ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 - đề 3 pptx

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 - 3 ( Thời gian 180 phút) Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m a). khảo sát hàm số khi m=-1 b) Tìm m để phương trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình   xxmxxx  4512 a) Giải phương trình khi m = 12 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) Tính x xx Lim x 11001.101 20062005 0   Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình log 3 (x 2 +x+1) - log 3 x = 2x-x 2 Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G 1 , G 2 , G 3 , G 4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt AG 1 = m 1 , BG 2 = m 2 , CG 3 = m 3 , DG 4 = m 4 . CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi m 1 +m 2 +m 3 +m 4 = 3 16R HƯỚNG DẪN SƠ LƯỢC TOÁN HSG12 1b) Phương trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0  (x-2m)(x 2 -3x-m)=0       )2(03 2 2 mx mx x Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt  2m                     4 9 4 7 ,0 049 02.3 2 2 m mm m mm m Bài 2:( 5 đ) a)(2 đ) Từ điều kiện 0    4x VP  12)4445(12  VT  44 + 12124   phương trình có nghiệm x=4 b). (3 đ ) Phương trình đã cho  f(x) =     mxxxxx  4512 (2) Xét hàm số f(x) trên [0;4] f(x)=f 1 (x)f 2 (x) với f 1 (x) = 12 xxx có f’ 1 (x) = 122 1 2   xx x x >0  f 1 (x)  trên [0;4] và f 1 (x)  0  x  [0;4] f 2 (x) = xx  45 có f’ 2 (x) = xx xx xx        452 544 42 1 52 1 >0  f 2 (x)  trên [0;4] và f 2 (x)  0  x  [0;4]  f(x) trên [0;4]  Min [o;4] f(x) = f(0) =   4512  và Max [o;4] f(x) =12 Từ đó (2) có nghiệm  Min [o;4] f(x)  m  Max [o;4] f(x)    4512   m  12 là điều kiện để (1) có nghiệm Bài 3:( 5 đ) Trước hết ta chứng minh: a  0, n  N, n  2 thì n a x ax n x Lim    11 0 Đặt y = n ax1 khi đó x  0 thì y  1 và   n a y y a y x ax yy Lim y LimLim n y n y n x           )1 1 1 111 (1 110 (2 đ) Ta có: x xx Lim x 11001.101 20062005 0   = x xxxx Lim x 110011011001.101 2006200620062005 0   = x x x x x LimLim xx 110011101 1001 2006 0 2005 2006 0              = 2006.2005 220560 2006 100 2005 10  (3 đ) Câu 4: Phương trình đã cho          x x Log x x x x 2 2 3 2 1 0           3 2 2 1 0 2 xx x x x x xét hàm số y= x x x 1 2  với x>0, Minf(x) = 3 với x=1 y= g(x)= 3 2 2 xx với x>0, Maxf(x) =3 với x=1  Phương trình đã cho có nghiệm x=1. Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện Ta có:        OGDGCGBGA R ODOCOBOA 22222 Mặt khác: 4R 2 =         GDOGGCOGGBOGGAOG        2222 (1 đ)  4R 2 = 40G 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 +GD 2 (1 đ) mà GA 2 = m 2 1 16 9 , GB 2 = m 2 2 16 9 ,GC 2 = m 2 3 16 9 ,GD 2 = m 2 4 16 9  4R 2 = 40G 2 +   mmmm 2 4 2 3 2 2 2 1 16 9   4R 2    mmmm 2 4 2 3 2 2 2 1 16 9  (1 đ) Theo BĐT “ Bunhiacopxki” ta có   )(4 4321 4321 2 mmmmmmmm    R 2      mmmm mmmm 4321 2 4321 256 9 64 9   ( 1 đ)  3 16 4321 R mmmm  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :       mmmm GO 4321 Tứ diện ABCD đều (1đ) . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 - 3 ( Thời gian 180 phút) Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x 3 -( 3+ 2m)x 2 +5mx +2m a). khảo sát hàm số khi m =-1 b) Tìm m để phương trình x 3 -( 3+ 2m)x 2 . CG 3 = m 3 , DG 4 = m 4 . CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi m 1 +m 2 +m 3 +m 4 = 3 16R HƯỚNG DẪN SƠ LƯỢC TOÁN HSG12 1b) Phương trình x 3 -( 3+ 2m)x 2 +5mx +2m = 0  (x-2m)(x 2 -3 x-m)=0. x xx Lim x 11001.101 20062005 0   Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình log 3 (x 2 +x+1) - log 3 x = 2x-x 2 Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G 1 , G 2 , G 3 , G 4 lần lượt