THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1 . 1 x y x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x Câu II (2 điểm) a) Tìm m để phương trình 44 2sin cos cos4 2sin2 0xx x xm có nghiệm trên 0; . 2 b) Giải phương trình g 4 8 42 2 11 log 3 log 1 lo . 24 x xx Câu III (2 điểm) a) Tìm giới hạn 3 22 0 3121 lim . 1cos x xx L x b) Chứng minh rằng 0 2 4 6 98 100 50 100 100 100 100 100 100 2 .CCCC CC Câu IV (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 3.abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 16 9 16 4 16 4 9 . ab c a bc abc M B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu Va (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình 0 và 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của 1 C và 22 1 :45Cx y y 22 2 :6816Cxy xy 2 .C b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C. Câu VIa (1 điểm) Cho điểm và đường thẳng 2;5;3A 1 : 212 xyz d 2 . Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến d A lớn nhất. Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao 63 Đề thi thử Đại học 2011 -91- http://www.VNMATH.com Câu Vb (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4. :2dx y b) Cho tứ diện OABC có và Tính thể tích tứ diện OABC. 4, 5, 6OA OB OC 0 60 .AOB BOC COA Câu VIb (1 điểm) Cho mặt phẳng :221Px y z0 và các đường thẳng 1 13 :, 232 x yz d 2 55 . : 64 5 xyz d Tìm điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm Tập xác định: Hàm số 1 1 x y x có tập xác định \1.DR Giới hạn: 11 11 1 lim 1;lim ;lim . 11 1 x xx xx x xx x 0,25 Đạo hàm: 2 2 '0, 1 y x 1x Hàm số nghịch biến trên các khoảng và Hàm số không có cực trị. ;1 1; . Bảng biến thiên: 0,25 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1;x tiệm cận ngang 1.y Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng. 1;1I 0,25 a) Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 b) Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị 1 ' 1 x y C x Học sinh tự vẽ hình 0,5 63 Đề thi thử Đại học 2011 -92- http://www.VNMATH.com Số nghiệm của 1 1 m x bằng số giao điể x m của đồ thị 1 1 x y x và . y m 0,25 Suy ra đ ệm phương trình có 1 nghiệm 1: phương trình vô nghiệm 0,25 áp số 1; mm 1 : ph ương trình có 2 nghi 1:m 1m Câu II 2 điểm Ta có 44 2 1 sin os 1 sin 2 2 x cx x và 2 os4 1 2sin 2 .cx x 0,25 Do đó 13sin22sin23 2 x xm . Đặt t sin 2x . Ta có 0; 2 0; 0;1 . 2 xxt Suy ra 0,25 2 323,0;1ft t t mt Ta có bảng biến thiên 0,25 a) đã cho có nghiệm trên Từ đó phương trình 10 0; 2 23 m 0,25 Giải phương trình 8 42 2 11 log 3 log 1 log 4 2 24 xx x Điều kiện: 01 x 0,25 2314 x xx 0,25 Trường hợp 1: 1 x 2 220xx x 2 0,25 b) Trường hợp 1: 01 x 2 263023xx x 3 Vậy tập nghiệm của (2) là 2; 2 3 3T 0,25 Câu III a) Tìm 3 22 0 3121 lim . 