Thuật toán ngày xuân
Ngày xuân kể về Thuật toánNguyễn Xuân HuyNăm Quý Mùi xin giới thiệu với các bạn một vài thuật toán nhẹ nhàng nhưng có phần bổ ích dùng trong vài phút vui Xuân. Hầu hết các thuật toán trong bài đều do các bạn học sinh đề xuất. Mừng Xuân Quý Mùi Bạn Xuân muốn làm một nền thiếp chúc Tết Quý Mùi gồm 2n dòng văn bản mỗi dòng có đúng n ký tự Q và M sao cho hai dòng kề nhau khác nhau tại đúng một vị trí, dòng đầu tiên và dòng cuối cùng cũng khác nhau tại đúng một vị trí. Thí dụ, với n=3 thì nền tấm thiếp của bạn đó sẽ như sau:QQQQQMQMMQMQMMQMMMMQMMQQCho trước chiều dài n trong khoảng 1 20. Hãy tạo một nền thiếp theo yêu cầu của bạn Xuân. Kết quả ghi trong tệp văn bản QUYMUI.OUT.Bài giảiVới n=1 ta có 2 dòng QMGiả sử ta đã thu được các dòng cho trường hợp n-1. Để thu được kết quả cho n ta thực hiện 2 bước sau đây:Bước 1: Thêm Q vào các dòng của thiếp n-1 Bước 2: Lật các dòng của thiếp n-1 và thêm M vào mỗi dòng đó.Thí dụ, với n=2 ta đã có 4 dòngQQQMMMMQĐể tính n=3 ta có Bước 1:QQQQQMQMMQMQBước 2:MMQ MMMMQMMQQVì hai dòng bất kỳ của thiếp n-1 khác nhau tại đúng 1 vị trí cho nên khi thêm cùng một ký tự vào đầu dòng của chúng ta vẫn bảo lưu tính chất đó. Dòng cuối của dãy thu được trong bước 1 và dòng đầu của dãy thu được trong bước 2 đều do 1 dòng duy nhất sinh ra do đó chung chỉ khác nhau ở ký tự thêm vào đầu dòng (là Q và M). Tương tự, dòng đầu tiên của bước 1 và dòng cuối cùng của bước 2 cũng được lập luận như trên. Thuật toán trên đòi hỏi n.2n byte lưu trữ cho nên khá tốn kém. Ta thử nghĩ cách khác xem sao?Ta sẽ không phát sinh ra các dòng vội mà thử tính xem dòng thứ k trong thiếp n sẽ có dạng gì.Muốn vậy trước hết ta giải bài toán ngược sau đây: Biết giá trị của một dòng trong tệp kết quả, hãy cho biết vị trí của dòng đó trong tệp. Thí dụ, với n=3, dòng 'MQM'đứng thứ mấy trong tệp với giả thiết là chỉ số được tính từ 0 trở đi? Gọi Index(s) là hàm cho ta vị trí dòng s (với n cho trước), ta có, theo thí dụ trên Index('MQM')=6. Hàm Index khá dễ viết. Theo phương thức tạo dòng nói trên ta có ngay hàm sau với n cho trước. Biểu thức m-id-1 nhằm tính cho trường hợp phải lật các dòng của thiếp n-1 (để thêm ký tự M).function Index: longint;var id,m: longint;i: byte;beginid:=0;m:=1;for i:=n downto 1 dobeginm:=2*m;if s[i]='M' then id:=m-id-1;end;Index:=id;end;Dựa vào hàm Index ta có thể viết hàm Line(id) tạo ra dòng có số hiệu id cho trước. Tuy nhiên ta sẽ không theo đuổi hai phương án này mà coi chúng như bước chuyển đổi để đi tới khái niệm bổ ích sau đây.Mã Gray Mã Gray của một số tự nhiên n được tính theo công thức xử lý bit như sau: Gray(n) = n XOR (n shr 1)Mã Gray có tính chất vàng sau đây:Mã Gray của hai số tự nhiên liên tiếp sai khác nhau tại đúng 1 vị trí. Thí dụ, Cho n=13=11012. Ta có n+1=14=1110 và do đó