Së GD-§T phó thä ÐỀ THI thư ĐẠI HỌC Trêng T.H.p.t long ch©u sa NĂM häc: 2010-2011 Mơn thi : TON Thời gian làm bài:150 phút(không kể thời gian giao ®Ị) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số : y x 1 (C) 2x 1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox Câu II:(2 điểm) Giải phương trình: sin 2x cos 2x tgx cot x cos x sin x Giải phương trình: 2 log x log x 1 log x Cõu III: (2 im) 1.Tính nguyên hàm: F ( x) sin xdx sin x cos x 2.Giải bất phương trình: x x 2 x 3 Câu IV: (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình cạnh AB, AC theo thứ tự 4x + y + 14 = 0; x 5y Tìm tọa độ đỉnh A, B, C PHẦN RIấNG (3 im) Chú ý:Thí sinh chọn làm phần làm hai không ®ỵc chÊm A Theo chương trình chuẩn Câu Va : Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8C C1 49 n n n Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB B Theo chương trình Nâng cao Câu Vb: Giải phương trình : log x 12 log 2 x 1 2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với ®¸y hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H K hình chiếu vu«ng gãc A lên SB, SD Chứng minh SC (AHK) tính thể tích khèi chóp OAHK Ht (Cán coi thi không giải thích thêm) Hướng dẫn chấm môn toán Câu ý Nội Dung Điểm I Khảo sát hàm số (1 điểm) TXĐ: D = R\ {-1/2} Sùù BiÕn thiªn: y , 0,25 3 2 x x D Nên hàm số nghịch biến ( ; 1 )va ( ; ) 2 + Giíi h¹n ,tiƯm cËn: lim y x 0,25 lim y ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2 x 2 x lim y x lim y ®THS cã tiƯm cËn ngang: y = -1/2 + Bảng biến thiên: x y -1/2 - - -1/2 0,25 y -1/2 Đồ Thị : y 0,25 -1/2 x I -1/2 Giao điểm tiệm cận đứng với trục Ox A ,0 Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng y k x x 1 2x k x () tiếp xúc với (C) / x k có nghiệm 2x x 2x k x 3 k 2 x 12 1 2 0,25 1 (1) 2 (2 ) Thế (2) vào (1) ta có pt hồnh độ tiếp điểm 0,25 1 3 x x 2 2x 2x 1 1 (x 1)(2x 1) 3(x ) x x 2 x Do k 12 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 0,25 1 1 x 12 2 II 0,25 sin x cos 2x tgx cot gx (1) cos x sin x cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x (1) sin x cos x cos x sin x cos2x x sin2 x cos2 x sin x cos x sin x cos x Giải phương trình: cos x cos2x s in2x 0,25 0,25 cos x cos x s in2x cos x x ( cos x 1 :loại sin x 0) k2 0,25 0,25 2 (1) log3 x (1) 2 log x 1 log x log x Phương trình: 2 log3 x log9 x log3 x 1 log x log x 0,25 0,25 đặt: t = log3x 2t t 3t t 1 t (vì t = -2, t = không nghiệm) thành 0,25 t 1 hay t Do đó, (1) log3 x 1 hay x x hay x 81 0,25 III 1 Ta cã F ( x ) sin xdx sin x (1 sin x) sin x cos xdx x sin x sin 0,25 Đăt u = sinx du cos xdx F ( x ) G (u ) Ta cã: ln u O,25 udu u 1 du du u 1 (u 1)2 0,25 c u 1 VËy F ( x) ln sinx c sin x 0,25 §k: x 0,25 x 1 x x Bpt x x x 4 x 3 x 12 x 3 x 6 62 x 3 x IV 62 3 0,25 0,25 0,25 Tọa độ A nghiệm hệ 4x y 14 x 4 A(–4, 2) 2x 5y y2 0,25 Vì G(–2, 0) trọng tâm ABC nên 3x G x A x B x C x B x C 2 (1) 3yG y A y B yC y B y C 2 0,25 Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2) 2x C(xC, yC) AC y C C ( 3) 5 0,25 Thế (2) (3) vào (1) ta có x B x C 2 x B 3 y B 2 2x C x B 14 2 x C y C Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 0,25 V.a 1 0,25 Điều kiện n n C x n k 2k n k n Ta có: x k 0 Hệ số số hạng chứa x8 C 2n n 0,25 Hệ số số hạng chứa x8 C n n 0,25 Ta có: A 8C2 C1 49 n n n (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 n3 – 7n2 + 7n – 49 = (n – 7)(n2 + 7) = n = 0,25 Nên hệ số x C4 23 280 Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R 0,25 Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH BH 0,25 AB 2 0,25 Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB Gọi H' trung điểm A'B' 3 Ta có: IH ' IH IA AH 2 Ta có: MI 1 1 MH MI HI Ta có: 2 ; 2 0,25 5 MH ' MI H ' I 13 2 49 52 13 4 169 172 R MA'2 A' H'2 MH'2 43 4 R1 MA AH