csin.bsin ]ccos.bcosa[coscsin.bsin Acos 22 222 2 1 −− =− csin.bsin ]ccosbcosccosbcosacosa[cos)ccos)(bcos( Asin 22 22222 2 211 +−−−− = csinbsin ccosbcosccosbcosacosacosccosbcosccosbcos 22 2222222 21 −+−+−− = = csinbsin ccosbcosacosccosbcosacos 22 222 21 +−−− Chia 2 vế cho sin2a csinbsinasin ccosbcosacosccosbcosacos asin Asin 222 222 2 2 21 +−−− = Biến đổi tương tự với các góc còn lại ta có : csinbsinasin ccosbcosacosccosbcosacos bsin Bsin 222 222 2 2 21 +−−− = csinbsinasin ccosbcosacosccosbcosacos csin Csin 222 222 2 2 21 +−−− = Các vế trái đều như nhau, suy ra : csin Csin bsin Bsin asin Asin 2 2 2 2 2 2 == Hay sin a sin b sin c const sin A sin B sinC === (3) Đây là công thức loại I của lượng giác cầu. Phát biểu : Tỷ số giữa sin một cạnh của tam giác cầu và sin góc đối diện nó là hằng số. Nó còn được viết : sin a sin A sinb sinB = (4) sin các cạnh tỷ lệ với sin các góc đối diện. * Giả sử tam giác cầu là tam giác vuông (A=90o) thì : sin A = 1 cos A = 0 Do đó từ (2) ta có: sinacosB = cosbsinc Chia 2 vế cho sinb bsin csin.bcos bsin Bcos.asin = Từ (4) ta có: BsinBsin Asin bsin asin 1 == Thay vào trên : csin bsin bcos Bsin Bcos = Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m cotgB = cotgbsinc Hay tgb sin c tgB = (5) Tỷ số giữa tg một cạnh của tam giác vuông trên tg góc đối diện của nó bằng sin của cạnh còn lại. 2. Ứng dụng. a) Đổi hệ tọa độ: * Đổi từ hệ tọa độ xích đạo 1 sang hệ tọa độ chân trời. Hình 41 Giả sử ta có thiên thể M, thiên đỉnh Z và thiên cực P trên thiên cầu. 3 điểm này làm thành tam giác cầu PZM. Đối chiếu với các công thức tam giác cầu ta ký hiệu như sau: c = PZ = 90 o − ZQ ' = 90 o − ϕ b = PM = 90 o − MM' = 90 o − δ a = ZM = Z A = MPZ = t B = PZM = 180 o − A Trong đó Z, A : là tọa độ M trong hệ tọa độ chân trời. δ, t : là tọa độ M trong hệ tọa độ xích đạo. φ: vĩ độ của người quan sát. Z : khoảng cách đỉnh. A : độ phương Từ công thức (1) ta có : cosa = cosb.cosc + sinbsinccosA Ta thay vô : cosZ = cos(90 o −δ) cos(90 o −ϕ) + sin(90 o −δ)sin(90 o −ϕ)cost Hay cos Z sin sin cos cos cos t=δϕ+ δϕ (6) * Từ công thức (4) ta có : sinasinB = sinbsinA Thay vô : sinZsin(180o-A) = sin(90o-δ)sint sinZsinA = cosδ sint (1*) Theo công thức (2) ta có: sinacosB = cosbsinc − sinbcosccosA Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Thay: sinZcos(180 o −A) = cos(90 o −δ)sin(90 o −ϕ) − sin(90 o −δ)cos(90 o −ϕ)cost Hay − sinZcosA = sinδ cosϕ − cosδ sinϕ cost sinZcosA = − sinδ cosϕ + cosδ sinϕ cost (2*) Chia (1*) : (2*) ta được : cos sin t tgA sin cos cos sin cos t δ = −δϕ+ δϕ (7) Chú ý: Trong công thức này góc giờ t = s - α (Xem bài giờ, chương sau). α : Xích kinh của thiên thể s : Giờ sao tại điểm quan sát. Thường ta chỉ biết giờ Mặt trời trung bình, phải chuyển nó sang giờ sao để tính. -Độ phương A có 2 giá trị khác nhau : A > 180o nếu t > 12h A < 180o nếu t < 12h Công thức (6) và (7) dùng để đổi từ hệ xích đạo sang hệ chân trời. Nếu ngược lại thì ta có: sin δ = sin ϕ cos Z − cos ϕ sin Z cos A AcosZsinsinZcoscos AsinZsin tgt ϕ+ϕ = sinh viên tự chứng minh. b) Tính thời điểm và vị trí lặn (mọc) của các thiên thể: Khi lặn (mọc) thiên thể ở ngay đường chân trời, hay độ cao h=0 hoặc khoảng cách đỉnh Z = 90o Theo công thức (6) ta có : cosZ = sinδ sinϕ + cosδ cos ϕ cost Thay vô: 0 = sin δ sin ϕ + cosδ cosϕ cost Hay cost tg tg=− δ ϕ Trong đó t : góc giờ của thiên thể khi lặn (mọc) Biết t → 15'52''6 6378 57'2'' δ ≠ ≡ tính được giờ sao : s = α ± t Qui ước + là lặn; - là mọc biết được giờ sao s sẽ tính được giờ thường tức thời điểm lặn (mọc) của thiên thể. - Xác