WWW.VNMATH.COM Đề số 6 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút A. PHẦN CHUNG Câu 1: Tìm các giới hạn sau: a) x x x x 2 3 4 1 lim 1 1 − + → − b) x x x 2 9 lim 3 3 − →− + c) x x x 2 lim 2 7 3 − → + − d) x x x x 2 2 3 lim 2 1 + − →−∞ + Câu 2: Cho hàm số x x khi x f x x m khi x 2 2 2 ( ) 2 2 − − ≠ = − = . a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x x x 5 4 3 5 2 0− + − = có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5) Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y x x 2 3 ( 1)( 2)= − + c) y x 2 2 1 ( 1) = + d) y x x 2 2= + e) x y x 4 2 2 2 1 3 + = ÷ ÷ − B.PHẦN TỰ CHỌN: 1. Theo chương trình chuẩn Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a. a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC). b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC). c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC). 2. Theo chương trình nâng cao Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD. a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD). b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC). c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . WWW.VNMATH.COM 1 WWW.VNMATH.COM Đề số 6 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1: a) x x x x x x x x x x 2 3 4 1 ( 1)(3 1) lim lim lim (3 1) 2 1 1 1 1 1 − + − − = = − = → → → − − b) x x x x x 2 9 lim lim ( 3) 6 3 3 3 − = − = − →− →− + c) ( ) x x x x x 2 lim lim 7 3 6 2 2 7 3 − = + + = → → + − d) x x x x x x x x x x x x x 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 3 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 + − − + + ÷ ÷ ÷ ÷ + − = = →−∞ →−∞ →−∞ + + + x x x 2 1 3 2 lim 2 1 2 ÷ − + + ÷ = = − →−∞ + Câu 2: x x khi x f x x m khi x 2 2 2 ( ) 2 2 − − ≠ = − = • Ta có tập xác định của hàm số là D = R a) Khi m = 3 ta có x x x khi x khi x f x x khi x khi x ( 1)( 2) 1, 2 , 2 ( ) 2 3 , 2 3 , 2 + − + ≠ ≠ = = − = = ⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2. Tại x = 2 ta có: f(2) = 3; f x x x x lim ( ) lim ( 1) 3 2 2 = + = → → ⇒ f(x) liên tục tại x = 2. Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó. b) x x khi x x khi x f x x m khi x m khi x 2 2 2 1 2 ( ) 2 2 2 − − ≠ + ≠ = = − = = Tại x = 2 ta có: f(2) = m , f x x lim ( ) 3 2 = → Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ f f x m x (2) lim ( ) 3 2 = ⇔ = → Câu 3: Xét hàm số f x x x x 5 4 ( ) 3 5 2= − + − ⇒ f liên tục trên R. Ta có: f f f f(0) 2, (1) 1, (2) 8, (4) 16= − = = − = ⇒ f f(0). (1) 0< ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c 1 (0;1)∈ f f(1). (2) 0< ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c 2 (1;2)∈ f f(2). (4) 0< ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c 3 (2;4)∈ ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). 2 Câu 4: a) y x x x 4 2 ' 5 3 4= − + b) ( ) x y x 3 2 4 ' 1 − = + c) x y x x 2 1 ' 2 + = + d) ( ) x x y x x 3 2 2 2 2 56 2 3 ' 3 3 + = − ÷ ÷ − − Câu 5a: a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB. • SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC) b) SI ⊥ (ABC) ⇒ · ( ) · SB ABC SBI,( ) = AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ · SBI 0 45= c) SB ⊥ (AMC) ⇒ · ( ) · SC AMC SCM,( ) = Tính được SB = SC = a 2 = BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của SB ⇒ · SCM 0 30= Câu 5b: a) • Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên SO ABCD AC BD ( ) ⊥ ⊥ ⇒ SO BD BD SAC AC BD ( ) ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ (SAC) ⊥ (SBD) • SO (ABCD SO SBD ) ( ) ⊥ ⊂ ⇒ (SBD) ⊥ (ABCD) b) • Tính d S ABCD( ,( )) SO ⊥ (ABCD) ⇒ d S ABCD S O( ,( )) = Xét tam giác SOB có a a a OB SB a SO SA OB SO 2 2 2 2 2 7 14 , 2 2 2 2 = = ⇒ = − = ⇒ = • Tính d O SBC( ,( )) Lấy M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM). Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d O SBC OH( ,( )) = Tính OH: ∆SOM có a SO OM .OS a a OH OH a OH OM OS OM OS OM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 1 1 1 7 210 2 30 30 2 = ⇒ = + ⇒ = = ⇒ = + = c) Tính d BD SC( , ) Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC. Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vuông góc chung của BD và SC ⇒ d BD SC OK( , ) = . Tính OK: ∆SOC có a SO OC .OS a a OK OK a OK OC OS OC OS OC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 1 1 1 7 7 2 16 4 2 2 = ⇒ = + ⇒ = = ⇒ = + = ======================== 3 S A B C M D O H K S A B C I M . WWW.VNMATH.COM Đề số 6 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút A. PHẦN CHUNG Câu 1: Tìm các giới hạn sau: a) x x x x 2 3 4 1 lim 1 1 − + → − b) x x x 2 9 lim 3 3 − →− + . WWW.VNMATH.COM 1 WWW.VNMATH.COM Đề số 6 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1: a) x x x x x x x x x x 2 3 4 1 ( 1)(3 1) lim lim lim (3 1) 2 1 1 1 1 1 − + − − =. x x x x x 2 9 lim lim ( 3) 6 3 3 3 − = − = − →− →− + c) ( ) x x x x x 2 lim lim 7 3 6 2 2 7 3 − = + + = → → + − d) x x x x x x x x x x x x x 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 3 lim lim lim 2 1 2 1 2 1