2 Chứng minh rằng đường thẳng y= +x 1 luôn cắt đồ thị hàm số 1 tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng ABC lấy điểm S sao cho
Trang 1Ôn thi Đại học www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Trang 54- www.MATHVN.com
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=x4+ 2m x2 2+ 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
2) Chứng minh rằng đường thẳng y= +x 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân
biệt với mọi giá trị của m
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: 2sin2 x 2sin2x tanx
4
π
2) Giải hệ phương trình: 2log3(x2– 4 ) + 3 log (3 x+ 2) log ( – 2)2− 3 x 2= 4
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x
dx
3
2 0
sin cos 3 sin
π
+
∫
Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d
đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: x x x x
f x
2
( )
=
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là (− 3; 0) và
đi qua điểm M 1;4 33
5
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E)
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d:
z
1
2 2
3
= −
= +
=
Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: 12C n1+ 22C n2+ 32C n3+ + n C2 n n= + (n n2).2n−2, trong đó n
là số tự nhiên, n ≥ 1 và C n k là số tổ hợp chập k của n
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AE= 2EB Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là
G 2;13
3
Viết phương trình cạnh BC
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z
và mặt phẳng (P): 2x y+ − + = 2z 2 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường
thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1)
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y y x
Đề số 55
Trang 2Hướng dẫn Đề số 54
Câu I: 2) Xét PT hoành độ giao điểm:
x4 2m x2 2 1 x 1 x4 2m x2 2 x 0 x x 3 2m x2 1 0
g x x3 m x2
0
Ta có: g x( ) 3 x2 2m2 0 (với mọi x và mọi m ) Hàm số
g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m
nghiệm duy nhất khác 0
hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
Câu II: 1) Điều kiện: cosx 0 x k.
2
PT
2
1– cos 2sin – tan
x
2 4
4 4
(*) )
Trang 32) Điều kiện: x
x
2
2 3
x
2 2
x
2 3
log – 4 3 log ( 2) log ( – 2) 4
log (3 x 2)2 3 log (3 x 2)2 4 0
log (3 x 2)2 4 log (3 x 2)2 1 0
log (3 x 2)2 1 (x 2)2 3 x 2 3
Câu III: Đặt t 3 sin 2x= 4 cos 2x Ta có: cos2x 4 –t2và
x
2
sin cos
3 sin
3
2 0
sin
.
3
0
sin cos
t
15 2 2
3 4
dt
15
2
3
t
15 2 3
ln
=
1
Câu IV: Ta có SA (ABC) SA AB; SA AC
Trang 4Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB BC AC
vuông nên mặt cầu đường kính SB đi qua A,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu
60
SA = AC.tan600 = a 6 Từ đó SB2SA2AB2 10a2
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S =
d2
Câu V: Tập xác định: D = R
2
2
1
Dấu "=" xảy ra x2– 2x 2 1 x 1
Vậy: min f(x) = 2 đạt được khi x = 1
Câu VI.a: 1) Ta có F1 3;0 , F2 3; 0 là hai tiêu điểm của (E) Theo định nghĩa của (E) suy ra :
a MF1 MF2
2
5
2
5
a = 5 Mặt khác: c = 3 và a2–b2 c2 b2a2c2 22
Trang 5Vậy tọa độ các đỉnh của (E) là: A1( –5; 0) ; A2( 5; 0) ;
B1( 0; – 22) ; B2 ( 0; 22)
của A trên d
Giả sử H 1– ; 2 2 ;3t t uuuur AH 1 t;1 2 ;0 t
uuur r
1 1 t 2 1 2 t 0 t 1
5
H 6 8; ;3
5 5
5
2
5
x C0 xC1 x C2 2 x C3 3 x C
Trang 6Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
n(1 x) 1C1 2xC2 3x C2 3 nx 1C
Nhân 2 vế cho x, rồi lấy đạo hàm lần nữa, ta được:
n
n(1 x) 1 ( 1)(1 ) 2 12C1 22xC2 32x C2 3 n x2 1C
Cho x = 1 ta được đpcm
Câu VI.b: 1) Gọi M là trung điểm của BC Ta có AG 2AM
3
uuur uuur
M(2; 3) Đường thẳng EC qua M và có VTPT
3
uuur
AE 2EB
uuur uuur
nên B(–1; 1)
2) Gọi I là tâm của (S) I d I(1 3 ; 1 t t t; ) Bán kính R
= IA = 11t2 2t 1
3
Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1 Suy
ra I(1; –1; 0)
Trang 7Vậy phương trình mặt cầu (S): (x 1)2 (y 1)2z2 1
Từ (2) suy ra y2– 5x2 4 (3)
Thế vào (1) được: x3y2– 5x2.yy3 16x x3– 5x y2 –16 x 0
Với x 0 y2 4 y 2
Với x2– 5xy–16 0 y x
x
2 16 5
x
x x
2 2
2 16
5
x4– 32x2 256 –125x4 100x2 124 x4 132x2– 256 0 x2 1
x x 11 ((y y 3)3)
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (– 1; 3)