Gray(13)=11012 XOR 01102 =10112 = 11 vàGray(14)=11102 XOR 01112 =10012 = 9Chúng khác nhau tại bit 1 tính từ đầu phải sang (bạn lưu ý rằng các bit được mã số từ 0 và tính từ đầu phải). Biết bí mật của mã Gray chúng ta giải bài toán trên quá dễ dàng. Với mỗi n cho trước, ta tìm mã g=Gray(i) lần lượt với i từ 0 đến 2n-1. Sau đó ta duyệt số g thu được, gặp bit 0 ta viết Q, gặp bit 1 ta viết M là xong. Chương trình QUYMUI.PAS dưới đây giải bài toán trên trong chớp mắt. (* QUYMUI.PAS *)uses crt;constfn = 'QUYMUI.OUT';QM:array[0 1] of char = ('Q','M');BL=#32; { dau cach }varn: word;f:text;function GetBit(x:longint;i:byte):byte;beginGetBit:= (x shr i) and 1;end;procedure ghi(x: longint);var i: byte;beginx:= x xor (x shr 1);for i := n-1 downto 0 dowrite(f,QM[GetBit(x,i)]);writeln(f);end;procedure QuyMui(len: byte);var i, mu: longint;beginn:= len;mu := 1;assign(f,fn); rewrite(f);for i:=0 to (mu shl n)-1 doghi(i);close(f);end;BEGINQuyMui(5);END.Người ta trừ ra sao?Cho hai số tự nhiên x và y có chiều dài bằng nhau. Giả sử x không nhỏ hơn y. Khi đó hiệu z=x-y được minh hoạ với x=7123 và y=1749 như sau:1. Lấy bù chín của y ta được t=9999-y=9999-1749=8250.2. Tính tổng z=x+t+1=7123+8250+1=153743. Bỏ số 1 ở đầu trái ta được kết quả z=5374.Tại sao vậy?Thật dễ hiểu, ta có x-y=x+10000-10000-y=x+(9999+1)-y-10000=x+(9999-y)+1-10000 Phép trừ 10000 thực hiện ở bước 3 trong thuật toán trên chỉ đơn giản là bỏ số 1 ở đầu trái. Ta có thể tổng quát hoá bài toán như sau: Tính z=x-y trong hệ đếm b tuỳ ý.Trong hệ đếm 10 thì ta bù chín, trong hệ đếm b ta bù (b-1) do đó chỉ cần thay thuật ngữ ″bù chín″ trong thuật toán trên bằng thuật ngữ ″bù (b-1)″ là ta thu được thuật toán trừ tổng quát. Gọi k là độ dài của các số tự nhiên với kiểuType NatNum = array[1 k] of integer;Giả sử ta đã biết giá trị của hệ đếm b. Ta có thuật toán Tru sau:Procedure Tru(var x,y,z: NatNum);var i, nho: integer;beginnho := 1;for i:=k downto 1 dobeginz[i] := x[i]+(b-1-y[i])+nho;if z[i] < b then nho:=0 elsebeginz[i]:=z[i]-b;nho:=1;end;end;Số KaprekarKaprekar là nhà toán học Ân-độ nổi tiếng. Ông đề xuất ra loại số mang tên ông như sau: Số Kaprekar loại (b,k) là số tự nhiên x thoá các tính chất sau:(i) x được biểu diễn trong hệ đếm b có đúng k chữ số khác nhau.(ii)T(x) = x″-x′, trong đó x′ và x″ là số nhận được từ bằng cách viết các chữ số của x theo trật tự tăng và giảm dần.Thí dụ, số 6174 là số Kaprekar loại (10,4). Thật vậy, ta cóx′ = 1467; x″ = 7641 do đó T(x)=T(6174)=x″-x′=7641-1467=6174. Bạn cũng dễ dàng kiểm tra để thấy rằng 132 là số Kaprekar loại (4,3). Tuy nhiên, bạn nhớ làm phép trừ 321-123 trong hệ đếm 4.Không phải với mọi cặp (b,k) đều tồn tại số Kaprekar tương ứng. Chẳng hạn, không tồn tại số Kaprekar loại (5,4) và loại (6,4).Bài toán KaprekarVới mỗi cặp b và k cho trước hãy tìm