Tỉ số lượng giác của góc nhọn pps

Ơ-ra-tô-xten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất nhờ vào hai quan sát sau: 1 Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đ

§2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Vào khoảng 200 năm trước công nguyên Ơ-ra-tô-xten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất nhờ vào hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là Ac-su-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lieeec-xan-dri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m

Ơ-ra-tô-xten đã ước lượng “chu vi” Trái Đất như thế nào?

O

B C

S A

Hình 14

1 Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

a) Đặt vấn đề

Ta đã biết hai tam giác vuông có cùng góc nhọn α thì đồng dạng với nhau, do đó tỉ số của các cặp cạnh tương ứng của chúng bằng nhau Chẳng hạn (xem hình 15), hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’, có l l'B= B = α

B C

A

a)

α

A’

b)

α

Hình 15

Do đó ΔABC ~ ΔA’B’C’, vì vậy ta có các cặp tỉ số bằng nhau như sau:

Vậy mọi tam giác ABC vuông tại A, có lB = luôn có các tỉ α số AB AC AB AC, , ,

tam giác Tuy nhiên chúng phụ thuộc vào độ lớn của góc α

b) Định nghĩa

Ta nhắc lại các khái niệm cạnh kề, cạnh đối của một góc trong tam giác Xét góc nhọn B của tam giác vuông ABC (h.16)

A

Cạnh kế

Caïnh

đoái

α Hình 16

• AB được gọi là cạnh kề của góc B

• AC được gọi là cạnh đối của góc B

Cho góc nhọn α Dựng một tam giác vuông có một góc nhọn

α Cạnh kề và cạnh đối nói tới trong định nghĩa dưới đây là của góc α

Định nghĩa :

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α,

kí hiệu sinα

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α,

kí hiệu cosα

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí

hiệu tgα, (hay tan α)

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α,

kí hiệu cotg α (hay cotα)

sinα = đối

huyền; cosα = kề

huyền

tgα = đối

đối

2 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau :

Ta có thể chứng minh dễ dàng các đẳng thức sau :

sin cos ; cos sin

tg cotg ; cotg tg

Như vậy ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt sau

đây :

Các em có thể dựa vào nửa tam giác đều ở trên và tam giác

vuông cân để suy ra các giá trị ở bảng trên (trường hợp 0o và

90o là trường hợp để tham khảo thêm)

Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc

kia, tang góc nay bằng côtang góc kia

Có thể em chưa biết

Bất ngờ về cỡ giấy thương mại A4 (21cm × 29,7cm)

• Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tờ giấy A4 xấp xỉ bằng 2

• Giả sử tờ giấy A4 được minh hoạ bằng hình 23 Nếu gấp tờ giấy theo các đường thẳng AC và BI thì ta sẽ có một góc vuông!

K

Hình 23

D A

I

• Nếu gấp tờ giấy theo đường phân giác BM của góc ABC, sau đó gấp tiếp theo đường phân giác BN của góc ABM (h.24) thì điểm M sẽ trùng với điểm A!

M

Hình 24

D

Bằng hiểu biết của mình, em có thể giải thích được các điều lí thú này đấy

Bài tập

17 Lập các tỉ số lượng giác của góc 34o bằng cách vẽ một tam giác vuông có góc nhọn 34o

Giải

Ta có :

0

0

0

0

sin 34

cos 34

34

AB BC AC BC AB tg

AC AC otg

AB

=

=

=

=

18 Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,90m,

BC = 1,20m Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

Giải

Theo đề bài : l 0, 9 3

1, 2 4

AC

tg B

BC

37

B

⇒ ≈

90

A+ =B nên l 0

53

19 Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45o

sin60o, cos75o, sin52o30’, cotg82o, tg80o

Giải

sin 60 =sin(90 −30 )=cos 30

75 cos(90 15 ) sin15

sin 52 30 '=sin 52, 5 =sin(90 −37, 5 ) =cos 37, 5

cot 82g =cot (90g −8 )=tg8

Luyện tập

20 Dựng góc nhọn α biết rằng :

3

5

Giải

a) Cách dựng :

- Dựng góc vuông xAy = 90o

- Trên tia Ay , lấy điểm B sao cho AB = 1

- Dưng đường tròn tâm B , bán kính 3 , đường tròn cắt Ax tại

điểm C , nối BC ta được ACB∧ thoả sin 1

3

ACB

∧

=

Chứng minh : thật vậy sin sin 1

3

Tương tự , các em có thể tìm hiểu và giải được câu b) và c)

