TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 1 1 x y x + = − có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): x +2y –3 =0. Câu 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình 1 sin 2 sinx os 2 3 0 1 sin 2 sinx cos x c x x x + + + − = − − . 2. Giải phương trình 3 4 2 1 1 2 2 4 2 log ( 2) 2 log ( 4) log ( 6) 3 x x x+ − = − − + . Câu 3: (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 ( 1) ( 2) 13 x y + + − = và đường thẳng ∆ : x – 5y – 2 = 0. Gọi giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng ∆ là A, B. Tìm tọa độ điểm C biết ∆ABC vuông tại B, nội tiếp đường tròn (C) và x B <0. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1), B(b;0;0), C(0;b;0) (b≠0) và đường thẳng (d): 3 2 1 3 x y z − = = . Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết rằng mặt phẳng (ABC) song song với đường thẳng (d). Câu 4: (1 điểm) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ biết A’A = AB = a; AC = 2a, ˔˓˕ = 60 " . Gọi M là giao điểm của A’C và AC’ . Tìm thể tích của tứ diện MBB’C’ và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Câu 5: (2 điểm) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 2 3 x y + = và 1 0. x y + − = 2. Cho z 1 , z 2 là nghiệm của phương trình 2 ( 2) 0 z i z i − + + = . Tính : 1 2 2 1 z z z z + . Câu 6: (1điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 1 8 1 8 1 8 a b c + + + + + . HẾT Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:…………………………………………………SBD:………………………………… www.VNMATH.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu ý Nội dung Điểm 1 (2điểm) 1 TXĐ: R\{1} 2 2 ' 0 1 ( 1) y x x = − < ∀ ≠ − Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+ ∞) Giới hạn: 1 1 1 lim x x x ± → + = ±∞ ⇒ − đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =1 1 1 1 lim x x x →±∞ + = ⇒ − đường tiệm cận ngang của đồ thị là y =1 bảng biến thiên x - ∞ 1 + ∞ y’ - - y Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Gọi (d’) là đường thẳng qua AB Phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với d có dạng: y=2x+m (d’) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A,B ⟺ 1 2 1 x x m x + = + − có 2 nghiệm phân biệt 2 2 ( 3) 1 0x m x m⇔ + − − − = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 0 (1) 0 m R f ∆ > ⇔ ⇔ ∀ ∈ ≠ 0,25 Gọi I là trung điểm của AB 3 2 4 3 2 2 A B I I I x x m x m y x m + − = = ⇒ + = + = 0,25 2 -2 -5 5 1 -∞ +∞ 1 O x y www.VNMATH.com Vì AB ⊥ (d) nên A đối xứng với B qua (d) ⟺ trung điểm của AB thuộc (d) 3 3 2 3 0 1 4 2 m m m − + ⇔ + − = ⇔ = − 0,25 Với m = -1 ta có : 2 0 1 2 4 0 2 3 x y x x x y = ⇒ = − − = ⇔ = ⇒ = Vậy 2 điểm cần tìm là A(0;-1) và B(2;3) 0,25 2 (2điểm) 1 Điều kiện : sin 2 1 x ≠ (1) ⇔ 2 2 (sinx cos ) sinx cos 2 3 0 sinx cos (sinx cos ) x x x x + + + − = − − 0,25 Đặt sinx cos sinx cos x t x + = − Pt trở thành ⇔ 2 1 2 3 0 3 t t t t = + − = ⇔ = − 0,25 ⇔ sinx cos 1 os 0 sinx cos 2 sinx cos 4sin 2cos 1 3 arctan sinx cos 2 x x k c x x x x x x k x π π π + = = + = − ⇔ ⇔ + = = − = + − thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm của phương trình là : 2 1 arctan 2 x k x k π π π = + = + 0,5 2 Điều kiện: 2; 4 x x > − ≠ 2 2 2 2log ( 2) 2 2log 4 2log ( 6) x x x − + − = − − − + 2 2 log 2( 2) log 4 ( 6) 2( 2) 4 ( 6) x x x x x x ⇔ + = − + ⇔ + = − + 0,5 +) với x>4: pt 2 2 7 28 2 7( ) x x x l = ⇔ = ⇔ = − 0,25 +) với 4>x>-2: pt 2 2 2 6 4 20 0 2 2 6( ) x x x x l = − + ⇔ + − = ⇔ = − − Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 7; 2 2 6 x x= = − + 0,25 3 (2điểm) 1 Giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ 2 2 ( 1) ( 2) 13 5 2 0 x y x y + + − = − − = Giải hệ được A(2;0) ; B(-3;-1) 0,25 0,25 Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của (C) Mà đường tròn (C) có tâm I(-1;2) ⟹ I là trung điểm của AC Suy ra C(-4;4) 0,5 2 Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng : 1 x y z b b c + + = 0,25 www.VNMATH.com Vì (ABC) đi qua A(1;1;1) ⟹ 2 1 1 b c + = Mặt phẳng (P) có vtpt 1 1 1 ( ; ; ) n b b c Đường thẳng (d) có vtcp (2;1;3) u 0,25 (d)//(P) 2 1 3 1 1 0 0 0 3 (3;0;0) ( ), ( ) 3 1 nv b b c b c M d M P b b + + = + = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∉ ≠ ≠ 0,25 Ta có hệ : 2 1 1 1 1 1 0 1 3 3 b c b c b c b b + = = + = ⇔ = − ≠ ≠ Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : 1 0 x y z + − − = 0,25 4 (1điểm) +)Tính V MBB’C’ ' ' ' ' 1 1 1 . '. 2 2 3 MBB C MBCC ABCC ABC V V V CC S= = = 0,25 2 0 1 3 . .sin60 2 2 ABC a S AB AC= = Vậy 2 3 ' ' 1 3 3 . 6 2 12 MBB C a a V a= = 0,25 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 0 2 2 . os60 3 BC AB AC AB ACc a = + − = Suy ra 2 2 2 AC BC AB = + ⇒ ∆ABC vuông tại B 0,25 M C B A C' B' A' www.VNMATH.com Ta có MA =MB =MC =MA’ =MB’ =MC’ Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Vậy ' 5 2 2 AC a R = = 0,25 5 (2điểm) 1 Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 2 1 3 1 2 y y y y = − − = − ⇔ = 0,25 Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 2 3 x y + = và 1 0 x y + − = là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 2 3 , x y = − 1 x y = − + và hai đường thẳng y=-1; y=2 2 2 1 (3 ) (1 ) S y y dx − = − − − ∫ 0,25 2 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 (2 ) 9 (2 ) | 2 3 2 S y y dx y y dx y y y − − − = + − = + − = + − = ∫ ∫ 0,5 2 Theo định lý viet ta có: 1 2 1 2 2 z z i z z i + = + = 0,25 T có : ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 z z z z z z z z z z z z z z + − + + = = 0,25 ( ) 2 2 2 2 3 2 3 i i i i i i + − + = = = − 0,25 Vậy 1 2 2 1 2 3 13 z z i z z + = − = 0,25 6 (1điểm) Với mọi x,y > 1 ta có : 2 2 1 1 2 1 1 1 xy x y + ≥ + + + thật vậy 2 2 2 2 2 2 1 1 2 (2 )(1 ) 2(1 )(1 ) 1 1 1 x y xy x y xy x y + ≥ ⇔ + + + ≥ + + + + + 2 ( 1)( ) 0 xy x y ⇔ − − ≥ luôn đúng với mọi x,y >1 d ấu bằng xảy ra khi x =y 0,25 0,25 Vì a,b,c dương nên 8 ,8 ,8 a b c đều lớn hơn 1.Áp dụng kết quả trên ta có: 1 1 1 1 2 2 1 2 1 8 1 8 1 8 1 8 1 2.8 a b c a b c + + + + ≥ + + + + + + + 4 2 4 3 1 16 1 8 .8 .2 a b c+ ≥ = = + + 1 1 1 1 1 8 1 8 1 8 a b c ⇒ + + ≥ + + + Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a =b =c = 1 3 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa www.VNMATH.com . TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm). tên:…………………………………………………SBD:………………………………… www.VNMATH.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu ý Nội dung Điểm 1 (2điểm) . 2 -2 -5 5 1 - +∞ 1 O x y www.VNMATH.com Vì AB ⊥ (d) nên A đối xứng với B qua (d) ⟺ trung điểm của AB thuộc (d) 3 3 2 3 0 1 4 2 m m m − + ⇔ + − = ⇔ = − 0,25 Với m = -1 ta có