Bùi Tuấn Khang ã H m Biến Phức ã Phơng Trình Vật Lý - Toán Đại học Đ nẵng 2004 Lời nói đầu Giáo trình n y đợc biên soạn nhằm trang bị tri thức toán học cốt yếu để l m công cụ học tập v nghiên cứu môn học chuyên ng nh cho sinh viên ng nh kỹ thuật thuộc Đại học Đ nẵng Nội dung giáo trình gồm có chơng với thời lợng 60 tiết (4 đơn vị học trình) đợc chia l m hai chuyên đề nhỏ Chuyên đề H m biến phức gồm chơng Chơng Các khái niệm số phức, d y trị phức, h m trị phức v tập tập số phức Chơng Các khái niệm h m trị phức, đạo h m phức, h m giải tích sơ cấp v phép biến hình bảo giác Chơng Các khái niệm tích phân phức, định lý tích phân Cauchy v hệ Chơng Các khái niệm chuỗi h m phøc, khai triÓn Taylor, khai triÓn Laurent, lý thuyết thặng d v ứng dụng Chơng Các khái niệm bản, tính chất, phơng pháp tìm ảnh - gốc v ứng dụng biến đổi Fourier v biến đổi Laplace Chuyên đề Phơng trình vật lý Toán gồm có chơng Chơng Các khái niệm lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng vectơ, thông lợng, ho n lu v toán tử vi phân cấp Chơng Các b i toán phơng trình vật lý - to¸n, b i to¸n Cauchy v b i toán hỗn hợp phơng trình truyền sóng Chơng B i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp phơng trình truyền nhiệt, b i toán Dirichlet v b i toán Neumann phơng trình Laplace Tác giả xin chân th nh cảm ơn bạn đồng nghiệp GVC Ngun Trinh, GVC Lª Phó NghÜa v GVC TS Lê Ho ng Trí đ d nh thời gian đọc thảo v cho ý kiến đóng góp để ho n thiện giáo trình Giáo trình đợc biên soạn lần đầu có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp bạn đọc gần xa Đ nẵng 2004 Tác giả Chơng Số phức §1 Tr−êng sè phøc • KÝ hiƯu ∀ = × = { (x, y) : x, y ∈ } Trên tập định nghĩa phép toán cộng v phép toán nhân nh sau (x, y), (x, y’) ∈ ∀ (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) (1.1.1) (x, y) × (x’, y’) = (xx’ - yy’, xy’ + x’y) VÝ dô (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) v (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1) Định lý (, +, × ) l mét tr−êng sè Chøng minh KiĨm tra trực tiếp công thức (1.1.1) Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử kh«ng l (0, 0) ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (0, 0) = (x, y) Mäi phÇn tư có phần tử đối l -(x, y) = (-x, -y) ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị l (1, 0) ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) × (1, 0) = (x, y) y Mọi phần tử khác phần tử nghịch đảo l (x, y)-1 = ( x , ) x + y x + y2 ∀ (x, y) ∈ ∀ - {(0, 0)}, (x, y) × ( −y x , ) = (1, 0) x + y x + y2 Ngo i phÐp nh©n l ph©n phèi víi phÐp cộng ã Trờng (, +, ì ) gọi l trờng số phức, phần tử gọi l số phức Theo định nghĩa số phức l cặp hai số thực với phép toán thực theo công thức (1.1.1) Trên trờng số phức phép trừ, phép chia v phép luỹ thừa định nghĩa nh sau ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀* víi ∀* = ∀ - { (0, 0) } z z - z’ = z + (- z’), = z × (z’)-1 v z0 = 1, z1 = z v zn = zn-1 ì z (1.1.2) z' ã Bằng cách đồng số thực x với