21 Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để hứng minh rằng : với các góc nhọn α tuỳ ý , ta có :

a) sinα <1 ; cosα < 1

sin α +cos α = 1

Gợi ý câu c) : dùng định lý Pitago

Giải

a) Ta có : sin AC

BC

BC

α = mà vì AB , AC đều nhỏ hơn BC (BC là cạnh huyền) nên sinα <1 ; cosα < 1

cos

AC

tg

AB AB

BC

α α

α

sin

AB

cotg

AC AC

BC

α α

α

sin cos

cos sin

2

BC

α = ; 2 2

2

BC

α =

22 Cạnh huyền của một tam giác vuông có một góc 60o là 8 Hãy tìm độ dài của đối diện với góc 60o

Giải

Ta có BC = 8 ⇒ HC = (vì BCH là nửa tam giác đều) 4

2

4 3

23 Tìm x trong hình 25

45o

21 20

Hình 25

Giải

45

90

AHB = nên tam giác ABH là tam giác vuông cân

Do đó AH = BH = 20

Ta lại có : Theo Pytago

24 Hãy tìm cosα và tgα, nếu

a) sinα = 3

5 b) sinα = 40

41 c) sinα = 0,8

Giải

sin a+cos a= ⇒1 cosa = 1 sin− a (vì a là góc nhọn nên cosa > 0 )

Vậy

2

⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3

4

5

a tga

a

Cách làm tương tự đối với câu b) và c) , các em có thể tự giải

Có thể em chưa biết SỰ RA ĐỜI CỦA PHÉP TOÁN LƯỢNG GIÁC

Lượng giác ra đời trong quá trình xây dựng kim tự tháp và sự quan sát thiên văn Kim tự tháp là điều thú vị đối với chúng ta : hầu như tất cả các mặt của nó đều tạo ra một góc từ 500 đến 550 với bề mặt nên Trong bản viết tay của Rhind, người ta tìm thấy công thức về tỷ số của phân nửa cạnh đáy so với chiều cao của kim tự tháp Đối với một cạnh 360 sải tay và một chiều cao 250 sải tay, viên thư ký chỉ ra được tổng các phân số, với lời ghi của chúng tôi :

50

1 5

1 2

1 + + Tỷ số này nghịch đảo với tang 54,20 Độ lớn của tỷ số như thế này rất quan trọng đối với những người xây dựng kim tự tháp bởi vì họ cần tính toán chính xác để ghép những khối đá liên tiếp nhau

Về phương diện này, những nhà thiên văn học xứ Babylone thế kỷ IV và V trước công nguyên, đã tích lũy lượng lớn dữ liệu thiên văn và những nhà thiên văn học xứ Babylone này đã sắp xếp việc sử dụng những hằng số góc này (số nghịch đảo của tg một góc nào đó) thành một bảng được khắc trên bảng Plimton 322

Người Hi Lạp đã lợi dụng những thành tựu của những nhà thiên văn xứ babylone và tiếp tục nghiên cứu những mối quan hệ giữa những góc ở tâm đường tròn với chiều dài dây cung bị chắn Nếu trong những quyển sách của Euclide, người ta tìm được rất ít những phép toán lượng giác, thì ngược lại , hai nhà toán học Hi Lap đã sử dụng những mối quan hệ góc dây cung đó là Eratosthène de Cyrene (khoảng 275 – 195 trước CN) và Aristanque de Samos (khoảng 310 – 230 trước CN) Người đầu tiên trong số họ đã cho rằng chu vi Trái Đất vào khoảng 250000 stades (đv đo), lớn hơn một chút so với thực tế Người thứ hai đã thiết lập được những tỷ số lượng giác và đặc biệt, ông đã phát biểu rằng tỷ số khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng so với khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời vào khoảng từ

20

18

1 Một thế kỷ sau, Hipparque de Nicée (khoảng 180 – 125 trước Cn) đã sử dụng một cách hệ thống một đường tròn 3600 và chia nhỏ

Những nhà toán học xem Hipparque de Nicée như là cha đẻ của các phép toán lượng giác

Sự đo đạt đầu tiên về một cung của kinh tuyến bởi Eratosthène (khoảng 230 trước CN)

Asỳene (S), ngày nay là Assounan, vào ngày 21 tháng 6, Mặt trời, vào lúc lên cao nhất , phản xạ dưới đáy giếng thẳng đứng Vào đúng ngày này, ở Alexandrie (A), sự đo đạc về chiều dài nhỏ nhất của bóng Aa một cột tháp thẳng đứng AB cho phép xác định được góc aBA∧ cũng chính là góc AOS∧ bởi lẽ các tia sáng mặt trời gần

như là song song với nhau Eùratosthène ước lượng cung SA vào

khoảng

50

1 so với kinh tuyến Trái Đất Mà khoảng cách từ Sỳene đến Alexandie vào khoảng 5000 stades, điều đó cho thấy chu vi Trái Đất khoảng 250000 stades

BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1

Cho tam giác ABC có các góc nhọn và đường cao AH =

2

BC

Chứng minh rằng : cotgB + cotgC = 2

Bài 2

Dựa vào công thức 2 2

sin x+cos x= 1 Chứng minh : sin4x +cos4x = 1 – 2 sin2x.cos2x

Bài 3

Cho tam giác ABC vuông tại A

a/Chứng ming rằng

2

tg

= + b/ Các em hãy đưa ra một công thức khác tương tự ,

2

2

(

b c

b c

= + là độ dài phân giác trong của góc A)

Bài 4

Cho tam giác có 3 góc nhọn

a/ Chứng minh rằng :

b/ Chứng minh rằng : S = 1

2 bcsinA