Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 37 pot

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hệ phỷơng trình x 2 +y 2 =2(1+a) (x+y) 2 =4. 1) Giải hệ vớia=1. 2) Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 2 nghiệm. Câu II. 1) Xác định tất cả các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: c = ccos2B + bsin2B. 2) a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng p < p-a + p-b + p-c 3p . Câu III. Cho hàm số y=x 4 - 6bx 2 +b 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng vớib=1. 2) Với b là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 1]. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu I. 1) Với a = 1 22 2 xy4 (x y) 4 += += xy 2 xy 0 += = nghiệm của hệ đã cho là : (0,2) ; (2,0) ; (0, - 2) ; (- 2, 0). 2) Giả sử hệ có nghiệm là oo (x ,y ) các cặp oo (x,y) ; oo (y ,x ) ; oo (y,x) cũng là nghiệm, cặp oo (x ,y ) oo (x,y) , vì nếu ngợc lại o x0= , o y0= mà (0, 0) không phải là nghiệm của hệ. Vậy hệ có hai nghiệm thì hai nghiệm là oo (x ,y ) và oo (x,y) oo oo (x ,y ) (y ,x ) ; oo oo (x,y) (y,x) ; điều đó xảy ra khi oo xy = . Khi đó hệ trở thành : 2 o 2 o 2x 2(1 a) 4x 4 = + = a = 0 Ngợc lại với a = 0 : hệ đã cho là : 22 2 xy2 (x y) 4 + = + = xy 2 xy 1 + = = hệ chỉ có 2 nghiệm là : (1, 1) ; (- 1, - 1). Đáp số : a = 0 Câu II. 1) sin C cosB sin B 2 == ) CB 2 = hay BC 2 += A 2 = ABC vuông ở A. ) CBB 22 = = + . Vì A + B + C = AB B 2 +++= A2B 2 + = ABC thỏa mãn 0B 4 CB 2 A2B. 2 << =+ = 2) Đặt xpa=, ypb=, zpc= ta có x, y, z > 0, 222 xyz3p(abc)p + +=++= bất đẳng thức phải chứng minh trở thành : 222 222 xyzxyz 3(xyz)++<++ ++ . Sử dụng bất đẳng thc Bunhiacôpxki - Côsi ta có : 222 2 (xyz)(111)(xyz)++ ++++ 222 3(xyz)xyz + +++ . Lại có +++ + + >++ 222 222 xyz2xy2xz2yzxyx ++ >++++> ++ 2222 222 (xyz)xyz xyz xyz. Bất đẳng thức đợc chứng minh hoàn toàn. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu III. 1 ) Bạn đọc tự giải. 2) Nhận xét thấy y = f(x) là hàm chẵn vì f(a) = f(a), a. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2 ; 1] ta xét các điểm cực trị và các giá trị tại 2 đầu mút của nó. 32 f '(x) 4x 12bx 4x(x 3b)= = . a) 2 b 0:x 3b 0 f' (x) = 0 tại oo x0(2x1):=< < [2;1] max f(x) max[f( 2);f(1)] = (vì tại x = 0, f(x) đạt giá trị cực tiểu) 2 max[(16 24b b )=+ ; 22 (1 6b b )] b 24b 16 +=+. b) b > 0 f'(x) = 0 tại x = 0, x3b= , x3b= . Bằng cách xét tơng tự nh bảng xét dấu ở phần 1) ta có : tại x3b= , y = f(x) đạt giá trị cực tiểu ; tại x = 0, y = f(x) đạt giá trị cực đại. Vậy [2;1] max f(x) max[f( 2); f(0);f(1)] = 22 2 max[16 24b b ; b ;1 6b b ]=++. 2 b 24b 16+ với 2 0b 3 < 2 b với 2 b 3 > Kết luận : 2 b 24b 16+ với 2 b 3 2 b với 2 b 3 > = = [2;1] max f(x) Câu IVa. 1)Đaphỷơng trình của (E m ) về dạng (x - m) m + y m =1, 2 2 2 ta thấy elip có tâm I (m , 0). Vì 0 < m < 1, nên m >m,vậy trục lớn của (E m ) song song với Oy, và các đỉnh trên trục lớn (Hình ve) là A = A(m , m ), A = A(m , - m ). 2) Các tọa độ của A và A thỏa mãn hệ thức y 2 =x. Vì x=m,nên 0 < x < 1;vậy tập hợp các điểm A và A là hai cung trên parabol y 2 =x,gồm các điểm có hoành độ x ẻ (0 ; 1). 