TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ðÔN Lần II ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG NĂM 2011 Môn thi: TOÁN, khối A, B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao ñề Câu I: (2,0 ñiểm) Cho hàm số 2 4 ( ) 1 x y C x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi M là một ñiểm bất kì trên ñồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M. Câu II: (3,0 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y + + = + + = − 2 . Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tanx 4 x x π − = − . 3. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1x x x x+ + > + − Câu III: (2,0 ñiểm) 1. Tính tích phân: 2 3 1 l n 2 ln e x x I dx x + = ∫ . 2. Cho tập { } 0;1;2;3;4;5A = , từ A có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong ñó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. Câu IV: (2,0 ñiểm) 1. Viết phương trình ñường tròn ñi qua hai ñiểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với ñường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác ñều cạnh ñáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan α và thể tích chóp A’.BCC’B’. Câu V: (1,0 ñiểm) Cho 0, 0, 1x y x y> > + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 x y T x y = + − − ……………………………………………….Hết……………………………………………… …. www.VNMATH.com ð ÁP ÁN ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 2 A, B NĂM 2011 Câu Ý Nội dung ðiểm I 2 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1,00 ñiểm) -Tập xác ñịnh: R\{-1} -Sự biến thiên: ( ) 2 6 ' 0 1 1 y x x = > ∀ ≠ − + . Suy ra hàm số ñồng biến trên các khoảng xác ñịnh của hàm số. 0.25 - ( ) 1 lim 1 x y x ± → − = ∞ → = −m là tiệm cận ñứng - lim 2 2 x y y →±∞ = → = là tiệm cận ngang 0.25 -Bảng biến thiên 0.25 -ðồ thị 0.25 2 Tìm cặp ñiểm ñối xứng….(1,00 ñiểm) Gọi ( ) 2 4 ; 1 1 a M a C a a − ∈ ≠ − + Tiếp tuyến tại M có phương trình: ( ) ( ) 2 6 2 4 1 1 a y x a a a − = − + + + Giao ñiểm với tiệm cận ñứng 1x = − là 2 10 1; 1 a A a − − + Giao ñiểm với tiệm cận ngang 2y = l à ( ) 2 1 ;2B a + Gi ao hai tiệm cận I(-1; 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 -∞ +∞ 22 ++ -1 +∞ -∞ y y' x x y 2 -1 -4 2 1 I www.VNMATH.com ( ) ( ) 12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1 2 2 IAB IA IB a S IA AB dvdt a = = + ⇒ = = = + Suy ra ñpcm II 3 1 Giải hệ …(1,00 ñiểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 2 xy x y x y dk x y x y x y + + = + + > + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 1 2 1 0 2 2 0 xy x y xy x y xy x y xy x y x y ⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 1 1 2 0 1 3 0 4 x y x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y ⇔ + + − − + − = ⇔ + − + + + − = + = ⇔ + + + = 0.5 Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta ñược 2 1 x y − = Giải hệ 2 1 1; 0 2; 3 1 x y x y x y x y + = = = ⇒ = − = − = …… 0.5 2 Giải phương trình….(1,00 ñiểm) ðk: cos 0x ≠ (*) 2 2 2 sinx 2sin 2sin tanx 1 cos 2 2sin 4 2 cos x x x x x π π − = − ⇔ − − = − 0.25 ( ) 2 cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0x x x x x x x x⇔ − − + ⇔ + − + = 0.25 cos 0 sinx cos tanx 1 4 4 2 sin 2 1 2 2 2 4 x x x k x k x x l x l π π π π π π π π ≠ = − → = − ⇔ = − + ⇔ → = + = ⇔ = + ⇔ = + (tm(*))… 0.5 3 Giải bất phương trình (1,00 ñiểm) ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1 (1)x x x x+ + > + − ðk: 0x > www.VNMATH.