số phức (x, 0) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Chơng Sè Phøc x ≡ (x, 0), ≡ (1, 0) v ≡ (0, 0) tËp sè thùc trë th nh tËp cña tËp sè phøc PhÐp céng v phép nhân số phức hạn chế lên tập số thực trở th nh phép cộng v phép nhân sè thùc quen thuéc x + x’ ≡ (x, 0) + (x’, 0) = (x + x’, 0) ≡ x + x’, Ngo i tËp sè phøc có số l số thực Kí hiệu i = (0, 1) gọi l đơn vị ảo Ta cã i2 = (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) -1 Suy phơng trình x2 + = cã nghiÖm phøc l x = − ∉ Nh− vËy tr−êng sè thùc (3, +, ×) l mét tr−êng thùc sù cña tr−êng sè phức (, +, ì) Đ2 Dạng đại số số phøc • Víi mäi sè phøc z = (x, y) ph©n tÝch (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) Đồng đơn vị thực (1, 0) v đơn vị ảo (0, 1) ≡ i, ta cã z = x + iy (1.2.1) Dạng viết (1.2.1) gọi l dạng đại số sè phøc Sè thùc x = Rez gäi l phÇn thực, số thực y = Imz gọi l phần ảo v sè phøc z = x - iy gäi l liên hợp phức số phức z Kết hợp công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy dạng đại số cđa c¸c phÐp to¸n sè phøc (x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’) (x + iy) × (x’ + iy’) = (xx’ - yy’) + i(xy’ + x’y) x + iy xx ′ + yy ′ x ′y − xy ′ = +i , x ′ + iy ′ x ′ + y′ x ′ + y′ (1.2.2) VÝ dô Cho z = + 2i v z’ = - i z + 2i = =i z' 2−i z2 = (1 + 2i) × (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 × z = (-3 + 5i) × (1 + 2i) = -13 - i z × z’ = (2 + 2) + i(-1 + 4) = + 3i, • Tõ ®Þnh nghÜa suy z =z ⇔ z∈3 z = - z ⇔ z ∈ i3 z=z z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re2z + Im2z Ngo i liên hợp phức có tính chất sau Định lý (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.2.3) Chơng Số Phức z + z' = z + z' zz' = z z' z n = (z ) n z −1 = ( z ) −1 z z = z z Chứng minh Suy từ định nghĩa Ta cã zz' = (x + iy) × (x ′ + iy ′) = (xx’ - yy’) - i(xy’ + x’y) z z' = (x - iy) × (x’ - iy’) = (xx’ - yy’) + i(-xy’ -x’y) Qui n¹p suy hƯ thøc thø hai Ta cã zz −1 = z z −1 = ⇒ z −1 = ( z )-1 Suy z / z ′ = z(z ′) −1 = z z ′ −1 • Víi mäi sè phøc z = x + iy, sè thùc | z | = x + y gäi l module cña sè phøc z NÕu z = x ∈ th× | z | = | x | Nh− vËy module cña sè phøc l më rộng tự nhiên khái niệm trị tuyệt đối số thực Từ định nghĩa suy | Rez |, | Imz | ≤ | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |2 z = z(z’)-1 = z z' z-1 = z (1.2.4) z' |z| | z' | Ngo i module cđa sè phøc cßn cã tính chất sau Định lý (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ |z|≥0 |z|=0⇔z=0 | z z’ | = | z || z’ | | zn | = | z |n z |z| = | z-1 | = | z |-1 z′ | z′ | | z + z’ | ≤ | z | + | z’ | Chøng minh Suy từ định nghĩa || z | - | z’|| ≤ | z - z’ | Ta cã | zz’ |2 = zz’ zz' = (z z )(z’ z ′ ) = (| z || z’| )2 Qui n¹p suy hƯ thøc thø hai Ta cã | z z-1 | = | z || z-1| = ⇒ | z-1 | = / | z | Suy | z / z’ | = | z (z’)-1 | = | z | | (z’)-1 | Ta cã z z ′ + z z’ = 2Re(z z ′ ) ≤ | z z ′ = | z || z’| Suy | z + z’ 2 = (z + z’)( z + z' ) = z 2 + 2Re(z z ′ ) + | z’|2 ≤ (| z | + | z’|)2 §3 Dạng lợng giác số phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Chơng Số Phức ã Với sè phøc z = x + iy ∈ ∀* tån t¹i nhÊt sè thùc ϕ ∈ (-π, π] cho y x cosϕ = v sinϕ = (1.3.1) |z| |z| TËp sè thùc Argz = ϕ + k2π, k ∈ gäi l argument, sè thùc argz = ϕ gäi l argument chÝnh cđa sè phøc z Chóng ta qui −íc Arg(0) = KÝ hiƯu r = | z | tõ c«ng thøc (1.3.1) suy x = rcosϕ v y = rsinϕ Thay v o c«ng thøc (1.2.1) nhận đợc z = r(cos + isin) (1.3.2) Dạng viết (1.3.2) gọi l dạng lợng giác số phức ã Từ định nghĩa suy argz = arg(-z) = ϕ - π, arg z = - ϕ v arg(- z ) = π - ϕ x > 0, argx = x < 0, argx = π y > 0, arg(iy) = π/2 y < 0, arg(iy) = -π/2 Ngo i argument cña sè phøc có tính chất sau (1.3.3) Định lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ arg(zz’) = argz + argz’ [2π] arg(zn) = n argz [2π] arg(z-1) = - argz [2π] arg(z / z’) = argz - argz’ [2π] Chøng minh Gi¶ sö z = r(cosϕ + isinϕ) v z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Suy zz’ = rr’[(cosϕcosϕ’ - sinϕsinϕ’) + i(sinϕcosϕ’ + cosϕsinϕ’)] = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)] Qui n¹p suy hƯ thøc thø hai Ta cã arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = [2π] ⇒ arg(z-1) = - arg(z) [2π] Suy arg(z / z’) = arg(zz’-1) = argz + arg(z’-1) VÝ dô Cho z = + i v z’ = + i Ta cã zz’ = [ (cos π + isin π )][2(cos π + isin π )] = 2 (cos 5π + isin 5π ) 4 6 12 12 z100 = ( )100[cos(100 π ) + isin(100 π )] = -250 4 • Víi mäi sè thùc ϕ ∈ 3, kÝ hiƯu eiϕ = cos + i sin Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.3.4) Chơng Số Phức Theo kết có định lý sau Định lý (n, , ) ì × eiϕ ≠ eiϕ = ⇔ ϕ = k2π ei(ϕ+ϕ’) = eiϕeiϕ’ (eiϕ)-1 = e-iϕ Chứng minh Suy từ công thức (1.3.4) v kết e i = e-i (ei)n = ein Hệ (n, ) ì (cosϕ + isinϕ)n = cosnϕ + isinnϕ (1.3.5) 1 cosϕ = (eiϕ + e-iϕ) sinϕ = (eiϕ - e-iϕ) (1.3.6) 2i C«ng thøc (1.3.5) gäi l c«ng thøc Moivre, c«ng thøc (1.3.6) gäi l c«ng thøc Euler n VÝ dơ TÝnh tỉng C = ∑ cos kϕ v S = k =0 n Ta cã C + iS = ∑e k =0 Suy C= ikϕ = e n ∑ sin kϕ k =0 i ( n +1) ϕ −1 e −1 iϕ cos( n + 1)ϕ − cos nϕ + cos ϕ − 1 sin( n + 1)ϕ − sin nϕ − sin ϕ v S= cos ϕ − cos ã Số phức w gọi l bËc n cđa sè phøc z v kÝ hiƯu l w = n z nÕu z = wn NÕu z = w = Xét trờng hợp z = rei v w = ei Theo định nghÜa wn = ρneinθ = reiϕ Suy ρn = r v nθ = ϕ + m2π ϕ Hay ρ= n r v θ = + m 2π víi m ∈ n n Ph©n tÝch m = nq + k víi ≤ k < n v q ∈ Ta cã ϕ ϕ + m 2π ≡ + k 2π [2π] n n n n Tõ ®ã suy định lý sau Định lý Căn bậc n số phức khác n giá trị kh¸c ϕ ϕ wk = n r [cos ( + k 2π ) + isin( + k 2π )] víi k = (n - 1) n n n n (1.3.7) Ví dụ Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Ch−¬ng Sè Phøc (cos π + isin ) có bậc sau 4 w0 = (cos π + isin π ), w1 = (cos 9π + isin 9π ), w2 = (cos 17π + isin 17π ) 12 12 12 12 12 12 2 Giải phơng trình x - x +1 = Sè phøc z = + i = Ta cã = -3 < phơng trình có nghiệm phức x1,2 = HƯ qu¶ KÝ hiƯu ωk = e ik 2π n 1± i , k = (n - 1) l bậc n đơn vị k = n-k k = (1)k n −1 ∑ω k =0 VÝ dơ Víi n = 3, kÝ hiÖu j = e i 2π k =0 = ω1 Suy ω2 = j2 = j v + j + j2 = §4 