MH Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 V.b 0,25 0,25 0,25 1 Giải phương trình: log3 x 1 log 2x 1 x 1 log3 x log3 2x 1 0,25 §k: log3 x log 2x 1 log3 x 2x 1 log3 0,25 0,25 x 2x 1 1 x 1 x 1 hoac 2 2x 3x 2x 3x (vn) 0,25 x2 2 +BC vng góc với (SAB) BC vng góc với AH mà AH vng với SB AH vng góc với (SBC) AH vng góc SC (1) + Tương tự AK vng góc SC (2) (1) (2) SC vng góc với (AHK ) 0,25 0,25 SB2 AB2 SA 3a2 SB = a a 2a 2a SH= SK= 3 (do tam giác SAB SAD vuông A) AH.SB = SA.AB AH= Ta có HK song song với BD nên HK SH 2a HK BD SB 0,25 0,25 kỴ OE// SC OE ( AHK )(doSC ( AHK )) suy OE đường cao hình chóp OAHK vµ OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 0,5 Gọi AM đường cao tam giác cân AHK ta có 0,25 AM AH HM 4a AM= 2a 1a a3 VOAHK OE.SAHK HK.AM (®vtt) 32 27 S K I M H E A D O M C 0,25 Câu II: sin x cos 2x tgx cot gx cos x sin x cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x (1) sin x cos x cos x sin x Giải phương trình: (1) cos2x x sin2 x cos2 x sin x cos x sin x cos x cos x cos2x s in2x cos2 x cos x s in2x cos x x ( cos x 1 :loại sin x 0) k 2 Phương trình: 2 log3 x log9 x (1) 2 log3 x 1 log3 9x log3 x log3 x 1 log3 x log3 x (1) thành (1) log3 x đặt: t = log3x 2t t 3t t 1 t (vì t = -2, t = khơng nghiệm) t 1 hay t Do đó, (1) log3 x 1 hay x x hay x 81 Câu IV: Tọa độ A nghiệm hệ 4x y 14 x 4 A(–4, 2) 2x 5y y2 Vì G(–2, 0) trọng tâm ABC nên 3x G x A x B x C x B x C 2 (1) 3yG y A y B yC y B y C 2 Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2) 2x C(xC, yC) AC y C C ( 3) 5 TH2 : (P) qua I (1;1;1) trung điểm CD Ta có AB (3; 1; 2), AI (0; 1;0) (P) có PVT n (2;0;3) (P) :2(x 1) 3(z 1) 2x 3z Câu VIb 1 AH 2 36 36 S AH.BC 18 BC 4 AH Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = x y 7 1 H: H ; xy3 2 2 B(m;m – 4) 2 BC 7 1 HB2 m m 2 2 11 m 7 m 2 m 2 11 3 5 3 5 11 Vậy B1 ; C1 ; hay B2 ; C2 ; 2 2 2 2 2 2 AB (4; 1; 2); n P (1; 2; 2) Pt mặt phẳng (Q) qua A // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = x – 2y + 2z + = Gọi đường thẳng qua A Gọi H hình chiếu B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, ) BH; d (B, ) đạt qua A H x t Pt tham số BH: y 1 2t z 2t Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trình : x t, y 1 2t, z 2t 10 11 t H ; ; 9 9 x 2y 2z qua A (-3; 0;1) có VTCP a AH 26;11; 2 x y z 1 Pt () : 26 11 2 Câu VII.a Đặt z = x + yi với x, y R z – – i = x – + (y – 1)i z – (2 + i)= 10 z.z 25 (x 2) (y 1) 10 4x 2y 20 2 x y 25 x y 25 xy 10 2x xy hay xy 8x 15 Vậy z = + 4i hay z = Câu VII.b Pt hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng : x m x2 x 2x2 – mx – = (*) (vì x = khơng nghiệm (*)) Vì a.c < nên pt ln có nghiệm phân biệt Do đồ thị đường thẳng ln có giao điểm phân biệt A, B AB = (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 2(xB – xA)2 = 16 m2 (xB – xA)2 = m 24 m = 2 Hết ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Môn thi : TỐN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos5x 2sin 3x cos2x sin x x(x y 1) Giải hệ phương trình (x, y R) (x y) x dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I x e 1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu V (1,0 điểm).Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 300 x2 y2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : mặt phẳng (P): x + 2y – 1 1 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng Câu VII.b (1,0 điểm) x2 x Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y hai điểm x phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung ]BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R y’ = 4x – 4x; y’ = x = x = 1; lim x x y' y + 1 + 0 CĐ + + + y 1 1 CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +) y nghịch biến (-; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = 1 y đạt cực tiểu -1 x = 1 x 1 Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0) Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); ( ;0) Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = -1 x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 x4 – (3m + 2)x2 + 3m + = x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 < 0 3m m 3m m Câu II 1) Phương trình tương đương : cos 5x (sin 5x sin x) sin x cos 5x sin 5x 2sin x cos 5x sin 5x sin x sin 5x sin x 2 3 5x x k2 hay 5x x k2 3 2 6x k2 hay 4x k2 k2 3 x k hay x k (k Z) 18 2) Hệ phương trình tương đương : x(x y 1) x(x y) x ĐK : x ≠ 2 2 x (x y) x (x y) x Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành: tx 3 tx 3 t x t 1 x 1 2 t x (t x) 2tx tx x2 t2 x(x y) x(x y) y 1 y Vậy x2 x 1 x 1 x2 3 3 ex e x ex Câu III : I dx dx x dx 2 ln e x x e 1 e 1 1 2 ln(e3 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1) Câu IV C/ 2 2 AC 9a 4a 5a AC a BC 5a a 4a BC 2a M H hình chiếu I xuống mặt ABC Ta có IH AC IA/ A/ M IH 4a A/ IH I / IC AC AA 3 B 11 4a 4a C VIABC S ABC IH 2a a (đvtt) 32 Tam giác A’BC vuông B Nên SA’BC= a 52a a H A 2 Xét tam giác A’BC IBC, Đáy IC A/ C S IBC S A/ BC a 3 3 3V 4a 2a 2a Vaäy d(A,IBC) IABC S IBC 2a 5 2 2 Câu V S = (4x + 3y)(4y + 3x) + 25xy = 16x y + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2 y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2 y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, x, y x + y = nên t ¼ Khi S = 16t2 – 2t + 12 S’ = 32t – ; S’ = t = 16 25 191 S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : 16 16 25 Max S = x = y = 2 2 2 x x 191 4 Min S = hay 2 2 16 y y 4 PHẦN RIÊNG Câu VI.a 1) Gọi đường cao AH : 6x – y – = đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = A = AH AD A (1;2) M trung điểm AB B (3; -2) BC qua B vng góc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = x + 6y + = D = BC AD D (0 ; ) D trung điểm BC C (- 3; - 1) AC qua A (1; 2) có VTCP AC ( 4; 3) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 3x – 4y + = x t 2) AB qua A có VTCP AB ( 1;1; 2) nên có phương trình : y t (t ) z 2t D AB D (2 – t; + t; 2t) CD (1 t; t ; 2t) Vì C (P) nên : CD //(P) CD n ( P) 5 1(1 t) 1.t 1.2t t Vậy : D ; ; 2 2 Câu VI.b (x – 1) + y = Tâm I (1; 0); R = Ta có IMO = 300, OIM cân I MOI = 300 OM có hệ số góc k = tg300 = x x2 +k= pt OM : y= vào pt (C) x 2x 0 3 x= (loại) hay x Vậy M 3 3 ; 2 Cách khác: Ta giải hình học phẳng OI=1, IOM IMO 300 , đối xứng ta có điểm đáp án đối xứng với Ox H hình chiếu M xuống OX Tam giác OM 1H nửa tam giác OI=1 => OH 3 Vậy M , 2 3 3 OM , HM 3 3 3 3 , M2 , 2 M1 O I H M2 Gọi A = (P) A(-3;1;1) a (1;1; 1) ; n ( P) (1; 2; 3) d qua A có VTCP a d a , n ( P) ( 1;2;1) nên pt d : x y 1 z 1 1 Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) = Do (x 3)2 (y 4) (x – 3)2 + (y + 4)2 = tập hợp biểu diễn số phức z mp Oxy đường tròn tâm I (3; -4) bán kính R = x2 x 1 Câu VII.b pt hoành độ giao điểm : 2x m (1) x x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = không nghiệm (1)) 3x2 + (1 – m)x – = phương trình có a.c < với m nên có nghiệm phân biệt với m Ycbt S = x1 + x2 = b = m – = m = a Hết BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x2 2x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình 1 2sin x cos x 1 2sin x 1 s inx Giải phương trình 3x 5x x R Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I cos x 1 cos x.dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: x y x z 3 x y x z y z y z PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng :x y Viết phương trình đường thẳng AB Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng S : x 2 P : 2x 2y z mặt cầu y z 2x 4y 6z 11 Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = |z1|3 + |z2|3 