Thuật toán Breseham

Thuật toán Breseham

Thuật toán vẽ đoạn thẳng của BresehamNguyễn Thế AnhBài toán vẽ đoạn thẳng khi cho trước hai điểm p1(x1,y1), p2(x2,y2), chắc chắn chúng ta ai cũng nghĩ quá đơn giản có gì mà phải xét, bởi lẽ về mặt thao tác người ta chỉ cần nối hai điểm lại là xong, trong máy tính bạn chỉ làm mỗi việc sử dụng lệnh gọi thủ tục Line(p1, p2). Thực tế thủ tục Line làm việc như thế nào ít ai để ý. Thực ra khó khăn lớn nhất của bài toán vẽ đoạn thẳng trên máy tính là người ta phải vẽ mọi đoạn thẳng mà các điểm của nó chỉ gồm các toạ độ nguyên. Trong toán học điều này không luôn luôn đúng. Vì vậy trên máy tính diễn tả một đoạn thẳng bất kỳ bằng tập các điểm có toạ độ nguyên sai khác với đường thẳng thật ít nhất.Thực tế thủ tục Line không kẻ đoạn thẳng mà tô lần lượt các điểm ảnh (pixel) có toạ độ nguyên bằng một màu nào đó, tập các điểm ảnh này được coi là đoạn thẳng. Mấu chốt của bài toán là như vậy. Thuật toán Bresenham được coi là thuật toán vẽ đoạn thẳng tốt nhất, nó được coi là thuật toán kinh điển và thủ tục Line trong thư viện các chương trình đêu sử dụng thuật toán này. Tư tưởng thuật toán của Bresenham là giả sử đã chọn được điểm ảnh thứ Pi của đoạn thẳng, ta bắt đầu chọn điểm ảnh Pi+1. Điểm ảnh Pi+1 có thể lấy Si+1 hoặc Ti+1 tuỳ thuộc vào quan hệ của đoạn s và t. Nếu s>t sẽ chọn Si+1, ngược lại chọn Ti+1 (xem hình H2). Bây giờ chúng ta chính xác hoá tư tưởng này. Ta bắt đầu bằng cách xét đường thẳng có hệ số góc nằm trong khoảng (0,1] vì các điểm trên màn hình được biểu diễn bởi các toạ độ nguyên nên ta cho x tăng theo bước nhảy đơn vị từ x1 đến x2. Giả sử trên hình vẽ điểm (x[i],y[i]) là điểm nằm trên đoạn thẳng đã được vẽ và cho x[i] tăng thêm 1 để vẽ điểm tiếp theo và giá trị của y ứng với x[i]+1 ta nên chọn là y[i] hay y[i]+1, giá trị đúng của y=m(x[i]+1)+b như vậy ta sẽ tuỳ xem y[i] hay y[i]+1 gần y(=m(x[i]+1)+b) hơn thì ta sẽ chọn giá trị đó. Ta xét các khoảng cách: Khoảng cách giữa y và y[i]: d1=y-y[i]=m(x[i]+1)+b-y[i] Khoảng cách giữa y[i]+1 và y: d2=y[i]+1-y=y[i]+1-m(x[i]+1)-b Hiệu giữa hai khoảng cách này là: d1-d2=2m(x[i]+1)-2y[i]+2b-1 thay m=dy/dx ta có d1-d2=2(dy/dx)(x[i]+1)-2y[i]+2b-1 nên p[i]=dx(d1-d2)=2dy.x[i]+2dy-2dx.y[i]+2dx.b-dx =2dy.x[i]-2dx.y[i]+2dy+dx(2b-1) Hay p[i]=2dy.x[i]-2dx.y[i]+c với c=2dy+dx(2b-1) (1) thay i=1 ta có p[1]=2dy.x1-2dy.y1+c=2dy-dx Nếu p[i]<0 nghi~a la` y[i] ga^`n ddu+o+`ng tha(?ng ho+n y[i]+1 va` ta cho.n y[i+1]=y[i] ngu+o+.c la.i ta cho.n y[i+1]=y[i]+1 Công thức (1) có thể được giản lược bằng cách liên hệ với điểm (x[i+1],y[i+1]) tiếp theo, khi đó p[i+1]=2dy.x[i+1]-2dx.y[i+1]+c (2) Trừ (2) cho (1) ta có: p[i+1]-p[i]=2dy(x[i+1]-x[i])-2dx(y[i+1]-y[i]) mà x[i+1]=x[i]+1 nên p[i+1]=p[i]+2dy-2dx(y[i+1]-y[i]) Mà nếu p[i]<0 thi` y[i+1] tie^'p theo se~ ddu+o+.c cho.n la` y[i], nghi~a la` y[i+1]=y[i] ne^n p[i+1]=p[i]+2dy=p[i]+const1 vo+'i const1=2dy ngu+o+.c la.i cho.n y[i+1]=y[i]+1 ne^n p[i+1]=p[i]+2(dy-dx)=p[i]+const2 vo+'iconst2=2(dy-dx) Và thuật toán vẽ đường thẳng của Presenham trong trường hợp hệ số góc nằm trong khoảng (0,1] như sau: 1. Nếu x1>x2 Thì ta hoán vị 2 điểm (x1,y1) và (x2,y2) 2. Đặt dx:=Abs(x2-x1); dy:=Abs(y2-y1); p:=2*dy-dx; const1:=2*dy; const2:=2*(dy-dx); 3. Đặt x:=x1; y:=y1; 4. vẽ điểm(x,y); 5. Tăng x lên 1 đơn vị 6. Nếu p<0 Thì p:=p+const1 và giữ nguyên y Ngược lại p:=p+const2 va tăng y lên 1 đơn vị; 7. Kiểm tra xem x còn ≤ x2 không nếu còn quay lên bước 4 ngược lại kết thúc 8. Kết thúc Procedure Line_(x1,y1,x2,y2: Integer); Var x,y,tg,dx,dy,const1,const2,p: Integer; mau: Byte; Begin If x1>x2 Then Begin tg:=x1; x1:=x2; x2:=tg; tg:=y1; y1:=y2; y2:=tg; End; dx:=Abs(x2-x1); dy:=Abs(y2-y1); p:=2*dy-dx; const1:=2*dy; const2:=2*(dy-dx); mau:=GetColor; x:=x1; y:=y1; While x≤x2 Do Begin Putpixel(x,y,mau); Inc(x); If p<0 Then p:=p+const1 Else Begin Inc(y); p:=p+const2; End; End; End; . thẳng. Mấu chốt của bài toán là như vậy. Thuật toán Bresenham được coi là thuật toán vẽ đoạn thẳng tốt nhất, nó được coi là thuật toán kinh điển và thủ tục. Thuật toán vẽ đoạn thẳng của BresehamNguyễn Thế AnhBài toán vẽ đoạn thẳng khi cho trước hai điểm p1(x1,y1),