ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 - NĂM HỌC 2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2x 3 y x2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 2. Giải phương trình: x 2 – 4x - 3 = x5 Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 1 2 1 dx 1x 1x Câu IV (1 điểm) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Câu V ( 1 điểm ) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 111 4 xyz . CMR: 111 1 22xyzxyzxyz2 PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( 2 điểm ) 1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) x1 và (d’) 3y z2 112 x12t y2t z1t Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . Câu VIIa . ( 1 điểm ) Tính tổng : S 05 14 23 32 41 50 57 57 57 57 57 57 CCCCCCCCCCCC B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 điểm ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C 1 ) : (x - 5) 2 + (y + 12) 2 = 225 và (C 2 ) : (x – 1) 2 + ( y – 2) 2 = 25 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) và (d’) xt y12t z4 5t xt y12 z3t t a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Câu VIIb.( 1 điểm ) Giải phương trình : 5 log x 3 2x Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 63 Đề thi thử Đại học 2011 -110- http://www.VNMATH.com đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian lm bi: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Nội dung Điểm 1 1.25đ Hm số y = 2x 3 x2 có : - TXĐ: D = \ {2} R - Sự biến thiên: + ) Giới hạn : . Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng y = 2 lm TCN x Lim y 2 , . Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng x = 2 lm TCĐ x2 x2 lim y ; lim y +) Bảng biến thiên: Ta có : y = 2 1 x2 < 0 xD Hm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2 v hm số không có cực trị - Đồ thị + Giao điểm với trục tung : (0 ; 3 2 ) + Giao điểm với trục honh : A(3/2; 0) - ĐTHS nhận điểm (2; 2) lm tâm đối xứng 0,25 0,25 0,25 0,5 I 2.0đ 2 0,75 Ly im 1 Mm;2 m2 y y 2 2 2 - 2 - x 8 6 4 2 -5 5 10 -2 -4 C . Ta cú : 2 1 y' m m2 . Tip tuyn (d) ti M cú phng trỡnh : 2 11 yxm2 m2 m2 Giao im ca (d) vi tim cn ng l : 2 A2;2 m2 Giao im ca (d) vi tim cn ngang l : B(2m 2 ; 2) 0,25 0,25 63 thi th i hc 2011 -111- http://www.VNMATH.com Ta có : 2 2 2 1 AB 4 m 2 8 m2 . Dấu “=” xảy ra khi m = 2 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2) 0,25đ 1 1,0® Phương trình đã cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 sin x cosx 21sinx 1cosx0 cosx sin x 2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x 0 cosx sin x 23 cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x Xét 23 3 0tanx tan x cosx sin x 2 k Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với t2; 2 . Khi đó phương trình trở thành: 2 2 t1 t0t2t10t1 2 2 Suy ra : 12 2cos x 1 2 cos x cos 44 2 x2 4 k 0,25 0,25 0,5 II 2,0® 2 1,0® x 2 - 4x + 3 = x5 (1) TX§ : D = 5; ) 2 1x27x 5 ®Æt y - 2 = x5 , 2 y2 y2 x5 Ta cã hÖ : 2 2 2 x2 y5 x2 y5 y2 x5 xyxy3 0 y2 y2 2 2 x2 y5 xy0 529 x 2 x2 y5 x1 xy30 y2 0,25 0,25 0,5 III 1.0® 1® Ta có : 1 2 1 dx 1x 1x = 11 22 2 2 11 1x 1x 1x 1x dx dx 2x 1x 1x 11 2 11 11 1x 1dx dx 2x 2x 1 1 11 1 11 1 I1dxlnxx|1 2x 2 1 2 2 1 1x Idx 2x . Đặt 22 2 t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx 0,5 0,5 63 Đề thi thử Đại học 2011 -112- http://www.VNMATH.com Đổi cận : x1 t 2 x1 t2 Vậy I 2 = 2 2 2 2 tdt 0 2t 1 Nên I = 1 IV 2® 1.0® Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có : ; BC = AC = a.cos SCA ; SA = a.sin Vậy 323 SABC ABC 11 1 1 V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin 36 6 6 2 Xét hàm số : f(x) = x – x 3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x 2 . 1 f' x 0 x 3 Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay x0;1 12 Max f x f 33 3 Vậy MaxV SABC = 3 a 93 , đạt được khi sin = 1 3 hay 1 arcsin 3 ( với 0 < 2 ) 0,25 0,5 V 1.0® +Ta có : 1111 242 .( ) xyz x yz ; 1111 242 () xyz yxz ; 1111 242 () xy z zyx + Lại có : 1111 () xy 4x y ; 1111 () yz 4y z ; 1111 () xz 4x z ; cộng các BĐT này ta được đpcm. 1® VIa 2® 1 1® Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a 2 + b 2 0) . Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên : 2222 22 22 2a 5b 2.12 5.1 25.ab 25.121 A B C S 22 2a 5b 29 5 ab 2 22 52a 5b 29a b 9a 2 + 100ab – 96b 2 = 0 a12 8 ab 9 b Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác . Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 0,25 0,25 0,25 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -113- http://www.VNMATH.com Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0 2 1® Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : x9t y68t z515t + Đường thẳng (d) đi qua M(-1 ;3 ;-2) và có VTCP u1;1;2 + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u' 2;1;1 Ta có : MM ' 2; 1;3 12 21 11 11 1 2 21 MM ' u,u ' 2; 1;3 ; ; 8 0 Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : MM ' u,u ' 8 dd,d' 11 u,u' 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa 1đ Chọn khai triển : 5 01 22 5 55 5 5 x1 C CxCx Cx 5 7 0 1 22 77 0 1 22 55 77 7 7 77 7 7 x 1 C Cx Cx Cx C Cx Cx Cx Hệ số của x 5 trong khai triển của (x + 1) 5 .(x + 1) 7 là : 05 14 23 32 41 50 57 57 57 57 57 57 CC CC CC CC CC CC Mặt khác : (x + 1) 5 .(x + 1) 7 = (x + 1) 12 và hệ số của x 5 trong khai triển của (x + 1) 12 là : 5 12 C Từ đó ta có : = = 792 05 14 23 32 41 50 57 57 57 57 57 57 CC CC CC CC CC CC 5 12 C .0,25 0,25 0,25 0,25 VIb 2đ 1 1đ Đường tròn (C 1 ) có tâm I 1 (5 ; -12) bán kính R 1 = 15 , Đường tròn (C 2 ) có tâm I 2 (1 ; 2) bán kính R 1 = 5 . Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 0) là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) thì khoảng cách từ I 1 và I 2 đến đường thẳng đó lần lượt bằng R 1 và R 2 , tức là : 22 22 5A 12B C 15 1 AB A2BC 52 AB Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 22 AB 22 21A 28AB 24B 0 14 10 7 AB 21 Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14 10 7 , C = 203 10 7 Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 10 7 )x + 21y 203 10 7 = 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) 4A 3B C 2 , thay vào (2) ta được : 96A 2 + 28AB + 51B 2 = 0 . Phương trình này vô nghiệm . 0,25 0,25 0,25 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -114- http://www.VNMATH.com 2 1® a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u1;2;5 + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u' 1; 2; 3 Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là 13 I;0; 22 hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy u 15 15 15 v.u' ;2;3 777 u' . Ta đặt : 15 15 15 auv 1 ;22 ;53 77 7 15 15 15 buv 1 ;22 ;53 77 7 Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ làm VTCP và chúng có phương trình là : a,b 115 x1 27 15 y22 t 7 315 z53 27 t t và 115 x1 27 15 y22 t 7 315 z53 27 t t VIIb 1® ĐK : x > 0 PT đã cho tương đương với : log 5 ( x + 3) = log 2 x (1) Đặt t = log 2 x, suy ra x = 2 t tt 5 2log23t23 t 5 tt 21 31 35 (2) Xét hàm số : f(t) = tt 21 3 35 f'(t) = tt 21 ln 0, 4 3 ln 0,2 0, t 35 R Suy ra f(t) ngh ịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log 2 x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -115- http://www.VNMATH.com . 3 2x Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 63 Đề thi thử Đại học 2011 -1 1 0- http://www.VNMATH.com đáp án đề thi thử đại học lần 2 năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian lm. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 - NĂM HỌC 2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2x 3 y x2 có. 0,25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -1 1 4- http://www.VNMATH.com 2 1® a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u1;2;5 + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP