Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 15 (a) r=|z|= 1 3 2 , tan 32 13 ⇒ 22 cos sin ) 3 2( 3 z i Không được viết: cos sin ) 3 2( 3 z i : dấu trừ trước côsin! Cũng như cos sin ) 3 2( 3 z i : r<0! (b) 81 0 9r ⇒ cos( i)9 snz i (c) 144 0 12 2 r ⇒ cos sin ) 2 12 2 ( iz 3.3 Dạng mũ của số phức Công thức Euler cos sin i ie . Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ: cos sin( ) i z r ri e Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi : 2 2 2 | | || cos sin|| | 0 cos s| in i r i rz rre Với z≠ 0, 1 1 1 ( ) 1 () i i i re r e ez r ⇒ 1 1 [cos( ) sin( )]z i r 1 1 22 () 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 12 ( )( ) cos( ) sin( )][ i i i z re r e rr e z z rr iz 1 12 2 () 1 1 1 2 2 2 i i i z re r e z r e r 11 1 2 1 2 2 22 [cos( ) sin( )], 0 zr iz zr Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 16 Lưu ý 1 2 1 2 ( )z acgumenz aacgu cgummen z enz 1 12 2 z acgumen acgumenz acgumenz z 1 2 11 21 12 21 22 () 2 , ii z re r e rr zk z z Z k . 4.Lũy thừa và khai căn 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là i z re . () n i n n in re r ez [ (cos sin )] (cos sin ) nn r i r n i n :công thức Moa-vrơ(Moivre) Ví dụ: Tính 5 (3 3 )i Bài giải 9 9 3 2r , 3 tan 3 , chọn 4 5 5 5 55 [3 2(cos sin )(3 3 ] (3 2) (cos sin) ) 4 4 4 4 i ii 22 2( ) 972 972 22 972 ii Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 17 4.2 Căn bậc n của số phức Khi r=1, ta có (cos sin ) cos sin n i n i n . Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho 1 n z . Giả sử nghiệm 0 ( ) 1 1 i i n n in i rz re e r e e Nên 1 02 n r nk ⇒ 1 2 r k n . k∈ ℤ Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt 2 22 cos sin , 0,1,2 , 1 k i n kk i k n nn e . Ví dụ: Giải phương trình (a) 2 1z (b) 3 1z (c) 4 1z Bài giải (a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số 2 2 , 0;1 k i ik k eek 0 0 1e . 1 cos sin 1 i e i (b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số 3 2 , 0;1;2 k i k ke 0 0 1e Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 18 2 1 3 2 2 1 3 cos sin 3 3 2 2 i ie i 4 2 3 4 4 1 3 cos sin 3 3 2 2 i ie i (c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số 4 2 2 , 0;1;2;3 k kk ii eek 0 0 1e 2 1 22 cos sin i ie i 2 2 2 () cos sin 1 i i ee i 3 2 3 3 2 33 cos sin 22 () i i e ie i Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy Các căn bậc n của đơn vị là 2 , 10;1;2; ; n k k i ken 11 0 1 k n n kk , ( 2 n i e ) 1 0 1 n , ( 2 cos2 sin2 1 ni ei ) Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm phương trình n z w . Giả sử R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là Re i w r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là e i zr )( i n i n ni i Re Rere r e Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 19 suy ra 2 , n k r R n , k∈ ℤ . Vậy căn bậc n của Re i w là n số phân biệt: 2 () 22 [cos( ) sin( )] k i nn nn k aR kk e R i n n n n , k=0,1,2… n-1. Ví dụ: Tìm (a) Căn bậc hai của 2i (b) Căn bậc ba của 3 i Bài giải (a) 2 22 i ie . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: () 4 2 ik k ea , k=0,1 4 0 2 2(cos sin ) 1 44 i a e i i 5 () 44 1 55 2 2 2(cos sin ) 1 44 ii a e e i i . (b) () 6 3 2 i ie . Có 3 giá trị căn bậc ba là: 2 () 3 18 3 2 k i k a e , k=0,1,2 18 () 3 0 3 2 2[cos( ) sin( )] 1,24078 18 1 0,21878 8 i eia i 2 11 () 3 3 3 318 18 1 11 11 2 2 2(cos s 18 18 in ) 0,43092 1,18394 ii e e i ia Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 20 18 1 2 2 23 () 3 3 3 3 8 2 23 23 2 2 2(cos si 18 n ) 0,80986 0,965 8 6 1 1 ii e e i ia Lưu ý . Với w≠ 0, các căn bậc n (n≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính , | | n R R w . HẾT Mời đọc: Bài tập số phức . 4 5 5 5 55 [3 2(cos sin )(3 3 ] (3 2) (cos sin) ) 4 4 4 4 i ii 22 2( ) 972 972 22 972 ii Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2 341 @gmail.com Page 17 4. 2. Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2 341 @gmail.com Page 18 2 1 3 2 2 1 3 cos sin 3 3 2 2 i ie i 4 2 3 4 4 1 3 cos sin 3 3 2 2 i ie i (c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số 4 2 2 , 0;1;2;3 k kk ii eek . 2 22 i ie . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: () 4 2 ik k ea , k=0,1 4 0 2 2(cos sin ) 1 44 i a e i i 5 () 44 1 55 2 2 2(cos sin ) 1 44 ii a e e i i . (b) () 6 3 2 i ie . Có 3 giá trị