Cho hàm số y = x 4 + 8ax 3 + 3(1 + 2a)x 2 -4. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0. 2) Xác định a để hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại. Câu II. 1) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15. Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông. 2) Giải phỷơng trình sin 2 x+ 1 4 sin 2 3x = sinxsin 2 3x. Câu III. 1) Chứng minh rằng nếu n là một số tự nhiên chẵn, và a là một số lớn hơn 3, thì phỷơng trình (n + 1)x n+2 - 3(n + 2)x n+1 +a n+2 =0 không có nghiệm. 2) Giải và biện luận theo a hệ bất phỷơng trình ()() () xx xaxaa 2 22 120 31 2 0 ++ + www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Câu I. 1) Đề nghị bạn hãy tự giải nhé! 2) Ta có : y=4x 3 + 24ax 2 + 6(1 + 2a)x = 2x[2x 2 + 12ax + 3(1 + 2a)]. y luôn có nghiệm x o =0với mọi a. Để hàm chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại thì: a) hoặc tam thức f(x) = 2x 2 + 12ax + 3(1 + 2a) không có nghiệm; b) hoặc f(x) có nghiệm kép x 1 =x 2 ạ 0; c) hoặc f(x) có nghiệm x o =0.(Đề nghị giải thích !) D = 6(6a 2 -2a-1) Trỷờng hợp 1 D < 0 1- 7 6 <a< 1+ 7 6 . Trỷờng hợp 2 D' () () = ạ ỡ ớ ù ù ợ ù ù =+ +ạ ỡ ớ ù ù ù ợ ù ù ù 0 00 17 6 31 2 0 f a a a= 17 6 . Trỷờng hợp 3 f(0) = 0 3(1+2a)=0 a=- 1 2 . Vậy ta đỷợc 1- 7 6 a 1+ 7 6 ÊÊ hoặc a= -1 2 . Câu II. 1) Ta có 3cosB + 4sinB Ê 3+4 22 =5, dấu = chỉ xảy ra khi cosB= 3 5 ,sinB= 4 5 . (1) Tỷơng tự 6sinC + 8cosC = 2(3sinC + 4cosC) Ê 10, dấu = chỉ xảy ra khi sinC = 3 5 ,cosC= 4 5 .(2) Thành thử đẳng thức 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 khi ta có đồng thời (1) và (2), mà B và C là hai góc của một tam giác, vậy B= p 2 -C và A= p 2 . 2) Viết lại phỷơng trình: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ sin 2 x+ 1 4 sin 2 3x - sinxsin 2 3x=0 (sinx - 1 2 sin 2 3x) 2 + 1 4 sin 2 3x(1 - sin 2 3x)=0. Thay 1 - sin 2 3x = cos 2 3x vào ta đỷợc : (sinx - 1 2 sin 2 3x) 2 + 1 16 sin 2 6x=0 sin sin ( ) sin ( ) xx x = = ỡ ớ ù ù ù ợ ù ù ù 1 2 31 602 2 Giải (2) ta đỷợc x=k p 6 . Cần chọn k nguyên sao cho : sin k 6 = 1 2 sin 3k 6 2 pp sin k 6 = 1 2 sin k 6 2 pp = = =+ ỡ ớ ù ù ù ợ ù ù ù 02 1 2 21 nếu k m nếu k m Nếuk=2mthì : Sin sin sin 2 6 0 3 3 mm mn pp = = . vậy k=6n(nnguyên). Nếu k=2m+1thì :sin(2m + 1) p 6 = 1 2 . Khi đó :(2m + 1) pp p 6 = 6 +2n hoặc (2m+1) pp p 6 = 5 6 +2n . Từ đó sẽ đỷợc k=1+12nhoặck=5+12n. Kết luận : Phỷơng trình ban đầu có ba họ nghiệm là x 1 =np,x 2 = p 6 +2np,x 3 = 5 6 p +2np (n nguyên). Câu III. 1) Đặt f(x) = (n + 1)x n+2 - 3(n + 2)x n+1 +a n+2 ta có f(x) = (n + 1)(n + 2)x n+1 - 3(n + 1)(n + 2)x n =(n+1)(n+2)x n (x - 3). Vì n là số tự nhiên chẵn nên f(x) có dấu của (x - 3), trừ khix=0vàx=3thìf(x) = 0, ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) nhỷ sau : x-Ơ 03+Ơ f(x) - 0 - 0 + f(x) a n+2 m www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ với m=a n+2 -3 n+2 . Nhỷ vậy, nếu a > 3thì m > 0, do đó f(x) luôn dỷơng, chứng tỏ rằng phỷơng trình f(x) = 0 vô nghiệm. 2) Viết lại hệ nhỷ sau : (x 2 -1)(x-2) 0 (1) (x - a)[x - (2a + 1)] Ê 0.(2) a) Giải (1) sẽ đỷợc nghiệm là : -1 Ê x Ê 1hoặc 2 Ê x < +Ơ. b) Giải (2) : Nếu a> 2a + 1(a < -1)thì nghiệm của (2) là :2a+1Ê x Ê a(< -1). Nếu a Ê 2a+1(a -1) thì nghiệm của (2) là a Ê x Ê 2a+1. c) Kết hợp nghiệm : Nếu a < -1 thì dễ thấy hệ vô nghiệm. Nếu a 2thì nghiệm của hệ là a Ê x Ê 2a+1. Nếu 1 < a < 2 thì nghiệm của hệ là 2 Ê x Ê 2a+1(vì khi đó : 3 < 2a+1< 5). Nếu 1 2 Ê a Ê 1 thì nghiệm của hệ là :a Ê x Ê 1 hoặc 2 Ê x Ê 2a + 1 (vì lúc đó :2Ê 2a+1Ê 3). Nếu 0 Ê a < 1 2 thì nghiệm của hệ là :aÊ x Ê 1 (lúc đó : 1 Ê 2a+1< 2). Nếu -1 Ê a < 0 thì nghiệm của hệ là : a Ê x Ê 2a+1(lúc đó - 1 Ê 2a+1< 1). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________ Câu IVa. Trong mặt phẳng, các đờng thẳng =+ = = 1 1 xx mt (d) yy nt , (d') 2 2 xx pt' yy qt' = + = + theo thứ tự có vectơ chỉ phơng u(m;n) G , v(p;q) G . 1) Để (d) và (d') cắt nhau : u G không song song với v G mp np 0. 2) Để (d) // (d') u//v GG mq np = 0. 3) Để (d) trùng với (d') : trớc hết phải có (d) // (d'), tức là mp np = 0. Sau đó phải tồn tại o t sao cho 1o2 1o2 xmt x ynt y. += += Khử o t ra khỏi hệ này, ta đợc : 12 12 m(y y ) n(x x ).= Vậy điều kiện phải tìm là 12 12 mq np 0 m(y y ) n(x x ) = = hoặc cũng vậy 12 12 mq np 0 p(y y ) q(x x ) 0 = = 4) Để (d) (d') uv GG ta cần có mp + nq = 0. Câu IVb. 1) Gọi là góc tạo bởi mặt phẳng (BDM) với đáy. Để xác định , kẻ AK BD. Theo định lí ba đờng vuông góc, MK BD, vậy n AKM= . Vì 22222 11111 AK AB AD a b =+=+ nên 22 ab AK ab = + , 22 AM x a b tg AK ab + = = Tơng tự, nếu là góc tạo bởi mặt phẳng (BDN) với đáy, thì 22 ya b tg ab + = Để các mặt phẳng (BDM) và (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là o 90+= hay 22 22 xy(a b ) 1tgtg ab + == 22 22 ab xy ab = + . 2) Từ giả thiết suy ra MK (BDN), vậy BDMN 1 VV MK.dt(BDN) 3 == . Ta có 22 22 2 2 2 2222 22 22 ab ab x(a b) MK AM AK x ab ab ++ =+=+ = ++ , dt(BDC) dt(BDN) cos = , mà 22 2 22 22 2 2 22222 1 y(a b) ab y(a b) 1tg 1 cos a b a b +++ =+ =+ = vậy dt (BDN) 22 2 2 2 1 ab y(a b) 2 =++ , thành thử : www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________ 2222222222 22 1 [a b x (a b )][a b y (a b )] V 6 ab ++ ++ == + 44 22 2 2 2 2 22 12ab ab(a b)(x y) 6 ab +++ = + do hệ thức ở phần 1). V nhỏ nhất nếu 22 xy+ nhỏ nhất, mà ta có 22 22 22 2a b xy2xy ab + = + , dấu = xảy ra khi 22 ab xy ab == + , khi đó 22 min 22 ab V 3a b = + Câu IVa. Trong mặt phẳng, cho 2 đỷờng thẳng xx mt yy nt =+ =+ 1 1 xx pt yy qt =+ =+ 2 2 ' ' (x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 là 4 số cố định). Tìm điều kiện cần và đủ (viết theo m, n, p, q) để các đỷờng thẳng ấy : 1) cắt nhau ; 2) song song với nhau ; 3) trùng với nhau ; 4) vuông góc với nhau. Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b. Trên các nửa đỷờng thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), lấy các điểm M và N. Đặt AM = x, CN = y. 1) Tính tang các góc nhị diện do các mặt phẳng (BDM), (BDN) tạo với (P). Từ đó suy ra rằng để các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là xy = ab a+b 22 22 . 2) Với giả thiết các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, hãy tính thể tích tứ diện BDMN. Khi nào thì thể tích ấy nhỏ nhất? www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ . biến thi n của hàm số f(x) nhỷ sau : x-Ơ 03+Ơ f(x) - 0 - 0 + f(x) a n+2 m www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ với m=a n+2 -3 n+2 . Nhỷ. : (x 2 -1 )(x-2) 0 (1) (x - a)[x - (2a + 1)] Ê 0.(2) a) Giải (1) sẽ đỷợc nghiệm là : -1 Ê x Ê 1hoặc 2 Ê x < +Ơ. b) Giải (2) : Nếu a> 2a + 1(a < -1 )thì nghiệm của (2) là :2a+1Ê x Ê a(< -1 ). Nếu. Cho hàm số y = x 4 + 8ax 3 + 3(1 + 2a)x 2 -4 . 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0. 2) Xác định a để hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại. Câu II. 1)