Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng Trang 120 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Bài toán Diriclet (DE) Bài toán Neumann (NE) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace phơng trình Laplace 2 2 x u + 2 2 y u = f(x, y) 2 2 x u + 2 2 y u = f(x, y) và điều kiện biên và các điều kiện biên u D = g(x, y) u D = g(x, y), n u D = h(x, y) Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất Bài toán CH1a Cho các miền D = 3, H = D ì 3 + và hàm h C(D, 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng 2 2 t u = a 2 2 2 x u với (x, t) H 0 (7.4.1) và điều kiện ban đầu u(x, 0) = 0, t u (x, 0) = h(x) (7.4.2) Đổi biến = x + at, = x - at Tính các đạo hàm riêng bằng công thức đạo hàm hàm hợp + = uu x u , = uu a t u 2 22 2 2 2 2 uu 2 u x u + + = , + = 2 22 2 2 2 2 2 uu 2 u a t u Thế vào phơng trình (7.4.1), nhận đợc phơng trình 0 u 2 = Tích phân hai lần u(, ) = () + () Trở về biến cũ u(x, t) = (x + at) + (x - at) Thế vào điều kiện ban đầu (7.4.2) u(x, 0) = (x) + (x) = g(x) và t u (x, 0) = a[(x) - (x)] = h(x) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 121 Tích phân phơng trình thứ hai, đa về hệ phơng trình (x) + (x) = 0, (x) - (x) = x 0 d)(h a 1 Giải hệ phơng trình trên tìm (x) và (x) và suy ra nghiệm của bài toán u(x, t) = + atx atx d)(h a2 1 (7.4.3) Định lý Cho hàm h C 1 (D, 3). Bài toán CH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.4.3) Chứng minh Do hàm h C 1 (D, 3) nên hàm u C 2 (H, 3). Kiểm tra trực tiếp (x, t) H, t u = 2 1 a[h(x + at) + h(x - at)] 2 2 t u = 2 1 a[h(x + at) + h(x - at)] = a 2 2 2 x u x D, u(x, 0) = 0, t u (x, 0) = h(x) Nếu u i là nghiệm của bài toán 2 2 t u = a 2 2 2 x u , u(x, 0) = 0, t u (x, 0) = h i thì u = u 1 - u 2 là nghiệm của bài toán 2 2 t u = a 2 2 2 x u , u(x, 0) = 0, t u (x, 0) = h 1 - h 2 = h Với mỗi T > 0 cố định, kí hiệu B = [x - aT, x + aT] và H T = B ì [0, T]. Từ công thức (7.4.3) chúng ta có ớc lợng sau đây (x, t) H T , | u(x, t) | T sup B | h() | Từ đó suy ra h = h 1 - h 2 = 0 u = u 1 - u 2 = 0. || h || = || h 1 - h 2 || < || u || = || u 1 - u 2 || < = T Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H T với mỗi T cố định. Do tính liên tục của nghiệm suy ra bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H. Bài toán CH1b Cho các miền D = 3, H = D ì 3 + và hàm g C(D, 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng 2 2 t u = a 2 2 2 x u với (x, t) H 0 và điều kiện ban đầu u(x, 0) = g(x), t u (x, 0) = 0 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng Trang 122 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Định lý Cho g C 2 (D, 3) và v(x, t) là nghiệm của bài toán CH1a với t v (x, 0) = g(x) Bài toán CH1b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây u(x, t) = t v (x, t) = + atx atx d)(g ta2 1 (7.4.4) Chứng minh Do hàm g C 2 (D, 3) nên hàm v C 3 (H, 3) suy ra hàm u C 2 (H, 3). Kiểm tra trực tiếp (x, t) H, 2 2 t u = t v t 2 2 = a 2 2 2 x v t = a 2 t v x 2 2 x D, u(x, 0) = t v (x, 0) = g(x), t u (x, 0) = a 2 2 2 x v (x, 0) Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a. Đ5. Bài toán Cauchy không thuần nhất Bài toán CH1c Cho các miền D = 3, H = D ì 3 + và hàm f C(H, 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng 2 2 t u = a 2 2 2 x u + f(x, t) với (x, t) H 0 và điều kiện ban đầu u(x, 0) = 0, t u (x, 0) = 0 Đinh lý Cho hàm f C(H, 3) và v(x, , t) là nghiệm của bài toán CH1a trên H ì 3 + với v(x, , 0) = 0 và t v (x, , 0) = f(x, ) Bài toán CH1c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây. u(x, t) = t 0 d)t,,x(v (7.5.1) Chứng minh Do hàm