Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối pot

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối • Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. • Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên . F(X) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X được xác định:   ( ) ( : ( ) F X P X x      ; viết tắt F(X)= P(X<x), x thuộc R •Tính chất : 1 2 1 2 1)0 ( ) 1, . 2) ( ) ( ) ( ) 3) ; ( ) ( ) 4) lim ( ) 0; lim ( ) 1 i x x F X x R P x F F F F F X F X x x x x x                         • Định nghĩa 3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu miền giá trị của nó là tập hữu hạn hay vô hạn đếm được . •Bảng phân phối xác suất: X x 1 x 2 … X n P(X) P(x 1 ) P(x 2 ) … P(x n ) a-P(x 1 )+P(x 2 )+ … +P(x n ) =1 Định nghĩa 4 : Hàm phân phối ( hàm tích lũy ) ( ) ( ) x i x F X x P X x i      •Đại lượng ngẫu nhiên liên tục •Định nghĩa 5: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất F(X) . Nếu tồn tại một hàm số f(x) xác định sao cho : thì X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f(x) gọi là hàm mật độ xác suất. ( , )   ( ) ( ) x F X f t d t     Tính chất của hàm mật độ f(x) 1)0 ( ), 2) ( ) 1 3) , ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x x R f x dx a b P a x b f x dx F b F a               1 . ( ) n i x i P x i   Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất: 1) Kỷ vọng toán Định nghĩa 6: • X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì E(X)= • X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: ( ) . ( ) E X x f x dx     Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất: 2) Phương sai Định nghĩa 7: • X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc E(X) là kỳ vọng thì D(X) = E { X- E(X)} 2 = E(X 2 ) –E(X) 2 • X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: 2 ( ) ( ) . ( ) ; ( ) E X a D X f x d x x a          1) Gieo 10 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 10 lần gieo.Tìm phân phối xác suất của X. Tính P(0≤ x≤ 8) Hướng dẫn : Xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,5; gieo 10 lần được xem là 10 phép thử Bernoulli. Bài toán thỏa mãn điều kiện của Bernoulli với n=10; p=0,5 và q=0,5. Áp dụng công thức ta có: P(X)= P(1≤ x )= 1- P( x<1)=1- 0,5 10 P(0≤ x≤ 8)= 1- (p( x=9) + P(x=10))=1-11.0,5 10 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ,5 k k k k k x k x p q C C       2) Bắn liên tục vào một mục tiêu. Bắn đến trúng đích thì dừng. Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng đích. Xác suất trúng đích là 0,2. Tìm phân phối xác suất. Viết hàm phân phối.Tính xác suất P( x≥ 2), P(x < 3). Hướng dẫn: * Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là D=(1,2,…); ta biết xác suất trúng là p= 0,2 trượt 0,8 * Ta gọi X là biến cố bắn đến viên thứ k thì trúng đính: P(k)=q k-1 .0,2= 0,8 k-1 .0,2 ( k=1,2,…). *Hàm phân phối xác suất của X là : F(X) = *P(x>2) =1- ( P(1)=1-0,2= 0,8 ; P( x<3) = P(1) +P(2) =0,2 +0,8.0,2= 0,36 1 0, 2. ; 0,8 k k x x R     X -2 0 2 P(x) 1/6 2/3 1/6 3) Biến ngẫu nhiên X có phân phân phối xác suất ( bảng 3) viết hàm phân phối của X .Tính xác suất P ( -1 ≤ x < 1) Hướng dẫn : Từ định nghĩa của hàm phân phối ta có 0 nếu x < -2 1/6 nếu -2 ≤x <0 5/6 nếu 0 ≤ x ≤ 2 1 nếu x> 2 F(X) = Áp dụng tính chất của hàm phân phối xác suất ta có P ( -1 ≤ x < 1) = F(1) – F(-1) =5/6- 1/6 =2/3 Bàng 3 12) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(X) = 0 nếu x< 1 ax 2 nếu 1 ≤ x≤ 3 0 nếu x>3 Tìm a; xác suất P(- 1 ≤ x≤ 2) Giải Theo tinh chất của hàm mật độ : 1 3 1 3 3 3 2 3 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 3 ( 9 1 / 3 ) 1 3 / 2 6 / f x d x f x d x f x d x f x d x a f x d x d x a a a x x                            24) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ f(X)= -x/4 nếu 0 ≤ x ≤ 2 0 nếu 2 < x hoặc x< -2 x/4 +1/2 nếu -2 ≤ x ≤ 0 Tìm E(X); và D(X) Hướng dẫn : 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 0 4 2 4 2 2 / E X xf x dx xf x dx xf x dx x x x dx x dx xdx x                       Áp dụng công thức tìm được D(X) =2/3 . Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối • Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại. =1 Định nghĩa 4 : Hàm phân phối ( hàm tích lũy ) ( ) ( ) x i x F X x P X x i      Đại lượng ngẫu nhiên liên tục •Định nghĩa 5: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất F(X). thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. • Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên . F(X) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X được xác định:   ( )