định vị trí lặn (mọc): Xét tam giác định vị PZM, áp dụng công thức loại II với cạnh b: cosb = cosacosc + sinasinccosB Thay vô: cos(90 o −δ) = cosZcos(90 o −ϕ) + sinZ.sin(90 o −ϕ)cos(180 o −A) sin δ = cosZsinϕ − sinZcosϕ cosA Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Vì Z = 90 o ⇒ cosZ = 0 sinZ = 1 Thay vô : sin δ = − cos ϕ cosA Hay sin cos A cos δ =− ϕ A lấy giá trị (+) lặn (phía tây) (-) mọc (phía đông) Như vậy thời điểm và vị trí lặn mọc của thiên thể phụ thuộc vào nơi quan sát và xích vĩ của thiên thể. Các công thức trên nếu tính đến khúc xạ của khí quyển Trái đất sẽ có thay đổi chút ít (Xem sách PV Trinh) IV. KHÁI NIỆM THỊ SAI VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ĐẾN CÁC THIÊN THỂ. 1. Khái niệm thị sai. Tọa độ của các thiên thể trên thiên cầu xác định từ những điểm khác nhau trên Trái đất là không giống nhau, và cũng không giống nếu ta nhìn từ tâm Trái đất đặc biệt là đối với các thiên thể trong Mặt trời. Người ta đưa ra khái niệm thị sai để tính sự khác biệt đó. a) Thị sai hàng ngày của thiên thể M: Hình 42 Là góc giữa phương nhìn thiên thể từ một điểm (A) trên Trái đất và phương nhìn từ tâm Trái đất : pAMO= Hay góc từ thiên thể nhìn bán kính Trái đất. Khi thiên thể ở thiên đỉnh thì thị sai hàng ngày của nó bằng không : pz = 0 Khi thiên thể nằm trên đường chân trời thị sai có trị số lớn nhất và gọi là thị sai chân trời : p 0 với p 0 = AM 1 O Trong đó M1: thiên thể M khi ở trên đường chân trời. b) Thị sai hàng năm : Đối với các thiên thể ở ngoài hệ Mặt trời thì thị sai hàng ngày rất nhỏ. Người ta đưa ra khái niệm thị sai hàng năm (π). Thị sai hàng năm của thiên thể S là góc tưởng tượng từ thiên thể đó nhìn bán kính quĩ đạo chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời: góc DST = π (nhưng ta tưởng Mặt trời xoay quanh Trái đất) p o Z A R 0 M M 1 p Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Hình 43 2. Tính khoảng cách đến thiên thể. Từ hình 41, ta xét ∆AMO có : o R sin p sin p sin(180 Z) sin MAO Rsinp sin Z == ∆− = ∆ Xét ∆ vuông AM1O có : o psin R = ∆ từ đó sinp = sinposinZ Vì p và po nhỏ nên có thể viết : p = p o sinZ Trong đó R : bán kính Trái đất ∆ : khoảng cách từ tâm Trái đất đến thiên thể. Như vậy khoảng cách đến thiên thể là :∆ = 0 sin R p Như vậy muốn xác định được những cách đến thiên thể ta phải xác định thị sai chân trời. Xét hai nơi A và B trên Trái đất ở cùng một kinh tuyến λ A = λ B , φ A ≠ φ B ), trong đó φ 1 = XOA , ϕ 2 = XOB , ϕ 1 > ϕ 2 Ta có Z 1 M = Z1: khoảng cách đỉnh của thiên thể M tại A. 2 ZM = Z 2 : khoaûng caùch ñænh của M tại B. AMO = p 1 OMB = p 2 Hình 44 Xét tứ giác OAMB ta có : o BOA OAM AMB MBO 360+++= (ϕ 1 − ϕ 2 ) + (180 o −Z 1 ) + (p 1 +p 2 ) + (180 o −Z 2 ) = 360 o Hay p 1 + p 2 = Z 1 + Z 2 − ϕ 1 + ϕ 2 Mà p1 = posinZ1 p 2 = p o sinZ 2 Vậy po(sinZ1+sinZ2) = Z1+Z2 - φ 1 + φ 2 1212 o 12 ZZ p sin Z sin Z + −ϕ +ϕ = + a S T Ñ π ∆ Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Trái đất và phương nhìn từ tâm Trái đất : pAMO= Hay góc từ thiên thể nhìn bán kính Trái đất. Khi thiên thể ở thiên đỉnh thì thị sai hàng ngày của nó bằng không : pz = 0 Khi thiên thể nằm. đông) Như vậy thời điểm và vị trí lặn mọc của thiên thể phụ thuộc vào nơi quan sát và xích vĩ của thiên thể. Các công thức trên nếu tính đến khúc xạ của khí quyển Trái đất sẽ có thay đổi chút. IV. KHÁI NIỆM THỊ SAI VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ĐẾN CÁC THIÊN THỂ. 1. Khái niệm thị sai. Tọa độ của các thiên thể trên thiên cầu xác định từ những điểm khác nhau trên Trái đất là không giống nhau,