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C : x y 4x 4y đường thẳng : x my 2m , với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z hai đường thẳng x 1 y z x 1 y z Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho ; 2 : 1 2 khoảng cách từ M đến đường thẳng khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) 1 : Câu VII.b (1,0 điểm) log x y log xy Giải hệ phương trình 2 3x xy y 81 x, y R -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A NĂM 2009 Câu I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định:với x + y’ = 1 2x 3 0, x 3 + Tiệm cận x2 1 nên tiệm cận ngang : y = x 2x 2 Vì lim Vì lim 3 x 2 x2 x2 ; lim nên tiệm cận đứng : x = 3 2x x 2x 2 Bảng biến thiên: 2 Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy 0; cắt Ox (-2; 0) 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Ta có y ' 1 nên phương trình tiếp tuyến x x (với x ) là: (2x 3) y - f( x ) = f’( x )(x - x ) y 2x 8x x (2x 3) (2x 3) Do tiếp tuyến cắt Ox A( 2x 8x ;0) cắt Oy B(0; 2x 8x ) (2x 3) Tam giác OAB cân O OA OB (với OA > 0) x A y B 2x 8x 2x 8x (2x 3) x 1(L) (2x 3)2 2x 1 x 2(TM) Với x 2 ta có tiếp tuyến y = x Câu II 1.Giải phương trình : Giải : 1 2sin x cos x 1 2sin x 1 s inx 5 x k2; x k2 s inx ĐKXĐ: 2 s inx x 2l Phương trình cosx - 2sinxcosx = cosx – sin2x = (1 – sinx + 2sinx – 2sin2 x) 3+ sinx - sin2 x sinx + cosx = sin2x + = sin2x + - (1 – 2sin2x) cos2x 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 2 2 sin x.cos 5 5 cos x.sin sin 2x.cos cos 2x.sin 6 3 5 sin x sin 2x 3 5 x 2x m2 x 5 2x n2 x m2 x m2 3x n2 x n 2 18 Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm pt là: x= 2 n n Z 18 Giải phương trình : 3x 5x Đkxđ: 5x x x R (*) 2u u 3x u 3x 2u 3v v Đặt (v 0) v 5x 5u 3v 5u 3v v 5x 15u 64 32u 4u 24 15u 4u 32u 40 (u 2)(15u 26u 20) u 2 2 15u 26u 20 vô n ' 13 15.20 u 2 x 2 (tm) Vậy phương trình có tập nghiệm S={-2} Câu III.Tính tích phân I cos3 x cos x.dx Ta có: I = cos5 x.dx cos x.dx 0 12 1 Ta có: I2 = cos x.dx (1 cos2x).dx = x sin 2x 20 2 0 Mặt khác xét I1 = cos5 x.dx cos x.cosx.dx 0 1 2sin x = (1 sin x) d(sin x) sin x sin x 5 15 2 Vậy I = I1 – I2 = 15 Câu IV.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: Vì (SBI)và (SCI)vng góc với (ABCD) nên SI (ABCD) Ta có IB a 5; BC a 5; IC a 2; Hạ IH BC tính IH 3a ; Trong tam giác vng SIH có SI = IH tan 600 3a 15 SABCD SAECD SEBC 2a a 3a (E trung điểm AB) 1 3a 15 3a 15 V SABCDSI 3a 3 5 Câu V.Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: 3 x y x z x y x z y z y z Giải: Từ giả thiết ta có: x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y b = x + z Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 ab = 4yz Mặt khác a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2 2(a b ) a b ab = 2 (a b) 2ab a b ab = 2 (y z) 2yz y z 4yz = (y z) 4yz y z 2 4(y z) y z 2(y z) (1) Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) 3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2) Cộng vế (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI a 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng :x y Viết phương trình đường thẳng AB Giải: Gọi N điểm đối xứng với M qua I, F điểm đối xứng vơi E qua I Ta có N DC , F AB, IE NE Tính N = (11; 1) Giả sử E = (x; y), ta có: IE = (x – 6; y – 2); NE = (x – 11; y + 1) IE NE = x2 – 17x + 66 + y2 – y – = (1) E x + y – = (2) Giải hệ (1), (2) tìm x1 = 7; x2 = Tương ứng có y1 = 2; y2 = E1 = (7; 2); E2 = (6; 1) Suy F1 = (5; 6), F2 = (6; 5) Từ ta có phương trình đường thẳng AB x – 4y + 19 = y = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z mặt cầu S : x y2 z 2x 4y 6z 11 Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Giải: Mặt cầu có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) d(I; (P)) 2.1 2.2 4 1 Vì d(I;(P))