Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 1 Chơng 1 Mật m cổ điển 1.1 mở đầu - một số hệ mật đơn giản Đối tợng cơ bản của mật mã là tạo ra khả năng liên lạc trên một kênh không mật cho hai ngời sử dụng (tạm gọi là Alice và Bob) sao cho đối phơng (Oscar) không thể hiểu đợc thông tin đợc truyền đi. Kênh này có thể là một đờng dây điện thoại hoặc một mạng máy tính. Thông tin mà Alice muốn gửi cho Bob (bản rõ) có thể là một văn bản tiếng Anh, các dữ liệu bằng số hoặc bất cứ tài liệu nào có cấu trúc tuỳ ý. Alice sẽ mã hoá bản rõ bằng một khoá đợc xác định trớc và gửi bản mã kết quả trên kênh. Oscar có bản mã thu trộm đợc trên kênh song không thể xác định nội dung của bản rõ, nhng Bob (ngời đã biết khoá mã) có thể giải mã và thu đợc bản rõ. Ta sẽ mô tả hình thức hoá nội dung bằng cách dung khái niệm toán học nh sau: Định nghĩa 1.1 Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D) thoả mãn các điều kiện sau: 1. P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể. 2. C là một tập hữu hạn các bản mã có thể. 3. K (không gian khoá) là tập hữu hạn các khoá có thể. 4. Đối với mỗi k K có một quy tắc mã e k : P C và một quy tắcv giải mã tơng ứng d k D. Mỗi e k : P C và d k : C P là những hàm mà: d k (e k (x)) = x với mọi bản rõ x P. Trong tính chất 4 là tính chất chủ yếu ở đây. Nội dung của nó là nếu một bản rõ x đợc mã hoá bằng e k và bản mã nhận đợc sau đó đợc giải mã bằng d k thì ta phải thu đợc bản rõ ban đầu x. Alice và Bob sẽ áp dụng thủ tục sau dùng hệ mật khoá riêng. Trớc tiên họ chọn một khoá ngẫu nhiên K K . Điều này đợc thực hiện khi họ ở cùng một chỗ và không bị Oscar theo dõi hoặc khi họ có một kênh mật trong trờng hợp họ ở xa nhau. Sau đó giả sử Alice muốn gửi một thông baó cho Bob trên một kênh không mật và ta xem thông báo này là một chuỗi: Giỏo trỡnh tin hc : H mt mó v nhng kh nng to liờn lc tuyt mt ca nú Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 2 x = x 1 ,x 2 ,. . .,x n với số nguyên n 1 nào đó. ở đây mỗi ký hiệu của mỗi bản rõ x i P , 1 i n. Mỗi x i sẽ đợc mã hoá bằng quy tắc mã e k với khoá K xác định trớc đó. Bởi vậy Alice sẽ tính y i = e k (x i ), 1 i n và chuỗi bản mã nhận đợc: y = y 1 ,y 2 ,. . .,y n sẽ đợc gửi trên kênh. Khi Bob nhận đơc y 1 ,y 2 ,. . .,y n anh ta sẽ giải mã bằng hàm giải mã d k và thu đợc bản rõ gốc x 1 ,x 2 ,. . .,x n . Hình 1.1 là một ví dụ về một kênh liên lạc Hình 1.1. Kênh liên lạc Rõ ràng là trong trờng hợp này hàm mã hoá phải là hàm đơn ánh ( tức là ánh xạ 1-1), nếu không việc giải mã sẽ không thực hiện đợc một cách tờng minh. Ví dụ y = e k (x 1 ) = e k (x 2 ) trong đó x 1 x 2 , thì Bob sẽ không có cách nào để biết liệu sẽ phải giải mã thành x 1 hay x 2 . Chú ý rằng nếu P = C thì mỗi hàm mã hoá là một phép hoán vị, tức là nếu tập các bản mã và tập các bản rõ là đồng nhất thì mỗi một hàm mã sẽ là một sự sắp xếp lại (hay hoán vị ) các phần tử của tập này. 1.1.1 M dịch vòng ( shift cipher) Osca r Bộ giải mã Bộ mã hoá Bob Alice Kênh an toàn Nguồn khoá Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 3 Phần này sẽ mô tả mã dịch (MD) dựa trên số học theo modulo. Trớc tiên sẽ điểm qua một số định nghĩa cơ bản của số học này. Định nghĩa 1.2 Giả sử a và b là các số nguyên và m là một số nguyên dơng. Khi đó ta viết a b (mod m) nếu m chia hết cho b-a. Mệnh đề a b (mod m) đợc gọi là " a đồng d với b theo modulo m". Số nguyên m đợc gọi là mudulus. Giả sử chia a và b cho m và ta thu đợc thơng nguyên và phần d, các phần d nằm giữa 0 và m-1, nghĩa là a = q 1 m + r 1 và b = q 2 m + r 2 trong đó 0 r 1 m-1 và 0 r 2 m-1. Khi đó có thể dễ dàng thấy rằng a b (mod m) khi và chỉ khi r 1 = r 2 . Ta sẽ dùng ký hiệu a mod m (không dùng các dấu ngoặc) để xác định phần d khi a đợc chia cho m (chính là giá trị r 1 ở trên). Nh vậy: a b (mod m) khi và chỉ khi a mod m = b mod m. Nếu thay a bằng a mod m thì ta nói rằng a đợc rút gọn theo modulo m. Nhận xét: Nhiều ngôn ngữ lập trình của máy tính xác định a mod m là phần d trong dải - m+1, ., m-1 có cùng dấu với a. Ví dụ -18 mod 7 sẽ là -4, giá trị này khác với giá trị 3 là giá trị đợc xác định theo công thức trên. Tuy nhiên, để thuận tiện ta sẽ xác định a mod m luôn là một số không âm. Bây giờ ta có thể định nghĩa số học modulo m: Z m đợc coi là tập hợp {0,1,. . .,m-1} có trang bị hai phép toán cộng và nhân. Việc cộng và nhân trong Z m đợc thực hiện giống nh cộng và nhân các số thực ngoài trừ một điểm làcác kết quả đợc rút gọn theo modulo m. Ví dụ tính 11ì 13 trong Z 16 . Tơng tự nh với các số nguyên ta có 11 ì13 = 143. Để rút gọn 143 theo modulo 16, ta thực hiện phép chia bình thờng: 143 = 8 ì 16 + 15, bởi vậy 143 mod 16 = 15 trong Z 16 . Các định nghĩa trên phép cộng và phép nhân Z m thảo mãn hầu hết các quy tắc quyen thuộc trong số học. Sau đây ta sẽ liệt kê mà không chứng minh các tính chất này: 1. Phép cộng là đóng, tức với bất kì a,b Z m ,a +b Z m 2. Phép cộng là giao hoán, tức là với a,b bất kì Z m a+b = b+a 3. Phép cộng là kết hợp, tức là với bất kì a,b,c Z m (a+b)+c = a+(b+c) 4. 0 là phần tử đơn vị của phép cộng, có nghĩa là với a bất kì Z m a+0 = 0+a = a Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 4 5. Phần tử nghịch đảo của phép cộngcủa phần tử bất kì (a Z m ) là m-a, nghĩa là a+(m-a) = (m-a)+a = 0 với bất kì a Z m . 6. Phép nhân là đóng , tức là với a,b bất kì Z m , ab Z m . 7. Phép nhân là gioa hoán , nghĩa là với a,b bất kì Z m , ab = ba 8. Phép nhân là kết hợp, nghĩa là với a,b,c Z m , (ab)c = a(cb) 9. 1 là phần tử đơn vị của phép nhân, tức là với bất kỳ a Z m aì1 = 1ìa = a 10. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là đối với a,b,c Z m , (a+b)c = (ac)+(bc) và a(b+c) = (ab) + (ac) Các tính chất 1,3-5 nói lên rằng Z m lâp nên một cấu trúc đại số đợc gọi là một nhóm theo phép cộng. Vì có thêm tính chất 4 nhóm đợc gọi là nhóm Aben (hay nhóm gioa hoán). Các tính chất 1-10 sẽ thiết lập nên một vành Z m . Ta sẽ còn thấy nhiều ví dụ khác về các nhóm và các vành trong cuốn sách này. Một số ví dụ quên thuộc của vành là các số nguyên Z, các số thực R và các số phức C. Tuy nhiên các vành này đều vô hạn, còn mối quan tâm của chúng ta chỉ giới hạn trên các vành hữu hạn. Vì phần tử ngợc của phép cộng tồn tại trong Z m nên cũng có thể trừ các phần tử trong Z m . Ta định nghĩa a-b trong Z m là a+m-b mod m. Một cách tơng có thể tính số nguyên a-b rồi rút gon theo modulo m. Ví dụ : Để tính 11-18 trong Z 31 , ta tính 11+13 mod 31 = 24. Ngợc lại, có thể lấy 11-18 đợc -7 rồid sau đó tính -7 mod 31 = 24. Ta sẽ mô tả mã dịch vòng trên hình 1.2. Nó đợc xác định trên Z 26 (do có 26 chữ cái trên bảng chữ cái tiếng Anh) mặc dù có thể xác định nó trên Z m với modulus m tuỳ ý. Dễ dàng thấy rằng, MDV sẽ tạo nên một hệ mật nh đã xác định ở trên, tức là d K (e K (x)) = x với mọi x Z 26 . Hình 1.2: M dịch vòng Giả sử P = C = K = Z 26 với 0 k 25 , định nghĩa: e K (x) = x +K mod 26 và d K (x) = y -K mod 26 (x,y Z 26 ) Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 5 Nhận xét: Trong trờng hợp K = 3, hệ mật thờng đợc gọi là mã Caesar đã từng đợc Julius Caesar sử dụng. Ta sẽ sử dụng MDV (với modulo 26) để mã hoá một văn bản tiếng Anh thông thờng bằng cách thiết lập sự tơng ứnggiữa các kí tự và các thặng d theo modulo 26 nh sau: A 0,B 1, . . ., Z 25. Vì phép tơng ứng này còn dùng trong một vài ví dụ nên ta sẽ ghi lại để còn tiện dùng sau này: A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Sau đây là một ví dụ nhỏ để minh hoạ Ví dụ 1.1: Giả sử khoá cho MDV là K = 11 và bản rõ là: wewillmeetatmidnight Trớc tiên biến đổi bản rõ thành dãy các số nguyên nhờ dùng phép tơng ứng trên. Ta có: 22 4 22 8 11 11 12 4 4 19 0 19 12 8 3 13 8 6 7 19 sau đó cộng 11 vào mỗi giá trị rồi rút gọn tổng theo modulo 26 7 15 7 19 22 22 23 15 15 4 11 4 23 19 14 24 19 17 18 4 Cuối cùng biến đổi dãy số nguyên này thành các kí tự thu đợc bản mã sau: HPHTWWXPPELEXTOYTRSE Để giả mã bản mã này, trớc tiên, Bob sẽ biến đổi bản mã thành dãy các số nguyên rồi trừ đi giá trịcho 11 ( rút gọn theo modulo 26) và cuối cùng biến đổi lại dãy nàythành các ký tự. . tính 11 ì 13 trong Z 16 . Tơng tự nh với các số nguyên ta có 11 13 = 14 3. Để rút gọn 14 3 theo modulo 16 , ta thực hiện phép chia bình thờng: 14 3 = 8 ì 16 + 15 , bởi vậy 14 3 mod 16 = 15 trong Z 16 . 22 8 11 11 12 4 4 19 0 19 12 8 3 13 8 6 7 19 sau đó cộng 11 vào mỗi giá trị rồi rút gọn tổng theo modulo 26 7 15 7 19 22 22 23 15 15 4 11 4 23 19 14 24 19 17 18 4 Cuối cùng biến. m. Ví dụ : Để tính 11 -18 trong Z 31 , ta tính 11 +13 mod 31 = 24. Ngợc lại, có thể lấy 11 -18 đợc -7 rồid sau đó tính -7 mod 31 = 24. Ta sẽ mô tả mã dịch vòng trên hình 1. 2. Nó đợc xác định