4.1.2. Kỳ hạn trung bình của khoản vay Giả sử B phải hoàn trả cho A một khoản vay. Kỳ hạn trung bình của khoản vay (t * ) là kỳ hạn mà ở đó, thay vì B trả nhiều lần cho A các khoản tiền s 1 , s 2 ,…, s n lần lượt tại các thời điểm t 1 , t 2 , …, t n , B có thể trả một lần tổng số tiền (s 1 + s 2 + … + s n ) tại thời điểm t * . Lấy t = 0 làm thời điểm tương đương, ta có : (s 1 + s 2 + + s n ).(1 + i) -t* = s 1 .(1 + i) -t1 + s 2 .(1 + i) -t2 + … + s n .(1 + i) - tn Ví dụ: Nam phải trả một khoản nợ bằng cách chia làm nhiều lần: 15.000.000 vào cuối năm thứ 3, 25.000.000 VND vào cuối năm 5 vào 35.000.000 VND vào cuối năm 6. Tính thời hạn trung bình của khoản vay, biết lãi suất là 8%. Giải: Chọn t = 0 làm thời điểm tương đương, ta có phương trình giá trị như sau: (15.000.000 + 25.000.000 + 35.000.000) x (1 + 8%) -t* = 15.000.000(1 + 8%) -3 + 25.000.000(1 + 8%) -5 + 35.000.000(1 + 8%) -6 t* = 5,017 năm. 4.2. Chuỗi tiền tệ đơn giản 4.2.1. Khái niệm Trên thực tế, ta thường gặp trường hợp một khoản vay được trả bằng nhiều khoản tiền bằng nhau sau các khoảng thời gian bằng nhau. Thông thường, các khoản tiền được trả vào cuối mỗi tháng hoặc cuối mỗi năm. Trường hợp này gọi là chuỗi tiền tệ. Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng thời gian bằng nhau. Một chuỗi tiền tệ được hình thành khi đã xác định được: - Số kỳ phát sinh : n - Số tiền phát sinh mỗi kỳ : a i (i = ) - Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ : i - Độ dài của kỳ : khoảng cách thời gian cố định giữa hai kỳ (có thể là năm, tháng, quý,…) Có thể có một số loại chuỗi tiền tệ sau: - Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau. - Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không bằng nhau. - Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh là hữu hạn. - Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh là vô hạn. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu chuỗi tiền tệ đơn giản (còn gọi là chuỗi tiền tệ đều). Đó là trường hợp chuỗi tiền tệ cố định (số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau) và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ trùng với kỳ vốn hoá của lợi tức. Ví dụ, các khoản tiền được trả hàng tháng thì lợi tức cũng được vốn hoá mỗi tháng. Các chuỗi tiền tệ biến đổi và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ không trùng với kỳ vốn hoá của lợi tức sẽ được giới thiệu ở phần sau. 4.2.2. Chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ Xét một chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào cuối mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ. 4.2.2.1.Giá trị hiện tại a. Đồ thị biểu diễn V 0 : Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ Lấy thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có: V o là dạng tổng của một cấp số nhân với n số hạng; số hạng đầu tiên là và công bội là (1+i). V o = . Ví dụ : Một người mua một cái bàn ủi bằng cách trả góp 12 kỳ vào cuối mỗi tháng số tiền 1 triệu VND, lãi suất danh nghĩa i (12) = 9,6%. Vậy người đó đã mua cái bàn ủi với giá bao nhiêu? i = i (12) /12 = 9,6%/12 = 0,8% b. Hệ quả từ công thức tính V 0 của chuỗi tiền tệ đều: - Tính kỳ khoản a: - Tính lãi suất i: Ta có thể sử dụng bảng tài chính hoặc dùng công thức nội suy để tính i. - Tính số kỳ khoản n: Trong trường hợp n không phải là số nguyên, ta cần phải biện luận thêm. Gọi n 1 : số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n. n 2 : số nguyên lớn hơn gần nhất với n. Có 2 cách để quy tròn số n: * Cách 1: Chọn n = n 1 nghĩa là quy tròn n sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất. Lúc đó V 01 < V 0 . Do đó, để đạt hiện giá V 0 , chúng ta phải thêm vào kỳ khoản cuối cùng n 1 một khoản x. * Cách 2: Chọn n = n 2 nghĩa là quy tròn n sang số nguyên lớn hơn gần nhất. Lúc đó V 02 > V 0 . Do đó, để đạt hiện giá V 0 , chúng ta phải giảm bớt kỳ khoản cuối cùng n 1 một khoản x. Ví dụ: 1. Xác định giá trị của kỳ khoản phát sinh của một chuỗi tiền tệ đều có 8 kỳ khoản, lãi suất 2,2%/kỳ. Biết hiện giá của chuỗi tiền tệ đó là 18.156.858 VND. 2. Hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều có 12 kỳ khoản là 30 triệu VND với giá trị của mỗi kỳ khoản là 3 triệu VND. Hãy xác định lãi suất i áp dụng cho mỗi kỳ. 3. Xác định số kỳ khoản n của một chuỗi tiền tệ đều có giá trị của một kỳ khoản là 2 triệu VND, lãi suất áp dụng mỗi kỳ là 4% và hiện giá là 9.000.000 VND. 4. A muốn vay một khoản tiền 100.000.000 VND để mua một chiếc ôtô. A có hai sự lựa chọn như sau: - A phải trả vào cuối mỗi tháng một số tiền bằng nhau trong vòng 3 năm với lãi suất danh nghĩa là i (12) = 9,6%. - A phải trả vào cuối mỗi tháng một số tiền bằng nhau trong vòng 4 năm với lãi suất danh nghĩa là i (12) = 10,8%. Xác định số tiền phải trả mỗi tháng trong mỗi trường hợp. Giải: 1. i = 2,2%/kỳ n = 8 kỳ V 0 = 18.156.858 VND. => 2. a = 3.000.000 n = 12 kỳ V 0 = 30.000.000 V 0 = a. => Ta có thể tính i bằng phương pháp nội suy: Đặt Chọn: . 4.1.2. Kỳ hạn trung bình của khoản vay Giả sử B phải hoàn trả cho A một khoản vay. Kỳ hạn trung bình của khoản vay (t * ) là kỳ hạn mà ở đó, thay vì B trả nhiều lần. mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ. 4.2.2.1 .Giá trị hiện tại a. Đồ thị biểu diễn V 0 : Giá trị. hiện giá của chuỗi tiền tệ đó là 18.156.858 VND. 2. Hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều có 12 kỳ khoản là 30 triệu VND với giá trị của mỗi kỳ khoản là 3 triệu VND. Hãy xác định lãi suất i áp dụng