f C(H, 3) nên hàm v C 1 (H ì 3 + , 3) suy ra hàm u C 2 (H, 3) Kiểm tra trực tiếp Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 123 (x, t) H, t u = v(x, t, 0) + t 0 d)t,,x( t v = t 0 d)t,,x( t v 2 2 t u = t v (x, t, 0) + t 0 2 2 d)t,,x( t v = a 2 t 0 2 2 d)t,,x( x v + f(x, t) x D, u(x, 0) = 0, t u (x, 0) = 0 Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a. Bài toán CH1 Cho các miền D = 3, H = D ì 3 + , các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng 2 2 t u = a 2 2 2 x u + f(x, t) với (x, t) H 0 và điều kiện ban đầu u(x, 0) = g(x), t u (x, 0) = h(x) Tìm nghiệm của bài toán CH1 dới dạng u(x, t) = u a (x, t) + u b (x, t) + u c (x, t) với u (x, t) là nghiệm của bài toán CH1. Kết hợp các công thức (7.4.3), (7.4.4) và (7.5.1) suy ra công thức sau đây. u(x, t) = ++ + + + t 0 ax ax atx atx atx atx d)t,(fdd)(hd)(g ta2 1 (7.5.2) Định lý Cho các hàm f C(H, 3), g C 2 (D, 3) và h C 1 (D, 3). Bài toán CH1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.5.2). Ví dụ Giải bài toán 2 2 t u = a 2 2 2 x u + 2xe -t với (x, t) 3 ì 3 + u(x, 0) = cosx, t u (x, 0) = 2x Theo công thức (7.5.2) chúng ta có u(x, t) = ++ + + + t 0 ax ax t atx atx atx atx dde2d2dcos ta2 1 = cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e -t ) Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục các hàm liên tục từng khúc, công thức (7.5.2) vẫn sử dụng đợc trong trờng hợp các hàm f, g và h có đạo hàm liên tục từng khúc. Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng Trang 124 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Đ6. Bài toán giả Cauchy Bài toán SH1a Cho các miền D = 3 + , H = D ì 3 + , các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3). Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng 2 2 t u = a 2 2 2 x u + f(x, t) với (x, t) H 0 điều kiện ban đầu u(x, 0) = g(x), t u (x, 0) = h(x) và điều kiện biên u(0, t) = 0 T tởng chung để giải bài toán SH là tìm cách chuyển về bài toán CH tơng đơng. Gọi f 1 , g 1 và h 1 tơng ứng là kéo dài của các hàm f, g và h lên toàn 3, còn v(x, t) là nghiệm của bài toán Cauchy sau đây. 2 2 t v = a 2 2 2 x v + f(x, t), v(x, 0) = g 1 (x), t v (x, 0) = h 1 (x) với (x, t) 3 ì 3 + Theo công thức (7.5.2) chúng ta có v(x, t) = 2 1 [g 1 (x + at) + g 1 (x - at)] + + atx atx 1 d)(h a2 1 + + t 0 ax ax 1 d)t,(fd a2 1 Thế vào điều kiện biên v(0, t) = 2 1 [g 1 (at) + g 1 (-at)] + at at 1 d)(h a2 1 + t 0 a a 1 d)t,(fd a2 1 = 0 Suy ra các hàm f 1 , g 1 và h 1 phải là các hàm lẻ. Tức là f 1 (x, t) = < 0 x t) f(-x,- 0 x t) f(x, , g 1 (x) = < 0 x )x-(g- 0 x )x(g và h 1 (x) = < 0 x h(-x)- 0 x h(x) Định lý Cho hàm f C(H, 3), hàm g C 2 (D, 3) và hàm h C 1 (D, 3) thoả mn f(0, t) = 0, g(0) = 0 và h(0) = 0 Bài toán SH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, t) = ++ + + + t 0 ax ax 1 atx atx 1 atx atx 1 d)t,(fdd)(hd)(g ta2 1 (7.6.1) với f 1 , g 1 và h 1 tơng ứng là kéo dài lẻ của các hàm f, g và h lên toàn 3. Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Phơng Trình Truyền Sóng Trang 120 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Bài toán Diriclet (DE) Bài toán Neumann (NE) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace phơng trình. Phơng Trình Truyền Sóng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 121 Tích phân phơng trình thứ hai, đa về hệ phơng trình (x) + (x) = 0, (x) - (x) = x 0 d)(h a 1 Giải hệ phơng trình trên tìm (x). 0) = h(x) Tìm nghiệm của bài toán CH1 dới dạng u(x, t) = u a (x, t) + u b (x, t) + u c (x, t) với u (x, t) là nghiệm của bài toán CH1. Kết hợp các công thức (7 .4. 3), (7 .4. 4) và (7.5.1)