Các ứng dụng hình học phẳng ã Kí hiệu V l mặt phẳng vectơ với sở trực chuẩn dơng (i, j) Anh x¹ Φ : ∀ → V, z = x + iy α v = xi + yj (1.4.1) l song ánh gọi l biểu diễn vectơ số phức Vectơ v gọi l ảnh số phức z, số phức z gọi l toạ vị phøc cđa vect¬ v v kÝ hiƯu l v(z) KÝ hiệu P l mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trùc giao (Oxy) Anh x¹ Φ : ∀ → P, z = x + iy α M(x, y) (1.4.2) l song ánh gọi l biểu diễn hình học số phức Điểm M gọi l ảnh số phức z số phức z gọi l toạ vị phức điểm M v kí hiệu l M(z) Nh hình bªn, M(z) víi z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) v M3( z ) M M1 NÕu z = x điểm M(z) (Ox), z = iy điểm M(z) (Oy) Do mặt phẳng (Oxy) gọi l mặt phẳng phøc, trôc (Ox) l trôc thùc v trôc (Oy) l trơc ¶o Sau n y M2 M3 chóng ta sÏ đồng số phức với vectơ hay điểm mặt phẳng v ngợc lại Định lý Cho vectơ u(a), v(b) V, số thực v ®iĨm M(z) ∈ P |u|=|a| ∠(i, u) = arg(a) Φ(λa + b) = λu + v | OM | = | z | Chøng minh Trang 10 (i, OM ) = arg(z) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Chơng Số Phức Suy từ công thức (1.4.1) v (1.4.2) Hệ Trong mặt phẳng cho điểm A(a), B(b), C(c) v D(d) AB (b - a), AB = | b - a |, ∠(i, AB ) = arg(b - a) d−c ∠( AB , CD ) = ∠(i, CD ) - ∠(i, AB ) = arg ba Chứng minh Suy từ định lý 1 1 VÝ dô Cho z ∈ ∀ - {-1, 0, 1} v A(1), B(-1), M(z), N( ) v P( (z + )) Chøng minh z z đờng thẳng (MN) l phân giác góc ∠( PA , PB ) Ta cã ∠(i, AP ) = arg( 1 (z − 1) (z + ) - 1) = arg 2z z 1 (z + 1) ∠(i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg 2z z Suy ∠(i, AP ) + ∠(i, BP ) = arg M P B O A N (z − 1) (z + 1) = 2arg(z - ) = 2∠(i, MN ) 2z 2z z HƯ qu¶ Víi kí hiệu nh Hai đờng thẳng (AB) // (CD) Hai đờng thẳng (AB) (CD) Ba điểm A, B, C thẳng h ng dc dc = [π] ⇔ ∈3 b−a b−a d−c π d−c ⇔ arg = [π] ⇔ ∈ i3 b−a b−a c−a c−a ⇔ arg = [π] ⇔ ∈3 b−a b−a ⇔ arg Chøng minh Suy tõ c¸c hƯ thức hệ Ví dụ Trong mặt phẳng tìm ®iÓm A(z) cho ba ®iÓm A(z), B(iz) v C(i) th¼ng h ng KÝ hiƯu z = x + iy, ta cã iz − i A, B, C th¼ng h ng ⇔ = k ∈ ⇔ -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1) z−i 1− k k ( k − 1) ⇔ − y = kx ,y= víi k ∈ x − = k (y − 1) ⇔ x = k +1 k +1 ã ánh xạ : P → P, M α N gäi l mét phÐp biÕn hình Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11 Chơng Sè Phøc PhÐp biÕn h×nh M α N = M + v gäi l phÐp tÜnh tiÕn theo vect¬ v PhÐp biÕn h×nh M α N = A + k AM (k > 0) gäi l phÐp vi tù t©m A, hƯ sè k PhÐp biÕn h×nh M α N cho ∠( AM , AN ) = α gäi l phÐp quay t©m A, gãc α TÝch cđa phÐp tÜnh tiÕn, phÐp vi tù v phÐp quay gäi l phép đồng dạng Định lý Cho phép biến hình : M α N ⇔ z’ = z + b víi b ∈ ∀ PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp tÜnh tiÕn PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp vi tù ⇔ z’ = a + k(z - a) víi k ∈ 3+, a ∈ ∀ PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp quay ⇔ z’ = a + eiα(z - a) víi α ∈ 3, a ∈ ∀ Phép biến hình l phép đồng dạng z’ = az + b víi a, b ∈ ∀ Chứng minh Suy từ định nghĩa phép biến hình v toạ vi phức