số Kaprekar nhỏ nhất. Nếu vô nghiệm ta ghi kết quả 0.Bài giảiTa lần lượt duyệt các tổ hợp chặp k của b phần tử 0 (b-1) và chỉ quan tâm đến các tổ hợp sắp tăng như 123, 124, 567, Giả sử x là một tổ hợp như vậy, ta gọi y là tổ hợp đảo của x. Đặt z=y-x (trong hệ đếm b), ta thấy, nếu z chỉ gồm các chữ số của x thì chính z sẽ là nghiệm của bài toán, vì T(z)=x″-x′=y-x=z. Trong chương trình KAPREKAR.PAS dưới đây hàm Next cho ta tổ hợp chặp k tiếp theo các giá trị 0 (b-1). Tổ hợp đầu tiên được khởi trị là 0 (k-1). Hàm T tính tại chỗ và kiểm tra luôn xem các giá trị x[i] có mặt trong a[1 k] hay không. Mảng d dùng để đánh dấu các chữ số có trong tổ hợp a. Nói thêm về hàm Next. Để lấy tổ hợp tiếp theo thoạt tiên ta dỡ các giá trị liên tiếp (cách nhau 1 đơn vị) từ (b-1) trở đi cho tới khi gặp khoảng hẫng (cách nhau trên 1 đơn vị). Sau đó tăng vị trí hẫng thêm 1 đơn vị và xếp thêm liên tiếp cho đủ k phần tử. Nếu không gặp khoảng hẫng ta dừng thuật toán (Next=false). Thí dụ, với b=10; k=4; giả sử a=(1,2,8,9). Ta áp dụng hàm Next sẽ thu được a[2] là phần tử hẫng, do đó a được biến đổi thành a=(1,3,4,5) (* KAPREKAR.PAS *)uses crt;const mn = 20; bl = #32 { dau cach };typemb1 = array[0 MN] of byte;var b,k,b1: byte;a,x,d: mb1;procedure xem(var x: mb1; n: integer);var i:byte;beginwrite(bl);for i:=1 to n do write(x[i]);end;procedure init;var i: byte;beginfor i:=1 to k do a[i]:=i-1;a[0]:=b+1;end;function next: Boolean;var i,v: byte;beginnext:=false;i:=k; v:=b1;while a[i]=v dobegindec(v); dec(i);end;if i=0 then exit;v:=a[i]+1;repeata[i]:=v;inc(i); inc(v);until i > k;next:=true;end;function T: Boolean;var i,nho:byte; beginT:=false;{ a sap tang }fillchar(d,sizeof(d),0);for i:=1 to k do d[a[i]]:=1;nho := 1;for i:=k downto 1 dobeginx[i]:=a[k-i+1]+(b1-a[i])+nho;if x[i] < b then nho :=0elsebeginnho:=1;x[i] := x[i]-b;end;if d[x[i]] <> 1 then exit else d[x[i]]:=0;end;T:=true;end;procedure Kaprekar(base,len: integer);beginb:=base; k:=len; b1 := b-1;init;repeatif T thenbeginxem(x,k);exit;end;until not next;writeln(0);end;procedure run;var base,len:byte;beginclrscr;for base := 2 to 10 dofor len:=1 to base-1 dobeginwrite(' b = ',base,' k = ',len,' ');Kaprekar(base,len);if readkey=#27 then exit else writeln;end;end;beginrun; end.Dưới đây là một vài giá trị test xin gửi tới bạn đọc:Thử tài của bạnĐể xuất hành đầu Xuân, mời bạn thử tăng kích thước của hệ đếm b lên đến 100 xem sao. Chú ý rằng các chữ số trong hệ đếm lớn hơn 10 được ghi trong ngoặc, thí dụ (7)(19) là một số trong hệ đếm 20. . Ngày xuân kể về Thuật toánNguyễn Xuân HuyNăm Quý Mùi xin giới thiệu với các bạn một vài thuật toán nhẹ nhàng nhưng có phần. ta bù (b-1) do đó chỉ cần thay thuật ngữ ″bù chín″ trong thuật toán trên bằng thuật ngữ ″bù (b-1)″ là ta thu được thuật toán trừ tổng quát. Gọi k là độ