SỞ GD – ðT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC - LẦN 1 - 2011 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút; không kể giao ñề Phần chung cho tất cả các thí sinh:( 7 ñiểm) Câu 1: (2 ñiểm): Cho hàm số y = 1 2 + + x x 1- Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 2- Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận, ∆ là một tiếp tuyến bất kỳ của ñồ thị (C). d là khoảng cách từ I ñến ∆ . Tìm giá trị lớn nhất của d. Câu 2 : ( 2 ñiểm): 1. Giải phương trình: 4cosx- 2cos2x- cos4x = 1 2. Giải phương trình: log 2 2 8x 3 – 9log 2 4x 2 – 36log 4 2x = 0 Câu 3 : ( 1 ðiểm): Tính tích phân I = ∫ Π + 4 0 2 cos1 4sin x x Câu 4: ( 1 ñiểm): Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng 2a, khoảng cách giữa AB và SC = a 3 . Tính thể tích của khối chóp Câu 5: (1 ñiểm): Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 1 hãy chứng minh: cab ab + + abc bc + + bca ca + ≤ 2 3 Phần riêng: (3 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A- Theo chương trình chuẩn Câu 6A: ( 2 ñiểm) : 1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là: 5x + 2y + 7 = 0 ; x - 2y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A có phương trình là x + y – 1 = 0 (d). Tìm toạ ñộ ñỉnh C của tam giác ABC. 2. Trong không gian Oxyz cho ñiểm A(- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp (Oyz) và tiếp xúc với mp (Oxy). Câu 7A: (1 ñiểm): Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6. có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong ñó hai chữ số 2, 3 không ñứng cạnh nhau. B- Theo chương trình nâng cao: Câu 6B: ( 2 ñiểm): 1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S = 2 3 , toạ ñộ các ñỉnh A (2;-3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên ñường thẳng có phương trình 3x – y – 8 = 0. Tìm toạ ñộ ñỉnh C. 2. Trong không gian Oxyz cho ñiểm A (- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp ( Oyz) và tiếp xúc với mp ( Oxy) Câu 7B: ( 1 ñiểm): Giải hệ phương trình −=+ =− yxyx yx 42 9 22 33 _ Hết_ ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM MÔN TOÁN ðỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011 Câu Nội dung ðiểm Câu1 1.1ñ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y= 2 1 + + x x a . tập xác ñịnh D = R \ {-1} b . Sự biến thiên y ’ = ( ) 2 1 1 + − x < 0 ∀ x ≠ -1 . hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng(- ∞ ; -1 ) và ( -1 ; + ∞ ) ;1lim = +∞→ y x 1lim = −∞→ y x ðồ thị có tiệm cận ngang là ñường thẳng có phương trình y = 1 ;lim 1 ∞ + = + −→ y x ∞ − = − −→ y x 1 lim ñồ thị có tiệm cận ñứng là ñường thẳng x = -1 x - ∞ -1 + ∞ bảng biến thiên thiên y , - - + ∞ y 1 1 - ∞ ðồ thị : cắt trục ox tại (-2 ; 0 ) y cắt trục oy tại (0 ; 2 ) nhận I ( -1 : 1 ) làm tâm ñối xứng 0 x 0,25 0,25 0,25 0,25 2 .1ñ Câu 2 1 .1ñ 2 .1ñ Câu 3 1ñ ( ) 2 1 1 + − = ′ x y ; Giao ñiểm của hai ñường tiệm cận là I(-1 ;1) Giả sử M ( 0 x ; 1 2 0 + + x x o ) ∈ ( C ) . Phương trình