trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008 47 các phơng pháp số để giải phơng trình lan truyền xung Đinh Xuân Khoa (a) , Nguyễn Việt Hng (b) , Bùi Đình Thuận (a) , Hoàng Thị Hồng Thanh (c) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi trình bày những cơ sở của phơng pháp số để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung. Bằng cách sử dụng phơng pháp số, chúng tôi khảo sát sự tơng tác giữa các soliton. I. Mở đầu Xuất phát từ phơng trình Schrodinger phi tuyến suy rộng [1]: ( ) . 2 2 22 2 3 3 3 2 2 ++ + = U UUUiSUUiN UUiU R (1) trong đó ( ) ,U là hàm bao phức của xung, các tham số đặc trng cho các hiện tợng tán sắc bậc ba, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số tơng ứng là 3 , S và R . Trong trờng hợp tổng quát, việc tìm lời giải giải tích cho phơng trình (1) là rất khó và đến nay vẫn cha thực hiện đợc. Chỉ với một vài trờng hợp riêng ngời ta mới tìm đợc các nghiệm soliton của nó mà thôi. Mặt khác, cần lu ý rằng phơng trình (1) chỉ là một trong số rất nhiều các dạng gần đúng của phơng trình lan truyền xung [1,2]. Khi tính đến các số hạng tán sắc và phi tuyến bậc cao hơn, phơng trình lan truyền xung sẽ trở nên rất phức tạp và việc tìm các phơng pháp giải tích chung cho các phơng trình này là không thể thực hiện đợc. Do những khó khăn đó, ngời ta đã áp dụng nhiều phơng pháp khác nhau để tìm các lời giải gần đúng của phơng trình lan truyền xung. Phơng pháp số đã đợc sử dụng rất hiệu quả cho mục đích này. Nhiều tác giả đã đa ra các thuật toán khác nhau [4, 5, 6] nhng về nguyên tắc chung có thể phân ra hai loại, đó là các phơng pháp sai phân hữu hạn và các phơng pháp giả phổ [7]. Phơng pháp giả phổ dựa vào phép biến đổi Fourier để tính gần đúng các đạo hàm riêng, do đó đã chuyển bài toán giải phơng trình đạo hàm riêng về bài toán giải phơng trình vi phân thờng. Trong bài này chúng tôi nghiên cứu hai thuật toán quan trọng để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung theo phơng pháp giả phổ, đó là thuật toán split - step và Runge - Kutta bậc bốn. Các phần còn lại của bài đợc bố cục nh sau: Phần II trình bày nguyên tắc của việc rời rạc hoá bài toán lan truyền xung theo các thuật toán trên, Phần III thực hiện một số tính toán để kiểm chứng độ chính xác của các phơng pháp đối với vài trờng hợp đặc biệt, Phần IV là các kết luận. Nhận bài ngày 02/5/2008. Sửa chữa xong 12/6/2008. Đ. X. Khoa, N. V. Hng, B. Đ. Thuận, H. T. H. Thanh lan truyền xung, Tr. 47-53 48 II. Các phơng pháp số 1. Thuật toán split - step bậc hai Đầu tiên, chúng tôi trình bày thuật toán split - step để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung. Phơng trình (1) có thể biểu diễn ở dạng: ( ) ( ) , UUNL U += (2) trong đó L và N tơng ứng là các toán tử tuyến tính và phi tuyến tác dụng lên hàm bao: ( ) ( ) . 1 2 2 22 2 3 3 3 2 2 += + = U UUU U iSUiNUN i L R (3) Lấy tích phân phơng trình (2) theo biến trong khoảng + , ta đợc [9]: ( ) ( ) ( ) ,exp, UBAU +=+ (4) với: ( )( ) ( )( ) + ++ = === , ',' ' ' UNdUNB LdLdLA (5) Khi khoảng chia của quãng đờng lan truyền là đủ nhỏ, sử dụng công thức Baker - Campbell - Hausdorff cho toán tử hàm mũ trong (4) chúng ta có thể biểu diễn dạng gần đúng của nó nh sau [2, 3, 6]: ( ) ( ) . 