3) Các tiêu điểm phải nằm trên trục lớn của elip, vậy có tọa độ x=m, y= m-m 2 . Các tọa độ này thỏa mãn hệ thức y 2 =x-x 2 hay xy- ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ += 1 2 1 4 2 2 . Do 0 < x < 1, nên tập hợp các tiêu điểm là đỷờng tròn tâm w ( 1 2 , 0), bán kính R= 1 2 , bỏ đi hai điểm (0 , 0) và (1,0)(hai điểm này có hoành độ x=0,x=1nên bị loại). Câu IVb. Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (MBC) và SD. 1) Thiết diện MBCN là hình thang vuông tại B và M (bạn đọc tự chứng minh). Ta có : MN=AD. SM SA b x a =- ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ 1 2 , do vậy hình thang vuông MBCN có diện tích S=MB. 1 2 (MN + BC) = b 4a (4a-x) a+x 22 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ 2) Do S > 0 nên S lớn nhất khi S 2 lớn nhất. Ta có S 2 = b 16a 2 2 (x 2 +a 2 )(x-4a) 2 , nên bài toán quy về việc xác định x ẻ [0 ; 2a] sao cho hàm f(x) = (x 2 +a 2 )(x - 4a) 2 đạt giá trị lớn nhất. Để ý rằng f(x) = 2(x - 4a)(2x 2 -4ax+a 2 ), nên ta lập đỷợc bảng biến thiên của hàm f(x) trên đoạn [0 ; 2a] x 0 (1- 2 2 )a (1+ 2 2 )a 2a f - 0 + 0 - f 16a 4 (71+ 8 2)a 4 4 Thành thử f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [0 ; 2a] khi x = 1 2 2 + ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ a . 3) Gọi V là thể tích hình chóp S.ABCD. Ta cần xác định x để V S.BMNC = 1 2 V. Ta có V S.BMNC =V SMBC +V SMNC ,V SMBC =V SABC . SM SA = 1 2 V. SM SA , V SMNC =V SADC . SM SA SN SD V SM SA . = ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ 1 2 2 Đặt t= SM SA = 2a - x 2a ,tađỷợc t 2 +t-1=0ị t= -1 + 5 2 (vì t > 0). Vậy () 2 2 15 2 35 ax a xa - = -+ ị= - . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, cho họ elip (E m )cóphỷơng trình y 2 =2x- x m 2 , với m là tham số và 0 < m < 1. 1) Bằng một phép tịnh tiến trục tung, hãyđaphỷơng trình trên về dạng chính tắc. Từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh A, A trên trục lớn của (E m ) trong hệ tọa độ xuất phát. 2) Tìm tập hợp các đỉnh A, A khi m thay đổi. 3) Tìm các tọa độ của các tiêu điểm của (E m ) và xác định tập hợp các tiêu điểm đó. Câu IVb. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b. Cạnh AS = 2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm trên cạnh AS, với AM=x(0Ê x Ê 2a). 1) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện ấy. 2) Xác định x để thiết diện trên có diện tích lớn nhất. 3) Xác định x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp ra hai phần với thể tích bằng nhau. . < p-a + p-b + p-c 3p . Câu III. Cho hàm số y=x 4 - 6bx 2 +b 2 . 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số ứng vớib=1. 2) Với b là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 . = ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ 1 2 2 Đặt t= SM SA = 2a - x 2a ,tađỷợc t 2 +t-1=0ị t= -1 + 5 2 (vì t > 0). Vậy () 2 2 15 2 35 ax a xa - = -+ ị= - . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn. có S 2 = b 16a 2 2 (x 2 +a 2 )(x-4a) 2 , nên bài toán quy về việc xác định x ẻ [0 ; 2a] sao cho hàm f(x) = (x 2 +a 2 )(x - 4a) 2 đạt giá trị lớn nhất. Để ý rằng f(x) = 2(x - 4a)(2x 2 -4 ax+a 2 ), nên ta lập đỷợc bảng biến thi n