toan_4_Bai4_PTVPC1_(Phan1) doc

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (PHẦN 1) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006) NỘI DUNG 1 – TỔNG QUAN 2 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3 – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 5 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 6 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH 7 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 8 – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM (SINH VIÊN TỰ XEM: SGK, TRANG 136 – 139) TỔNG QUAN Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện … ⇒ Phương trình vi phân! Vận tốc nguội đi tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Sau bao lâu từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật sẽ là 30°C? R L 0 V C i C q U dt di LUiRU CLR === ,, Kirchhoff: 0 =++ C q Ri dt di L 0 2 2 =++⇒= C q dt dq R dt qd L dt dq i Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y (k) , k = 0, 1 … n VD: 03 =+ x dx dy ( ) x exyyy =++ 3'4'' ( ) ( ) 0 =−−+ dyyxdxyx KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,'',',, = xyxyxyxyxF n  Dạng tổng quát cấp n: ( ) ( )( ) 0',, = xyxyxF NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ R (c) Dạng tham số (a) Dạng hiện: y = f(x) (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0 ( ) ( )    = = tyy txx VD: x ey dx dy =− Nghiệm: x ey 2 = Nghiệm: xx eCey 2 += nghiệm tổng quát VD: xdx + ydy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD: 2 1' yy −= Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân ( ) .,,, 1 n CCxy  ϕ = PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya = '/ ( ) ( ) 011/ 22 =−++ dyxydxyxb ( ) 04/ =++ dxxyxdyc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      =+ =+ = 0 0 ' 2211 dyygxfdxygxf dyygdxxf ygxfy Tổng quát: 3 dạng phương trình vi phân phân ly biến số Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) → Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: 0 2 =− dxyxdy GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C? VD: xya 3 sin'/ = y eyb = '/ x y yc 2 '/ = VD: ( ) 05cos2/ 4 =++ dyydxxxa ( ) ( ) 0/ 2222 =−++ dyyxxdxxyyb xyxyyc 2'/ 2 =− ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY VD: (x 2 + y 2 )dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x 2 + y 2 ), Q = xy! Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1) 2 – 2(2x + 3y + 1) Tỷ số: → Đổi biến:       = x y fy' uxuyuxy x y u +=⇒=⇒= '' Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng x α y β , α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: xy xyy yb 2 '/ 2 + = x y ya += 1'/ PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒ PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác đònh phương trình tuyến tính: x exyyc =+ 3 '/ 3 2 '/ xy x ya =− ( ) 022/ 2 =−+ dyxyydxd 32 '/ xyeyb x =+ NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT - VD: Giải các PTVP thuần nhất: x y ya = '/ xyyb tg'/ ⋅= PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E 0 ) có nghiệm tổng quát dạng: ( ) sốhằng:, 0 CxCyy = VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất 3 3'/ x x y ya += x e xyyb x cos tg'/ +⋅= N0 riêng y r = C(x)y 0 (x): biến thiên hằng số y tq.tn = Cy 0 (x) Thay y r = C(x)y 0 (x) vào (*) ⇒ ( ) ( ) ( ) xbxyxC = 0 ' . BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0506 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (PHẦN 1) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (4/ 2006) NỘI DUNG 1 – TỔNG QUAN 2 –. ( ) 4 12'1 +=−+ xyyx 1/ Phương trình thuần nhất: ( ) xCyyy x y 0 0 1 2 ' =⇒= + − 2/ Biến thiên hằng số: ( ) ( ) ( ) ( ) xCxyxCxCC ⇒+=⇒= 3 0 1' 3/ Nghiệm sau cùng: ( ) ( ) 42 1 2 1 1 +++= xxCy VD:. & các đạo hàm (hoặc vi phân) y (k) , k = 0, 1 … n VD: 03 =+ x dx dy ( ) x exyyy =++ 3&apos ;4& apos;' ( ) ( ) 0 =−−+ dyyxdxyx KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân