Trn S Tựng Trng THPT Chuyờn LNG VN CHNH PH YấN s 14 THI TH I HC V CAO NG NM 2010 Mụn thi: TON Khi A Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I. PHN CHUNG (7 im) Cõu I (2 im): Cho hm s x y x 2 2 = + . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C), bit rng khong cỏch t tõm i xng ca (C) n tip tuyn l ln nht. Cõu II (2 im): 1) Gii phng trỡnh: x xx xx 2 4cos2 tan2.tan2 44tancot pp ổửổử -+= ỗữỗữ - ốứốứ 2) Gii h phng trỡnh: y x xy x xy y 22 22 3 21 1 422 ỡ += ù ù +- ớ ù ++= ù ợ Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn: I = x Idx x 8 3 ln 1 = + ũ Cõu IV (1 im): Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú di cnh ỏy bng a, mt bờn to vi mt ỏy gúc 60 0 . Mt phng (P) cha AB v i qua trng tõm tam giỏc SAC ct SC, SD ln lt ti M, N. Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABMN theo a. Cõu V (1 im): Cho cỏc s thc a, b, c tha món : abc 01;01;01 <Ê<Ê<Ê . Chng minh rng: ( ) abc abcabc 1111 13 ổử ++++++ ỗữ ốứ II. PHN T CHN (3 im) 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú ( ) A 3;6 - , trc tõm ( ) H 2;1 , trng tõm G 47 ; 33 ổử ỗữ ốứ . Xỏc nh to cỏc nh B v C. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu () Sxyzxyz 222 :24840 ++-+ = v mt phng ( ) xyz :2230 a -+-= . Xột v trớ tng i ca mt cu (S) v mt phng ( ) a . Vit phng trỡnh mt cu (SÂ) i xng vi mt cu (S) qua mt phng ( ) a . Cõu VII.a (1 im): Mt i d tuyn búng bn cú 10 n, 7 nam, trong ú cú danh th nam l V Mnh Cng v danh th n l Ngụ Thu Thy. Ngi ta cn lp mt i tuyn búng bn quc gia t i d tuyn núi trờn. i tuyn quc gia bao gm 3 n v 4 nam. Hi cú bao nhiờu cỏch lp i tuyn quc gia sao cho trong i tuyn cú mt ch mt trong hai danh th trờn. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A thuc ng thng d: x 4y 2 = 0, cnh BC song song vi d, phng trỡnh ng cao BH: x + y + 3 = 0 v trung im ca cnh AC l M(1; 1). Tỡm to cỏc nh A, B, C. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi ( ) ( ) ( ) ABC 3;1;2,1;5;1,2;3;3 , trong ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh. Tỡm to im D. Cõu VII.b (1 im): Gii h phng trỡnh: xyyx xxyx 3123 2 223.2 311 +-+ ỡ += ù ớ ++=+ ù ợ ============================ Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Tip tuyn ca th (C) ti im M cú honh a 2 ạ- thuc th (C) cú phng trỡnh: ( ) ( ) ( ) () a yxaxayad a a 2 2 2 42 4220 2 2 =-+-++= + + Tõm i xng ( ) I 2;2 - . Ta cú ( ) ( ) ( ) aaa dId a aa 42 828282 ,22 222 1622.4.2 +++ =Ê== + +++ ( ) dId , ln nht ( ) a a a 2 0 24 4 ộ = += ờ =- ở T ú suy ra cú hai tip tuyn yx = v yx 8 =+ . Cõu II: 1) iu kin () xx xxx cos20;cos20 * 44 sin20;tancot0 pp ỡ ổửổử -ạ+ạ ù ỗữỗữ ớ ốứốứ ù ạ-ạ ợ ý rng: xxxxxx tan2.tan2tan2.tan2cot2.tan21 444444 pppppp ổửổửổửổửổửổử -+= +=-++=- ỗữỗữỗữỗữỗữỗữ ốứốứốứốứốứốứ Khi ú PT tr thnh: x xxx xx 2 2 4cos2 1cottan4cos2 tancot -=-= - ( ) x x xx xx 2 2 22 1tan124 4tan210 tantan2 1tan21tan2 - ==-= ++ ( ) xxmxkktan212 482 ppp p ==+=+ẻ Z : Khụng tho iu kin (*). Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim. 2) iu kin: xyxy 22 0,0,10 ạạ+-ạ t x uxyv y 22 1; =+-= . H PT tr thnh: uvuv uvuv 3232 11(1) 1422214(2) ỡỡ ùù +=+= ớớ ùù ++==- ợợ Thay (2) vo (1) ta c: v vv v vv 2 3 32 1213210 7 214 2 ộ = ờ +=-+= = ờ - ở ã Nu v = 3 thỡ u = 9, ta cú H PT: xy xx xy x yy xy y 22 22 19 33 10 11 3 3 ỡ +-= ỡ ù ỡỡ ==- += ớớớớ ==- = = ợợ ợ ù ợ ã Nu v 7 2 = thỡ u = 7, ta cú H PT: yy xy xy x xy y xx 22 22 22 44 17 8 5353 7 7 22 2 1414 2 5353 ỡỡ ỡ ỡ ==- +-= ùù += ùùùù ớớớớ = = ùùùù ==- ợ ợ ùù ợợ So sỏnh iu kin ta c 4 nghim ca H PT. Cõu III: t ux dx du dx x dv vx x ln 21 1 ỡ ỡ= = ùù ị ớớ = ùù =+ + ợ ợ ( ) x IxxdxJ x 8 8 3 3 1 21.ln26ln84ln32 + ị=+-= ũ ã Tớnh x Jdx x 8 3 1 + = ũ . t tt txJtdtdtdt tt tt 333 2 22 222 11 1.222 11 11 ổử =+ị===+- ỗữ -+ ốứ ũũũ t t t 8 3 1 2ln2ln3ln2 1 ổử - =+=+- ỗữ + ốứ Trn S Tựng T ú I 20ln26ln34 = . Cõu IV: K SO ^ (ABCD) thỡ O l giao im ca AC v BD. Gi I, J ln lt l trung im ca AB v CD; G l trng tõm D SAC . Gúc gia mt bờn (SCD) v ỏy (ABCD) l ả SJI 0 60 = ị DSIJ u cnh a ị G cng l trng tõm DSIJ. IG ct SJ ti K l trung im ca SJ; M, N l trung im ca SC, SD. ABMN aa IKSABMNIK 2 3133 ;() 228 ==+=; a SKABMNSK(); 2 ^= Suy ra: ABMN a VSSK 3 13 . 316 ==. Cõu V: Vỡ ab 01,01 <Ê<Ê nờn ( ) ( ) ababab 11010 ị + abab 1 ị+- abab 111 1(1) ị+- Tng t : bcbccaca 111111 1(2),1(3) +-+- Cng cỏc BT (1), (2), (3) v theo v ta c: abbccaabc 111111 23(4) ổử ++++- ỗữ ốứ S dng BT (4) v BT Cụsi ta cú: ( ) abcabcabc abcabbccaabc 1111111 123 ổửổử +++=++++++++++- ỗữỗữ ốứốứ ( ) abc abcabc 111111 23 ổử +++++++- ỗữ ốứ Cng theo BT Cụsi ta cú : ( ) abc abc 111 9 ổử ++++ ỗữ ốứ Do ú: ( ) abc abcabcabc 1111111 1633 ổử ++++++-=+++ ỗữ ốứ (pcm) Du "=" xy ra a = b = c = 1. II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Gi I l trung im ca BC. Ta cú AGAII 271 ; 322 ổử =ị ỗữ ốứ uuuruur ng thng BC qua I vuụng gúc vi AH cú phng trỡnh: xy 30 = Vỡ I 71 ; 22 ổử ỗữ ốứ l trung im ca BC nờn gi s ( ) BB Bxy ; thỡ ( ) BB Cxy 7;1 v BB xy 30 = H l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn CHAB ^ ; ( ) ( ) BBBB CHxyABxy 5;,3;6 =-+=+- uuuruuur ( )( ) ( ) BB BB BBB BB xy xx CHAB xxy yy 3 16 .0 5360 23 ỡ -= ỡỡ == ù = ớớớ -++-= =-= ù ợợ ợ uuuruuur Vy ( ) ( ) BC 1;2,6;3 - hoc ( ) ( ) BC 6;3,1;2 - 2) ( ) ( ) ( ) Sxyz 222 ():12425 -+++-= cú tõm ( ) I 1;2;4 - v R = 5. Khong cỏch t I n (a) l: ( ) dIR ,()3 a =< ị (a) v mt cu (S) ct nhau. Gi J l im i xng ca I qua (a). Phng trỡnh ng thng IJ : xt yt zt 12 2 42 ỡ =+ ù = ớ ù =+ ợ To giao im H ca IJ v (a) tho ( ) xtt ytx H zty xyzz 121 21 1;1;2 421 22302 ỡỡ =+=- ùù ùù = =- ị ớớ =+=- ùù -+-== ùù ợợ Trn S Tựng Vỡ H l trung im ca IJ nờn ( ) J 3;0;0 - . Mt cu (SÂ) cú tõm J bỏn kớnh RÂ = R = 5 nờn cú phng trỡnh: ( ) Sxyz 2 22 ():325 Â +++= Cõu VII.a: Cú 2 trng hp xy ra: ã Trng hp 1: i tuyn cú V Mnh Cng, khụng cú Ngụ Thu Thu S cỏch chn 3 nam cũn li l C 3 6 . S cỏch chn 3 n khụng cú Ngụ Thu Thu l C 3 9 . Suy ra s cỏch chn trong trng hp ny l CC 33 69 .1680 = (cỏch) ã Trng hp 2: i tuyn cú Ngụ Thu Thu, khụng cú V Mnh Cng S cỏch chn 4 nam khụng cú V Mnh Cng l C 4 6 S cỏch chn 2 n cũn li l C 2 9 Suy ra s cỏch chn trong trng hp ny l CC 42 69 .540 = (cỏch) Vy s cỏch chn i tuyn búng bn Quc gia l: 1680 + 540 = 2220 (cỏch) 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) Ta cú AC vuụng gúc vi BH v i qua M(1; 1) nờn cú phng trỡnh: y x = . To nh A l nghim ca h : x xy A yx y 2 22 420 3 ; 2 33 3 ỡ =- ù ổử ỡ = ị ớớ ỗữ = ợ ốứ ù =- ợ Vỡ M l trung im ca AC nờn C 88 ; 33 ổử ỗữ ốứ Vỡ BC i qua C v song song vi d nờn BC cú phng trỡnh: x y 2 4 =+ ( ) xy x BHBCBB x y y 30 4 :4;1 1 2 4 ỡ ++= ù ỡ =- ầ=ị- ớớ = =+ ợ ù ợ 2) Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = 3. Gi D l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = 3. im D cn tỡm l giao im ca D v (S). ng thng D cú vect ch phng ( ) AB 2;6;3 =- uuur nờn cú phng trỡnh: xt yt zt 22 36 33 ỡ =- ù =+ ớ ù =+ ợ Phng trỡnh mt cu ()( ) ( ) ( ) Sxyz 222 :3129 -++++= To im D tho H PT: ( ) ( ) ( ) xt t yt tt zt t xyz 2 222 22 1 36 4982330 33 33 49 3129 ỡ =- ộ ù =- =+ ù ờ ị++= ớ =+ =- ờ ù ở -++++= ù ợ ã Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = 7 ã Vi tD 331645148 ;; 49494949 ổử =-ị- ỗữ ốứ (nhn) Cõu VII.b: xyyx xxyx 3123 2 223.2(1) 311(2) +-+ ỡ += ù ớ ++=+ ù ợ Ta cú: () ( ) x x x xxy xyx xxyx 2 1 10 1 2 310 013 311 ỡ -ỡ + ỡ - ớớớ +-= ==- ++=+ ợ ợ ợ Trn S Tựng ã Vi x = 0 thay vo (1) ta c: yyyyy y 2 2 88 223.28212.22log 1111 - +=+=== ã Vi x yx 1 13 ỡ - ớ =- ợ thay yx 13 = vo (1) ta c : xx3131 223.2(3) + += t x t 31 2 + = , vỡ x 1 - nờn t 1 4 - . Khi ú: (3) : tloaùi ttt t tthoaỷ 2 1 322() 6610 322() ộ =- +=-+= ờ =+ ở Suy ra: ( ) x x 31 2 1 2322log3221 3 + ộự =+=+- ởỷ ; ( ) yx 2 132log322 =-=-+ Vy H PT ó cho cú 2 nghim x y 2 0 8 log 11 ỡ = ù ớ = ù ợ v ( ) ( ) x y 2 2 1 log3221 3 2log322 ỡ ộự =+- ù ởỷ ớ ù =-+ ợ ===================== . xyxy 22 0,0,10 ạạ +- t x uxyv y 22 1; = +-= . H PT tr thnh: uvuv uvuv 3232 11(1) 142 2 214( 2) ỡỡ ùù +=+= ớớ ùù ++= =- ợợ Thay (2) vo (1) ta c: v vv v vv 2 3 32 1213210 7 214 2 ộ = ờ + =-+ = = ờ - ở . xy xx xy x yy xy y 22 22 19 33 10 11 3 3 ỡ +-= ỡ ù ỡỡ = =- += ớớớớ = =- = = ợợ ợ ù ợ ã Nu v 7 2 = thỡ u = 7, ta cú H PT: yy xy xy x xy y xx 22 22 22 44 17 8 5353 7 7 22 2 141 4 2 5353 ỡỡ ỡ ỡ = =- +-= ùù += ùùùù ớớớớ = = ùùùù = =- ợ ợ ùù ợợ . ( ) ( ) BBBB CHxyABxy 5;,3;6 =-+ = +- uuuruuur ( )( ) ( ) BB BB BBB BB xy xx CHAB xxy yy 3 16 .0 5360 23 ỡ -= ỡỡ == ù = ớớớ -+ +-= =-= ù ợợ ợ uuuruuur Vy ( ) ( ) BC 1;2,6;3 - hoc ( ) ( ) BC 6;3,1;2 - 2) (