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 5 5 2 2 3 1 5 5 2 2 5 1 log log 1 log log 1 0 log log 1 .log 1 0 log 1 1 x x x x x x x x x x ⇔ + − + + + < ⇔ + − + + < ⇔ + + < ( ) 2 5 0 log 1 1x x⇔ < + + < *) ( ) 2 5 0 log 1 0x x x< + + ⇔ > *) ( ) 2 2 2 5 12 log 1 1 1 5 1 5 5 x x x x x x x+ + < ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔ ⇔ < Vậy BPT có nghiệm 12 0; 5 x ∈ 0.25 0.25 0.25 0.2 III 2 1 Tính tích phân (1,00 ñiểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 4 2 3 4 4 3 3 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 3 2 ln 1 3 . 3 2 2 4 8 e e e e x x I dx x xd x x d x x x + = = + = + + + = = − ∫ ∫ ∫ 0.5 0.5 2 Lập số … (1,00 ñiểm) -Gọi số cần tìm là ( ) 0abcde a ≠ -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét ñến vị trí a. Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2 5 A cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 2 3 5 4 A A số -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 3 4 4. A số Vậy số các số cần tìm tmycbt là: 2 3 5 4 A A - 3 4 4. A = 384 0.25 0.25 0.25 0.25 IV 2 1 Viết phương trình ñường tròn….(1,00 ñiểm) Gọi ( ) ;I a b là tâm ñường tròn ta có hệ www.VNMATH.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 1 (1) 3 9 ; 2 5 2 10 a b a b IA IB a b IA d I a b − + − = − + − = ⇔ − + = ∆ − + − = ( ) 1 2 3a b⇔ = − thế vào (2) ta có 2 12 20 0 2 10b b b b− + = ⇔ = ∨ = *) với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1; 10 : 1 2 10b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − = *)với ( ) ( ) ( ) 2 2 10 17; 250 : 17 10 250b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − = 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Hình lăng trụ ….(1,00 ñiểm) Gọi O là tâm ñáy suy ra ( ) 'A O ABC⊥ và góc · ' AIA α = *)Tính tan α ' tan A O OI α = với 1 1 3 3 3 3 2 6 a a OI AI= = = 2 2 2 2 2 2 2 3 ' ' 3 3 a b a A O A A AO b − = − = − = 2 2 2 3 tan b a a α − ⇒ = *)Tính '. ' 'A BCC B V ( ) '. ' ' . ' ' ' '. 2 2 2 2 2 1 ' . ' . 3 2 3 1 3 3 . . . 3 2 2 6 3 A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC V V V A O S A O S b a a a b a a dvtt = − = − − − = = 0.25 0.25 0.5 V 1 ðặt 2 2 cos ; sin 0; 2 x a y a a π = = ⇒ ∈ khi ñó ( ) ( ) 2 2 3 3 sin cos 1 sin .cos cos sin cos sin sin cos sina.cos sin .cos a a a a a a a a T a a a a a + − + = + = = ðặt 2 1 sin cos 2 sin sin .cos 4 2 t t a a a a a π − = + = + ⇒ = Với 0 1 2 2 a t π < < ⇒ < ≤ Khi ñó ( ) 3 2 3 1 t t T f t t − − = = − ; ( ) ( ) ( ( ) ( ) 4 2 2 3 ' 0 1; 2 2 2 1 t f t t f t f t − − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ = − Vậy ( ( ) ( ) 1; 2 min 2 2 t f t f ∈ = = khi 1 2 x y= = . Hay min 2T = khi 1 2 x y= = . I B' C' O A C B A' www.VNMATH.com . 2y = l à ( ) 2 1 ;2B a + Gi ao hai tiệm cận I (-1 ; 2) 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 - +∞ 22 ++ -1 +∞ - y y' x x y 2 -1 -4 2 1 I www.VNMATH.com ( ) ( ) 12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1. 0 .25 0 .25 0 .2 III 2 1 Tính tích phân (1,00 ñiểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 4 2 3 4 4 3 3 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 3 2 ln 1 3 . 3 2 2 4 8 e e e e x. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 1 (1) 3 9 ; 2 5 2 10 a b a b IA IB a b IA d I a b − + − = − + − = ⇔ − + = ∆ − + − = ( ) 1 2 3a b⇔ = − thế vào (2) ta có 2 12 20 0 2 10b b b b−