Ví dụ Cho A(a), B(b) v C(c) Tìm điều kiện cần v đủ để ABC l tam giác i ABC l tam giác ®Òu thuËn ⇔ (a - b) = e (c - b) ⇔ (a - b) = - j2(c - b) ⇔ a + jb + j2c = T−¬ng tự, ACB l tam giác nghịch B (a - b) = - j(c - b) ⇔ a + jc + j2b = Suy ∆ABC l tam giác (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = ⇔ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca A +π C Đ5 D y trị phức ã ánh xạ : ∠ → ∀, n α zn = xn + iyn (1.5.1) gäi l d y sè phøc v kÝ hiÖu l (zn)n∈∠ D y sè thùc (xn)n∈∠ gäi l phÇn thực, d y số thực (yn)n l phần ảo, d y sè thùc d−¬ng (| zn |)n∈∠ l module, d y số phức ( z n )n l liên hợp phøc cña d y sè phøc D y sè phøc (zn)n gọi l dần đến giới hạn a v kí hiÖu l ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε D y sè phøc (zn)n∈∠ gäi l dần vô hạn v kí hiệu l lim zn = a nÕu n → +∞ lim zn = ∞ nÕu n → +∞ ∀ M > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn | > M D y có giới hạn module hữu hạn gọi l d y hội tụ D y không héi tơ gäi l d y ph©n kú Trang 12 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Chơng Số Phức Định lý Cho d y sè phøc (zn = xn + iyn)n∈∠ v a = α + iβ ∈ ∀ lim zn = a ⇔ lim xn = α v lim yn = β n → +∞ n → +∞ (1.5.2) n → +∞ Chøng minh Gi¶ sư lim zn = a ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε n → +∞ ⇒ ∀ n > N ⇒ | x n - α | < ε v | yn - β | < ε lim xn = α v lim yn = β Suy n + n + Ngợc lại lim xn = α v lim yn = β n → +∞ n → +∞ ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | xn - α | < ε/2 v | yn - β | < ε/2 ⇒ ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε lim zn = a Suy n → +∞ HƯ qu¶ lim zn = a ⇔ lim z n = a ⇒ lim | zn | = | a | n → +∞ n → +∞ n → +∞ lim (λzn + z’n) = λ lim zn + lim z’n n → +∞ n → +∞ n → +∞ lim (zn z’n) = lim zn lim z’n v n → +∞ n → +∞ n → +∞ lim (zn / z’n) = lim zn / lim z’n n → +∞ n → +∞ n + Các tính chất khác tơng tự giới hạn d y số thực ã Cho d y sè phøc (zn = xn + iyn)n∈∠ Tỉng v« h¹n +∞ ∑z n =0 n = z0 + z1 + + zn + (1.5.3) gọi l chuỗi số phức + x n gọi l phần thực, chuỗi số thực Chuỗi số thực n =0 + dơng | z n | l module, chuỗi số phức n =0 + y n =0 n l phần ảo, chuỗi số thực + z n =0 n l liên hợp phức chuỗi số phức n Kí hiệu Sn = ∑z k =0 k gäi l tỉng riªng thø n chuỗi số phức Nếu d y tổng riêng Sn dần đến giới hạn S có module hữu hạn chuỗi số phức gọi l hội tụ đến tổng S v kÝ hiÖu l +∞ ∑z n =0 n = S Chuỗi không hội tụ gọi l chuỗi phân kỳ + Ví dụ Xét chuỗi số phức z n = + z + + zn + ( | z | < 1) n =0 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 13 Chơng Số Phức Sn = + z + + zn = Ta cã z n +1 − 1 → +∞ z −1 z Vậy chuỗi đ cho hội tụ Từ định nghĩa chuỗi số phức v tính chất d y số phức, chuỗi số thực suy kết sau Định lý Cho chuỗi số phức +∞ ∑ (z n =0 +∞ ∑ zn = S ⇔ n =0 n = x n + iy n ) v S = α + iβ ∈ ∀ +∞ ∑xn = α v n =0 +∞ ∑y n =0 n = (1.5.4) Chứng minh Suy từ định nghĩa v công thức (1.5.2) Hệ + | zn | = | S | ⇒ n =0 +∞ ∑ zn = S ⇔ n =0 +∞ ∑z n =0 n = S Các tính chất khác tơng tự chuỗi số thực ã Chuỗi số phức + z n gọi l hội tụ tuyệt đối chuỗi module n =0 +∞ ∑| z n =0 n | hội tụ Rõ r ng chuỗi hội tụ tuyệt đối l chuỗi hội tụ Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung l không Ngo i ra, chứng minh chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối tổng vô hạn (1.5.3) có tính chất giao hoán, kết hợp, tơng tự nh tổng hữu hạn Đ6 H m trị phức ã Cho khoảng I 3, ánh xạ f : I , t α f(t) = u(t) + iv(t) gäi l h m trÞ phøc (1.6.1) H m u(t) = Ref(t) gäi l phÇn thùc, h m v(t) = Imf(t) l phÇn ¶o, h m | f(t) | l module, h m f (t ) l liên hợp phức h m trị phức Trên tập f(I, ) h m trị phức xác định khoảng I, định nghĩa phép toán đại số tơng tự nh tập f(I, 3) h m trị thực xác định khoảngI H m trị phức f(t) gọi l bị chặn h m module | f(t) | bị chặn Cho h m f : I → ∀ v α ∈ I H m f gọi l dần đến giới hạn L t dần đến v kí Trang 14 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Chơng Số Phức hiÖu l lim f(t) = l nÕu t →α ∀ε > 0, ∃ δ > : ∀ t ∈ I, < | t - α | < δ ⇒ | f(t) - L | < ε H m f gọi l dần vô hạn t dần ®Õn α v kÝ hiÖu l lim f(t) = ∞ nÕu t →α ∀ M > 0, ∃ δ > : ∀ t ∈ I, < | t - α | < δ ⇒ | f(t) | > M Các trờng hợp khác định nghĩa tơng tự Định lý Cho h m f : I → ∀, t α f(t) = u(t) + iv(t), α ∈ I v L = l + ik ∈ ∀ lim f(t) = L ⇔ lim u(t) = l v lim v(t) = k t →α t →α t →α (1.6.2) Chøng minh Lập luận tơng tự nh chứng minh công thức (1.5.2) HƯ qu¶ lim f(t) = L ⇔ lim f (t ) = L ⇒ lim | f(t) | = | L | lim [λf(t) + g(t)] = λ lim f(t) + lim g(t) t →α t →α t →α t →α t →α t →α lim [f(t)g(t)] = lim f(t) lim g(t), lim [f(t) / g(t)] = lim f(t) / lim g(t) t →α t →α t →α t →α t →α t →α C¸c tÝnh chÊt khác tơng tự giới hạn h m trị thực ã Từ kết thấy rằng, tính chất h m trị thực đợc mở rộng tự nhiên thông qua phần thực, phần ảo cho h m trị phøc H m f(t) = u(t) + iv(t) gäi l khả tích (liên tục, có đạo h m, thuộc lớp Ck, ) nÕu c¸c h m u(t) v v(t) l khả tích (liên tục, có đạo h m, thuộc lớp Ck, ) v ta cã ∫ f (t )dt = ∫ u(t )dt I (k) + i ∫ v (t )dt I (k) I (k) f (t) = u (t) + iv (t) , (1.6.3) H m f(t) gọi l khả tích tuyệt đối h m module | f(t) | khả tích Trên tập số phức không định nghĩa quan hệ thứ tự v tính chất liên quan đến thứ tự f(t) đợc chun qua cho module | f(t) | VÝ dơ Cho h m trÞ phøc f(t) = cost + isint cã phần thực x(t) = cost phần ảo y(t) = sint l h m thuéc líp C∞ suy h m f(t) thuéc líp C∞ f’(t) = - sint + icost, f”(t) = - cost - isint, π/2 π/2 π/2 0 ∫ (cos t + i sin t)dt = ∫ cos tdt + i ∫ sin tdt =1+i ã ánh xạ : [, ] , t (t) (1.6.4) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 15 Ch−¬ng Sè Phøc gäi l mét tham sè cung Tập điểm = ([, ]) gọi l quĩ đạo cđa tham sè cung γ hay cßn gäi l mét đờng cong phẳng Phơng trình (t) = x(t) + iy(t), t [, ] gọi l phơng trình tham số đờng cong phẳng Tham số cung gọi l kín điểm đầu v điểm cuối trùng Tøc l γ(α) = γ(β) Tham sè cung γ gäi l đơn ánh xạ : (, ) l đơn ánh Tham số cung gọi l liên tục (trơn khúc, thuộc lớp Ck, ) h m (t) l liên tục (có đạo h m liªn tơc tõng khóc, thc