sử     1 1 2 2 ; 2 1 ; ; 2 1 A x mx m B x mx m     Theo viet ta có: 1 2 1 2 5 1 2 2 m x x m m x x m              Có: 5 4 . 5 . 0 4 OAOB OAOB         [...]... 4m 2m  1 2 7 2 Câu VI: Cho hàm số y   m  1 x  m  C  m xm Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a 2x  3  1  log 2 m x3 Page 12 of 16 Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 b 2x  3  2m  1  0 x3 HDG Số nghiệm của phương trình f  x   g  m  là số giao điểm của đường cong y... Đáp số: m   ;  x 2  3x  3 Câu V: Cho hàm số y  (1) 2  x  1 c Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2 d Tìm m để đường thẳng d: y  m  x  2   3 và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB a HDG Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x 2  3x  3  m  f  x   x 2   2m  3 x  3  2m  0 ; với 2  x  1 x 1 Để hàm. .. biệt 2  x 2  3x  3 Câu VII: Cho hàm số y  (1) 2  x  1 a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ HDG a Ta có: y   x 2  3 x  3 1 1  x 1 2  x  1 2 2  x  1  1 1    1 1    thuộc nhánh trái, B    1;    thuộc 2 2 2  2 2 2   nhánh phải của đồ thị hàm số với   0     Gọi A   ... B  4  1;  4    thì ABmin  2  2 5 Vậy  5 2 5 2 2  5 2 5 2 2     b Hàm số có TCX:  : y  1 x 1 2 Gọi A    Ox  A  2; 0  ; B    Oy  B  0;1 Page 14 of 16 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Nên S OAB  Câu VIII: Cho hàm số y 1 OA.OB  1 (đvdt) 2 x 1 (C) 2x 1 a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng... 2   x1  x2   2   x1  x2   4 x1 x2  2 2   3  2m   4  3  2m   2  4m2  4m  5  0  m  Đáp số: m  b 1 6 2 1 6 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x 2  3x  3  m  x  2   3  f  x    2m  1 x 2  3 1  2m  x  4m  3  0 ; với x  1 2  x  1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y  m  x  2   3 tại 2 điểm phân biệt  f  x   0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  72... 1  0 x3 HDG Số nghiệm của phương trình f  x   g  m  là số giao điểm của đường cong y  f  x  và đường thẳng y  g  m  song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy a Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  2x  3 như sau: x 3 - Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của  C3  - kí hiệu là  Ct  - Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu   C    Ct'   ... luận: m C  ' t (Các bạn tự vẽ hình) 1 2 phương trình vô nghiệm 1  m   ; 2  phương trình có nghiệm duy nhất 2  1  m   ; 2    2;   phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2  b Vẽ đồ thị hàm số  C '  : y  2x  3 như sau: x 3   - Giữ nguyên nhánh phải của  C3  - kí hiệu là C p - Lấy  C 'p  đối xứng nhánh trái của  C3  qua trục hoành Ox   C    C 'p    C p  (Các bạn tự... Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN c Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min HDG  1 3 1     C  ; x0  0 Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ a Gọi M  x0  ; 2 4 x0 2   là: d  x0  Với x0  0  d  1 3 1   2 4 x0 2 1 1  1 2 2 1  3 1  3... Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 1 3 1 1 3 1   c Gọi A  a  ;   thuộc nhánh trái, B  b  ;   thuộc nhánh phải 2 4a 2  2 4b 2    của đồ thị hàm số (C), với a  0  b Ta có: 2 2 2 AB   b  a  2 3  3  3 b  a   3  3 3 4ab      2 b  a       6 2  ab  4b 4a   4b 4a  2 ab  3 b  a a     2 2 Dấu bằng xảy ra ... cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB a HDG Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x 2  3x  3  m  f  x   x 2   2m  3 x  3  2m  0 ; với 2  x  1 x 1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt  f  x   0 có 2 3  m     2m  3  4  3  2m   0   2  nghiệm phân biệt khác 1   (*) m   1  f 1  0    2 2 Với điều kiện (*), . Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ (Chuyên đề khảo sát hàm số) Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm.     5: Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị. Vì   1 lim 3 lim 0 3 x x y x m y x m x m              là TCX của hàm số. Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng. M(2; 3) làm trung điểm của AB. Câu VI: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a. 2 2 3 1 log 3 x m x  