tiếp tuyến ∆ với ñồ thi hàm số tại M là : = y ( ) ( ) 1 2 1 1 0 0 0 2 0 + + +− + − x x xx x ( ) ( ) ( ) 211 000 2 0 ++−−++⇔ xxxyxx =0 Khoảng cách từ I ñến ∆ là d = ( ) 4 0 0 11 12 ++ + x x = ( ) ( ) 2 0 2 0 1 1 1 2 ++ + x x ≤ 2 Vậy GTLN của d bằng 2 khi 0 x = 0 hoặc -2 1 Giải phương trình 4cosx -2cos2x –cos4x = 0 ⇔ 4cosx -2 (2cos 2 x -1 ) –(1- 2 sin 2 2x ) =1 ⇔ 4cosx – 4cos 2 x +2 -1 +8 sin 2 xcos 2 x -1 =0 ⇔ 4cosx ( 1-cosx + 2sin 2 x cosx ) =0 ⇔ cosx = 0 hoặc 1-cosx +2sin 2 xcosx = 0 ⇔ π π kx += 2 hoặc cosx ( 2sin 2 x -1 ) +1=0 ⇔ Cos3x + cosx =2 ⇔ = = 1 13 xco xsco ⇔ cosx =1 ⇔ x = k2 π vậy phương trình có nghiệm π π kx += 2 ; x = k2 π Giải phương trình : 02log364log98log 4 2 2 3 2 2 =−− xxx (1 ) ðiều kiện x > o (1 ) ⇔ ( ) ( ) ( ) 0log118log229log33 22 2 2 =+−+−+ xxx ⇔ 027log18log9 2 2 2 =−− xx ⇔ log 2 x = -1 hoặc log 2 x =3 ⇔ x = 1/2 hoặc x=8 Tính tích phân I = dx x x ∫ + 4 0 2 cos1 4sin π = ( ) dx xsco xscox ∫ + − 4 0 2 2 1 122sin2 π ñặt t =cos 2 x suy ra dt = -sin2xdx ; x =0 ⇒ t = 1 ; x = 4 π ⇒ t = ½ 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Câu 4 1ñ Câu 5 1ñ I = - ( ) dt t t ∫ + − 2 1 1 1 122 = ( ) [ ] 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1ln64 1 6 4 1 24 +−= + −= + − ∫∫ ttdt t dt t t = 2 - 6ln 3 4 S M A D I O J B C Xác ñịnh khoảng cách giữa AB và SC Gọi I,J lần lượt là trung ñiểm của AB,DC AB// DC nên AB// (SDC) ⇒ khoảng cách giữa AB và mp (SCD) là khoảng cách giữa AB và SC . Ta có IJ ⊥ CD , SJ ⊥ CD (v ì S.ABCD là hình chóp ñều ) ⇒ CD ⊥ ( SI J ) (1) Trong mp(SI J ) kẻ IM ⊥ SJ (2 ) , từ ( 1) ⇒ IM ⊥ CD (3) Từ (2) ,(3) ⇒ IM ⊥ (SCD ) ⇒ IM = 3a Gọi O là giao ñiểm của AC và BD ⇒ SO là ñường cao của hình chóp Thể tích của hình chóp V = Bh 3 1 ,trong ñó B =4a 2 , h =SO Tính SO . Trong tam giác vuông IM J (vuông tại M ) có I M = 3a , I J = 2a , Gọi α là góc IJM ta có sin α = 2 3 2 3 == a a JI IM ⇒ α =60 0 ⇒ Tam giác SIJ là tam giác ñều cạnh 2a ⇒ SO = 3a Thể tích hình chóp V = 3 4 3.4 3 1 3 2 a aa = Do a+b+c =1 ⇒ ab +c = ab + c ( a+b+c ) ⇔ ab +c = (a + c) (b +c ) ⇒ + + + ≤ ++ = + cb b ca a cb b ca a cab ab 2 1 . (1 ) Tương tự ta có : + + + ≤ ++ = + ac c ab b ac c ab b abc bc 2 1 . ( 2 ) + + + ≤ ++ = + ba a bc c ba a bc c bca ca 2 1 . ( 3 ) Từ (1) ,(2) ,(3) suy ra 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu 6A 1 . 1ñ 2 . 1ñ Câu 7A Câu6 B 1. 1ñ + + cab ab abc bc + + bca ca + ≤ 2 3 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 3 1 Toạ ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ : =−+ =++ 01 0725 yx yx ⇒ A (-3 ; 4 ) Toạ ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ : =−− =++ 012 0725 yx yx ⇒ B (-1;-1) Gọi D là ñiểm ñối xứng của B qua ñường phân giác góc A ⇒ D thuộc AC , ta tính ñược toạ ñộ ñiểm D (2 ;2 ) Phương trình ñường thẳng AC chính là phương trình ñường thẳng ñi qua A (-3; 4) ; D(2 ;2) . Phương trình là : 2x +5y -14 =0 Toạ ñộ ñiểm C là nghiệm của hệ =−− =−+ 012 01452 yx yx ⇒ C ( 3 4 ; 3 11 ) Viết phương trình mặt cầu ñi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy) . Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ ñộ I (0;b;c) Vì mặt cầu ñi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có IA = IB = d(I , oxy ) ⇔ 1+(b+1) 2 +(c-4) 2 =1+(b+1) 2 +(c-2) 2 = c 2 ⇒ c = 3 ; b =-1 7± Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là : ( ) ( ) 9371 2 2 2 =−++++ zyx hoặc ( ) ( ) 9371 2 2 2 =−+−++ zyx Có 5! = 120 cách chọn số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên . Ta tìm các số có 5 chữ số khác nhau mà 2 ,3 ñứng cạnh nhau . Nếu xếp hai chữ số 2 ,3 vào hai ô liền nhau (2 ñứng trước 3) xem như 1 ô , ba chữ số 4,5,6 vào ba ô còn lại . như thế có 4 cách chọn vị trí cho cặp số 2,3 ; có 3! Cách chọn vị trí cho 3 chữ số còn lại . Vậy có 4 .3! = 24 cách chọn số gồm 5 chữ số khác nhau mà 2,3 ñứng cạnh nhau ( 2 ñứng trước 3 ). Nếu 3 ñứng trước 2 cũng làm tương tự ta ñược 24 cách lập . Các số thoả mãn yêu cầu bài toán là 120-48=72 số Gọi I là trung ñiểm của AB thì I (5/2 ;-5/2) ; G (x 0 ; y 0 )là trọng tâm tam giác ABC ; S , S 1 lần lượt là diện tích tam giác ABC , GAB ta có S 1 = 3 1 S = 2 1 2 3 . 3 1 = Ta c ó AB = 22 11 + = 2 ðường cao GH của tam giác AGB có ñộ dài GH= 2 1 2 1 = AB S 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 2. 1 ñ Câu 7B ðường thẳng AB có phương trình x - y – 5 = 0 (d ) Lại có GH = d (G,d ) = 2 1 2 5 00 = −− yx ⇔ 5 00 −− yx =1 (1) G nằm trên ñường thẳng có phương trình 3x-y -8 =0 nên ta có 3x 0 –y 0 – 8 =0 (2) .T ừ (1),(2) suy ra ( x 0 , y 0 ) = ( -1;-5) hoặc (2;-2) 3 OG = OCOIOCOBOA +=++ 2 Suy ra C(-2;-10) hoặc C(1 ;1 ) Viết phương trình mặt cầu ñi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy) . Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ ñộ I (0;b;c) Vì mặt cầu ñi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có IA = IB = d(I , oxy ) ⇔ 1+(b+1) 2 +(c-4) 2 =1+(b+1) 2 +(c-2) 2 = c 2 ⇒ c = 3 ; b =-1 7± Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là : ( ) ( ) 9371 2 2 2 =−++++ zyx hoặc ( ) ( ) 9371 2 2 2 =−+−++ zyx Giải hệ −=+ =− yxyx yx 42 9 22 33 ⇔ −−=− += yyxx yx 12633 9 22 33 ⇒ x 3 – 3x 2 +3x = y 3 +6y 2 +12y +9 ⇔ (x-1) 3 = (y +2) 3 ⇒ x =y + 3 Vậy hệ ñã cho ⇔ −= = ⇔ += += 2 1 3 9 33 y x yx yx hoặc −= = 1 2 y x Mọi cách làm khác ñúng ñều cho ñiểm theo phần tương ứng 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 . SỞ GD – ðT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC - LẦN 1 - 2 011 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 18 0 phút; không kể giao ñề Phần chung cho. ðIỂM MÔN TOÁN ðỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2 011 Câu Nội dung ðiểm Câu1 1. 1ñ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y= 2 1 + + x x a . tập xác ñịnh D = R { -1 } . Câu 4 1 Câu 5 1 I = - ( ) dt t t ∫ + − 2 1 1 1 122 = ( ) [ ] 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1ln64 1 6 4 1 24 +−= + −= + − ∫∫ ttdt t dt t t =