líp Ck, ) trªn [α, β] Sau n y chóng ta chØ xÐt tham số cung từ liên tục trở lên ã ¸nh x¹ ϕ : [α, β] → [α1, β1], t s = (t) (1.6.5) có đạo h m liên tục v khác không gọi l phép đổi tham số Nếu với t (, ) đạo h m (t) > phép đổi tham số gọi l bảo to n hớng, trái lại gọi l đổi h−íng Hai tham sè cung γ : [α, β] → ∀ v γ1 : [α1, β1] → ∀ gäi l tơng đơng có phép đổi tham số : [α, β] → [α1, β1] cho ∀ t ∈ [α, β], γ(t) = γ1oϕ(t) NÕu ϕ b¶o to n hớng v gọi l hớng, trái lại gọi l ngợc hớng Có thể thấy qua hệ hớng l quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát Nó phân chia tập tham số cung có quĩ đạo th nh hai lớp tơng đơng Một lớp hớng với lớp ngợc hớng với Đờng cong phẳng = γ([α, β]) cïng víi líp c¸c tham sè cung cïng hớng gọi l đờng cong định hớng Cũng cần l−u ý r»ng cïng mét tËp ®iĨm Γ cã thĨ l quĩ đạo nhiều đờng cong định hớng khác Sau n y nãi ®Õn ®−êng cong chóng ta hiểu l đờng cong định hớng Ví dụ Tham sè cung x(t) = Rcost, y(t) = Rsint, t [0, 2] l đơn, trơn, kín v có quĩ đạo l đờng tròn tâm gốc toạ độ, bán kính R v định hớng ngợc chiều kim đồng hồ ã Đờng cong gọi l đơn (kín, liên tục, tr¬n tõng khóc, líp Ck, ) nÕu tham sè cung l đơn (kín, liên tục, trơn khúc, lớp Ck, ) Đờng cong gọi l đo đợc tham số cung có đạo h m khả tích tuyệt đối [, ] Khi kí hiệu β s(Γ) = ∫ x ′ (t ) + y ′ (t )dt (1.6.6) α v gäi l ®é d i cđa ®−êng cong Γ Cã thĨ chøng minh đờng cong đơn, trơn khúc l đo đợc Đ7 Tập tập số phức Trang 16 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Chơng Số Phức ã Cho a v > Hình tròn B(a, ε) = {z ∈ ∀ : | z - a | < ε } gäi l ε - l©n cËn cđa ®iĨm a Cho tËp D ⊂ ∀, ®iĨm a gäi l ®iĨm cđa tËp D nÕu ∃ ε > cho B(a, ε) ⊂ D §iĨm b gọi l điểm biên tập D ε > 0, B(b, ε) ∩ D ≠ ∅ v B(b, ε) ∩ (∀ - D) ≠ ∅ KÝ hiÖu D0 l tập hợp điểm trong, D l tập hợp điểm biên b D a v D = D ∪ ∂D l bao ®ãng cđa tËp D Râ r ng ta cã D0 ⊂ D ⊂ D (1.7.1) TËp D gäi l tËp më nÕu D = D0, tËp D gäi l tËp ®ãng nÕu D = D TËp A ⊂ D gäi l më (®ãng) tËp D nÕu tËp A ∩ D l tËp më (đóng) Ví dụ Hình tròn mở B(a, ) = { z ∈ ∀ : | z - a | < } l tập mở Hình tròn đóng B (a, ε) = { z ∈ ∀ : | z - a | ≤ ε } l tËp ®ãng TËp D = { z = x + iy ∈ ∀ : x > 0, y ≥ } l tËp kh«ng đóng v không mở Định lý Tập mở, tập đóng có tính chất sau Tập v ∀ l tËp më TËp D l tËp më v chØ ∀ a ∈ D, ∃ B(a, ε) ⊂ D NÕu c¸c tËp D v E l tập mở tập D E v D ∪ E còng l tËp më TËp D l tËp më v chØ tËp ∀ - D l tËp ®ãng TËp D l tËp ®ãng v chØ ∀ (zn)n∈∠ ⊂ D v lim zn = a th× a ∈ D n → + Chứng minh - Suy từ định nghĩa tập mở Theo định nghĩa điểm biên D = ( - D) Theo định nghĩa tập mở, tập ®ãng tËp D më ⇔ ∂D ⊄ D ⇔ ∂D ⊂ ∀ - D ⇔ tËp ∀ - D ®ãng Giả sử tập D l tập đóng v d y sè phøc zn héi tơ D ®Õn ®iĨm a Khi ®ã ∀ ε > 0, ∃ zn ∈ B(a, ε) ⇒ B(a, ε) ∩ D ≠ ∅ ⇒ a D = D Ngợc lại, với a D theo định nghĩa điểm biên = 1/n, ∃ zn ∈ B(a, ε) ∩ D ⇒ ∃ zn → a Theo gi¶ thiÕt a ∈ D suy ∂D ⊂ D • TËp D gäi l giíi néi nÕu ∃ R > cho D ⊂ B(O, R) TËp ®ãng v giíi néi gäi l tËp compact Cho c¸c tËp D, E ⊂ ∀, kÝ hiƯu