1cos x xx L x 63 Đề thi thử Đại học 2011 -93- http://www.VNMATH.com Ta có 3 22 0 311211 lim 1cos 1cos x xx L x x 0,25 Xét 22 1 22 00 211 2 lim lim 2 1cos 2sin 2 1 1 2 xx xx L x x x 0,25 Xét 3 22 2 2 00 3 22 2 3 311 3 lim lim 2 1cos 2sin 31 311 2 xx xx L x x xx 0,25 Vậy L 12 224L L 0,25 Chứng minh rằng 0 024 1005 100 100 100 100 2 .CCC C Ta có i 0,5 100 1 i 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100 0 2 4 100 1 3 99 100 100 100 100 100 100 100 CCiCi Ci CCC C CC C b) hác 0 Vậy 0 0,5 Mặt k 2 100 50 112 2ii ii 25 21 2ii 024 1005 100 100 100 100 2 .CCC C Cho a, b, c thoả Tìm GTNN của 3.abc 4 9 16 9 16 4 16 4 9 . ab c a bc abc M Đặt 2;3;4 , 2;3;4 ,w 2;3;4 w abc cab bca uv Mu v 22 222 3 abc M 2 w 33 444 abc abc uv 0,25 Theo cô – si có 3 2 22232 6 b c abc . Tương tự … 0,5 Câu IV Vậy 329.M Dấu bằng xảy ra khi 1.abc 0,25 Câu Va Học sinh tự vẽ hình 2 2 3;4 3.C I 0,25 11 1 2 :0;2, 3; : ,I R C R a) Gọi tiếp tuyến chung của 12 ,CC là 22 :0Ax By C A B 0 là tiếp tuyến chung của 12 ,CC 22 11 ; C dI R 22 22 23 1 ; 34 3 2 B A B dI R ABC AB 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -94- http://www.VNMATH.com Từ (1) và (2) suy ra hoặc 2AB 32 2 A B C Trường hợp 1: 2AB . Chọn 12 235:2235BAC xy 0 Trường hợp 2: 32 2 AB C . Thay vào (1) được 22 4 2 2 0; : 2 0; : 4 3 9 0 3 AB AB A A B y xy 0,5 Gọi H là trung điểm của BC 3 ;' 2 a dM BBC AH 0,25 23 '' 11 '. . 22 3 BB C MBB C BB C aa SBBBCVAHS ' 3 12 0,25 b) g BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Gọi I là tâm hình vuôn Ta có ' ; ' ' .' B CMIBCBC B MB C 0,5 (Học sinh tự vẽ hình) Gọi K trên d K cố định; là hình chiế u của A Gọi là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên . 0,25 Trong tam giác vuông AHK ta có .AH AK Vậy max AH AK là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK. 0,25 Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với d :2 2 15 0xy z 3;1; 4K 0,25 Câu VIa là m Kặt phẳng qua và vuông góc với AK :4 3xyz 0 0,25 Câu Vb Gọi 2 xy 2 22 :1H ab (H) tiếp xúc với 1 0,25 22 :20 4dx y a b 22 16 4 4;2 12H ab 0,25 42xyA a) Từ (1) và (2) suy ra 22 22 8; 4 : 1 84 xy ab H 0,5 b) c sinh tự vẽ hình) B’ trên OB; C’ trên OC sao cho 4 (Họ Lấy ''OA OB OC 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -95- http://www.VNMATH.com là trung điểm của B’C’ ''.OAM OB C Lấy M Kẻ ''AH OM AH OB C 0,25 Ta có 23 46 23 33 AM OM MH AH 0,25 11 sin 22 OBC SOBOCBOC 53 Vậy 1 .10 3 OABC OBC VAHS 2 0,25 Gọi 3;2, 56';4';55'12;3 M t ttN tt t ;22110;dM P t t t 1. 0,25 Trường hợp 1: 01;3;0, 6'4;4'3;5'tM MNttt 5 .0'0 5;0;5 P MN n t N P MN n 0,25 1 3;0;2 , 1; 4;0tM N 0,25 Trường hợp 2: Câu VIb Kết luận 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -96- http://www.VNMATH.com . a) Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 b) Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị 1 ' 1 x y C x Học sinh tự vẽ hình 0,5 63 Đề thi thử Đại học 2011 -9 2- http://www.VNMATH.com Số. cho khoảng cách từ đến d A lớn nhất. Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao 63 Đề thi thử Đại học 2011 -9 1- http://www.VNMATH.com Câu Vb (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy,. 01 x 2 2630 23xx x 3 Vậy tập nghiệm của (2) là 2; 2 3 3T 0,25 Câu III a) Tìm 3 22 0 3121 lim . 1cos x xx L x 63 Đề thi thử Đại học 2011 -9 3- http://www.VNMATH.com Ta