2 expexp 2 expexp + A B A BA (6) Trong phép gần đúng này, chúng ta đã xem rằng các toán tử A và B là giao hoán khi nhỏ. Sai số của công thức (6) vào bậc () 2 . Thay các biểu thức trên vào (4) ta có biểu thức mô tả thuật toán split - step bậc hai cho bài toán (2) nh sau: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ., 2 exp, exp 2 exp, ULUNLU + (7) Biểu thức này cho phép xác định giá trị gần đúng của hàm bao tại vị trí + khi đã biết hàm bao tại vị trí . 2. Biến đổi Fourier rời rạc trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008 49 Để tính đợc giá trị hàm bao theo (7) chúng ta cần biết cách tính tác dụng của các toán tử tuyến tính và phi tuyến lên hàm bao. Chúng ta sẽ giới hạn biến thời gian trong khoảng hữu hạn [a, b] đủ lớn để các biên không ảnh hởng đến kết quả tính toán. Giả thiết rằng hàm bao ( ) ,U thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn ( ) ( ) bUaU ,, = với [ ] 0 ,0 . Để tiện lợi, chúng ta đổi biến số để chuẩn hoá khoảng [a, b] về khoảng [0, 2] và chia khoảng này thành N điểm với khoảng cách giữa các điểm bằng nhau và bằng = 2/N. Kí hiệu các biến thời gian là: N j j 2 = , j = 0, 1, 2, , N. Ta có biến đổi Fourier rời rạc của dãy ( ) j U , là: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1 22 ,exp, 1 ,, 1 0 == = NN iU N UFU k N j jkjjk (8) Biến đổi Fourier ngợc đợc xác định nh sau: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ., ,2,1,0,exp,,, 12/ 2/ 1 NjiUUFU N Nk jkkkjj === = (9) ở đây F là ký hiệu biến đổi Fourier và F -1 là biến đổi ngợc của nó. Các tính toán trong (8) và (9) đợc thực hiện rất hiệu quả nhờ sử dụng thuật toán tính nhanh FFT [8]. Các đạo hàm riêng theo thời gian của hàm bao trong cả toán tử tuyến tính và phi tuyến (3) đều có thể tính đợc dễ dàng bằng cách nhân vào phía trớc các hệ số Fourier ( ) k U , các luỹ thừa của lợng ( k i ) tơng ứng với cấp của đạo hàm và sau đó áp dụng biến đổi Fourier ngợc. Chẳng hạn, đạo hàm cấp hai của hàm bao ở ( ) j , đợc tính theo công thức: ( ) [ ] [ ] ., 21 jkkj UFF 3. Thuật toán Runge - Kutta bậc bốn Phơng trình (1) cũng có thể đợc tính gần đúng nhờ thuật toán Runge Kutta. ở đây, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge Kutta bậc bốn, là thuật toán thờng dùng để giải các phơng trình vi phân [4,5,8]. Sau khi sử dụng phép biến đổi Fourier để tính các đạo hàm riêng theo thời gian nh phần trên thì phơng trình (1) trở thành: [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ][ ] ++ + += 2 1 2 2 3 32 1 2 UFiUFFUUFiiSiN UFi i iUF d d R (10) Đặt: [ ] , 2 3 3 2 UFi i exxpV = (11) chúng ta có thể viết lại (1) nh sau: Đ. X. Khoa, N. V. Hng, B. Đ. Thuận, H. T. H. Thanh lan truyền xung, Tr. 47-53 50 ( ) ,,Uf d dV = , (12) trong đó: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ++ = 2 1 2 3 3 2 2 1 2 exp, UFiUFFUUFSi i iNUf R (13) Sử dụng thuật toán Runge - Kutta bậc bốn cho phơng trình (12), giá trị của hàm V tại vị trí ( + ) đợc tính nh sau [8]: ( ) ( ) ( ) [ ] ,2 6 1 4321 KKKKVV ++++=+ (14) ở đây các hệ số K i đợc xác định theo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .,,. , 2 1 ,, 2 . , 2 1 ,, 2 . ,,,. 34 23 12 1 KUfK KUfK KUfK UfK ++= + += + += = (15) Từ (14) và (11) chúng ta tính đợc giá trị hàm bao tại vị trí + : ( ) ( ) ( ) . 2 exp 3 3 2 1 + ++=+ i i VFU (16) Sai số khi tính theo (16) sẽ có bậc vào cỡ ( ) 5 . So với cách tính theo (7) thì (16) có độ chính xác cao hơn, tuy nhiên thời gian tính sẽ dài hơn vì số lợng các phép tính theo (13) và (15) là rất lớn. III. Các kết quả tính toán bằng số 1. Các soliton quang học Để khẳng định tính chính xác của các tính toán theo các phơng pháp số trình bày ở trên, đầu tiên chúng tôi tiến hành so sánh với một số trờng hợp riêng đã đợc thực hiện theo phơng pháp giải tích. Theo phơng pháp tán xạ ngợc, khi các tham số bậc cao 3 , S và R trong phơng trình (1) bằng không thì với điều kiện các xung vào là hàm dạng secant hyperbolic, phơng trình sẽ có các nghiệm soliton. Các soliton có tính tuần hoàn theo chu kỳ trong quá trình lan truyền. Bậc của soliton đợc xác định qua tham số N trong (1), với các giá trị N càng lớn, tức là soliton bậc càng cao, thì khi lan truyền trong mỗi chu kỳ, hàm bao càng biến đổi phức tạp. Chúng tôi tính toán cho các trờng hợp lan truyền của soliton khi mà N = 1 và 10 với xung vào dạng secant hyperbolic [7]: ( ) ( ) .sec,0 hU = . (17) trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008 51 Kết quả đợc trình bày trên hình 1. Hình 1. Biến đổi của cờng độ trong quá trình lan truyền của soliton cơ bản (a) và soliton bậc 10 (b) trong một chu kỳ 2 = . ở hình 1(a), hàm bao của xung không thay đổi dạng trong quá trình lan truyền, nó vẫn giữ dạng (17) của xung vào ban đầu. Trong hình 1(b), tuy hàm bao có những biến đổi phức tạp khi lan truyền nhng đến cuối chu kỳ thì nó lại trở về dạng ban đầu và quá trình lại lặp lại trong các chu kỳ tiếp theo. Các kết quả này phù hợp rất tốt với kết quả giải tích về tính chất biến đổi tuần hoàn theo chu kỳ của hàm bao. Với các soliton bậc cao thì biểu thức giải tích của chúng vô cùng phức tạp nên chỉ soliton bậc hai và ba thì mới viết đợc ở dạng tờng minh [10] còn nh soliton bậc 10 ở trên thì thờng chỉ có thể đợc biểu diễn bằng các kết quả tính toán bằng số mà thôi. 2. Va chạm giữa các soliton Tiếp theo, chúng tôi xét trờng hợp lan truyền của nhiều soliton. Hệ các soliton đi vào môi trờng có thể biểu diễn nh sau: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) irhrhU expsecsec,0 21 ++= , (18) với r là liên hệ về biên độ còn là liên hệ về pha của chúng [4, 7]. Các kết quả giải tích [10] đã chỉ ra rằng do các hiện tợng phi tuyến nên trong quá trình lan truyền các soliton sẽ có tơng tác với nhau. Các tính toán sau đây của chúng tôi tiến hành cho quá trình va chạm của các soliton cơ bản và các soliton bậc cao. Các tham số trong (18) đợc chọn là, 0,1 = = r và 21 = . Kết quả tính toán biểu diễn ở hình 2. Hình 2(a) mô tả quá trình va chạm giữa hai soliton cơ bản. Trong khi lan truyền, mới đầu hai soliton này hút nhau và tiến lại gần trong khi cờng độ tăng dần lên, ở vị trí hai soliton gần nhau nhất, cờng độ gấp 4 lần giá trị ban đầu, sau đó chúng lại đẩy nhau ra xa và cờng độ giảm dần về các giá trị ban đầu. Quá trình hút và đẩy giữa các soliton do ảnh hởng của các hiện tợng tán sắc và phi tuyến đợc lặp đi lặp lại theo chu kỳ, sau mỗi lần va chạm nh vậy dạng của hàm bao xung vẫn không thay đổi. Kết quả tơng tự cũng xẩy ra với các soliton bậc cao. Trong hình 2(b) Đ. X. Khoa, N. V. Hng, B. Đ. Thuận, H. T. H. Thanh lan truyền xung, Tr. 47-53 52 Hình 2. Va chạm của hai soliton cơ bản trên quãng đờng lan truyền =90 (a) và giữa hai soliton bậc 2 trên quãng đờng lan truyền =10 (b). chúng tôi xét va chạm của hai soliton bậc hai. Do khoảng cách giữa hai soliton gần hơn trờng hợp trớc nên quá trình va chạm diễn ra nhanh hơn. Các soliton hút và đẩy nhau vẫn theo chu kỳ nhng biến đổi của hàm bao là khá phức tạp. Chúng tôi cũng tiến hành các tính toán tơng tự cho các soliton bậc cao hơn và nhận thấy rằng biến đổi của hàm bao trong mỗi chu kỳ của va chạm càng phức tạp với các soliton bậc càng cao. Các kết quả thu đợc phù hợp rất tốt với các tính toán trong [9]. IV. Kết luận Trong bài này chúng tôi nghiên cứu các thuật toán split step và Runge Kutta bậc bốn để giải phơng trình lan truyền xung. Qua một số tính toán có tính chất kiểm tra đối với một số trờng hợp riêng, độ chính xác của các phơng pháp này đã đợc khẳng định. Trong bài tiếp theo chúng tôi sẽ áp dụng để tính toán cho quá trình lan truyền của các xung femtô giây. Tài liệu tham khảo [1] Cao Long Vân, Nguyễn Việt Hng, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa, Propagation technique for ultrashort pulses I. Tạp chí khoa học, Trờng Đại học Vinh, 3A, Tập 36, 2007, trang 47-54. [2] Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach, Nhập môn Quang học phi tuyến, Vinh - 2003. [3] Cao Long Vân, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Việt Hng, Phan Xuân Anh, National Conference on Theoretical Physics, Sam son, Vietnam, 12 - 14 August 2003; Journal of Science, Vinh University 1A, 50, 2003. [4] G. M. Muslu, H. A. Erbay, Mathematics and Computers in Simulation, 67, 2005, pp. 581 - 595. tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 53 [5] J. D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker - 2001. [6] T. Hohage, F. Schmidt, On the Numerical Solution of Nonlinear Schrodinger Type Equations in Fiber Optics, Berlin, 2002. [7] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego, 2003. [8] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77 - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 1992. [9] U. Bandelow, A. Demircan and M. Kesting, Simulation of Pulse Propagation in Nonlinear Optical Fibers, WIAS, 2003. [10] A. L. Maimistov, A. M. Basharov, Nonlinear optical waves, Kluwer Academic, 1999. summary Numerical methods to solve the pulse propagation equation In this paper, we presented numerical techniques to solve approximately the pulse propagation equation. By them we also investigate interactions of solitons. (a) Tr−êng §¹i Häc Vinh (b) Nghiªn cøu sinh ViÖn hµn l©m khoa häc Ba Lan (c) Häc viªn cao häc 14- Quang häc, Tr−êng §¹i häc Vinh. . (c) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi trình bày những cơ sở của phơng pháp số để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung. Bằng cách sử dụng phơng pháp số, chúng tôi khảo sát sự tơng. trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008 47 các phơng pháp số để giải phơng trình lan truyền xung Đinh Xuân Khoa (a) , Nguyễn Việt Hng (b) , Bùi. hàm riêng về bài toán giải phơng trình vi phân thờng. Trong bài này chúng tôi nghiên cứu hai thuật toán quan trọng để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung theo phơng pháp giả phổ, đó là