d(D, E) = Inf{ | a - b | : (a, b) ∈ D × E } (1.7.2) gäi l khoảng cách hai tập D v E Định lý Cho c¸c tËp D, E ⊂ ∀ TËp D l tËp compact v chØ ∀ (zn)n∈∠ ⊂ D, ∃ d y zϕ(n) → a ∈ D Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 17 Chơng Số Phøc NÕu tËp D l tËp compact v tËp E D l đóng D tập E l tËp compact NÕu c¸c tËp D, E l tËp compact v D ∩ E = ∅ th× d(D, E) > NÕu tËp D l tËp compact v ∀ n ∈ ∠, Dn ⊂ D ®ãng, Dn+1 ⊂ Dn th× +∞ Ι n =0 Dn = a ∈ D Chøng minh Gi¶ sư tËp D l tập compact Do tập D bị chặn nên d y (zn)n l d y có module bị chặn Suy d y sè thùc (xn)n∈∠ v (yn)n∈∠ l d y bị chặn Theo tính chất d y số thực ∃ xϕ(n) → α v yϕ(n) → β suy zϕ(n) → a = α + iβ Do tËp D l tập đóng nên a D Ngợc lại, mäi d y zn → a ∈ D nªn tËp D l tập đóng Nếu D không bị chặn cã d y zn → ∞ kh«ng cã d y hội tụ Vì tập D l tập đóng v bị chặn - Bạn đọc tự chứng minh • Cho a, b ∈ ∀, tËp [a, b] = {(1 - t)a + tb : t ∈ [0, 1]} l đoạn thẳng nối hai điểm a v b Hợp đoạn thẳng [a0, a1], [a1, a2], , [an-1, an] gäi l ®−êng gÊp khóc qua n +1 ®Ønh v kÝ hiÖu l < a0, a1, , an > TËp D gäi l tËp låi nÕu ∀ (a, b) ∈ D2, [a, b] ⊂ D TËp D gäi l tập liên thông đờng (a, b) D2, cã ®−êng cong Γ nèi ®iĨm a víi ®iĨm b v n»m gän tËp D TÊt nhiªn tËp lồi l tập liên thông đờng nhng ngợc lại không Tập D gọi l tập liên thông phân tÝch D = A ∪ B víi A ∩ B = ∅ v c¸c tËp A, B võa më v vừa đóng D A = D B = D Tập D mở (hoặc đóng) v liên thông gọi l miền Định lý Trong tập số phức tính chất sau l tơng đơng Tập D l liên thông (a, b) D2, cã ®−êng gÊp khóc < a0 = a, a1, , an = b > ⊂ D TËp D l liên thông đờng Chứng minh a D, đặt A = {z D : ∃ ®−êng gÊp khóc ⊂ D} TËp A võa l tËp më võa l tËp ®ãng tËp D v A ≠ ∅ nªn A = D Theo định nghĩa liên thông đờng Giả sử ngợc lại tập D không liên thông Khi D = A B với A ∩ B = ∅ v c¸c tËp A, B võa më võa ®ãng D Chän (a, b) ∈ A ì B, theo giả thiết có đờng cong (a, b) nằm gọn D Chia đôi đờng cong (a, b) b»ng ®iĨm c NÕu c ∈ A xÐt ®−êng cong (a1 = c, b1 = b), cßn nÕu c ∈ B xÐt ®−êng cong (a1 = a, b1 = c) Tiếp tục chia đôi đờng cong nhận đợc d y thắt lại an , bn c A B Trái với giả thiết A B = ∅ • Cho tËp D ⊂ ∀ bÊt kì Hai điểm a, b D gọi l liên thông, kí hiệu l a ~ b có đờng cong nèi a víi b v n»m gän D Có thể chứng minh quan hệ liên thông Trang 18 Giáo Trình Toán Chuyên Đề ... - 1) n n n n (1. 3.7) Ví dụ Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Ch−¬ng Sè Phøc (cos π + isin ) có bậc sau 4 w0 = (cos π + isin π ), w1 = (cos 9π + isin 9π ), w2 = (cos 17 π + isin 17 π ) 12 12 12 12 ... i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1) z−i 1? ?? k k ( k − 1) ⇔ − y = kx ,y= víi k ∈ x − = k (y − 1) ⇔ x = k +1 k +1 ã ánh xạ : P → P, M α N gäi l mét phÐp biÕn hình Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11 Chơng... phép toán cộng v phép toán nhân nh sau (x, y), (x, y’) ∈ ∀ (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) (1. 1 .1) (x, y) × (x’, y’) = (xx’ - yy’, xy’ + x’y) VÝ dô (2, 1) + ( -1, 1) = (1, 2) v (2, 1) ì ( -1,