TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 33 XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN TIẾP QUỸ TỐI ƯU CHO CÁC MÁY ATM THEO HƯỚNG QUY HOẠCH NGUYÊN AN INTEGER PROGRAMMING APPROACH TO THE DETERMINATION OF AN OPTIMAL CASH DEPLOYMENT STRATEGY FOR ATMS Phan Đình Anh Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Có nhiều phương án tiếp quỹ khác nhau để lựa chọn trong việc đáp ứng nhu cầu rút tiền của khách hàng tại các máy ATM, việc kiểm soát chi phí đòi hỏi phải xác định một phương án tiếp quỹ tối ưu là phương án khả thi, đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng và có chi phí thấp nhất. Xét về bản chất, đây là nội dung của vấn đề tồn kho g ắn với lộ trình vận chuyển, đã được giải quyết theo hướng quy hoạch nguyên hoặc dựa trên các thuật toán giải bài toán quyết định Markov với số bước hữu hạn. Tuy nhiên, việc xác định phương án tiếp quỹ tối ưu cho các máy ATM dựa trên phương pháp này đòi hỏi phải có sự hỗ trợ của các phần mềm chuyên dụng. Xuất phát từ đặc thù của hệ thống ATM tác giả đề xuất một mô hình có thể tìm phương án tối ưu bằng những tính toán đơn giản. ABSTRACT There are different cash deployment strategies which refer to the scheduling and replenishing of automated teller machines (ATMs). However, it is essential to determine the optimal cash deployment strategy for ATMs to minimize cash-related expenses and ensure that they do not run out of cash. In nature, this is an Inventory Routing Problem which can be solved on the basis of an Integer Programming or infinite horizon Markov decision processes. Nevertheless, these models require a lot of computations. With special features of an ATM network, the author proposes a model to make an optimal cash deployment strategy without any complicated computation. 1. Đặt vấn đề ATM (Automated Teller Machine) là một loại máy điện tử đặt ở các nơi công cộng, được kết nối với một hệ thống dữ liệu và các thiết bị liên quan, được kích hoạt bởi chủ thẻ cho phép khách hàng trực tiếp sử dụng các dịch vụ của ngân hàng phát hành thẻ và các ngân hàng khác. Một trong những tính năng quan trọng của máy ATM là cho phép khách hàng trực tiếp rút tiền tại máy. Để thực hiện chức năng này, các ngân hàng phải có phương án tiếp quỹ để duy trì một lượng tiền mặt nhất định tại mỗi máy ATM. Lấy phương án tiếp quỹ làm trọng tâm, việc kiểm soát chi phí đối với các máy ATM có thể chia thành hai nhóm: Nhóm chi phí liên quan đến phương án tiếp quỹ bao gồm chi phí cho hoạt động tiếp quỹ (chi phí vận chuyển, chi phí đóng gói, chuẩn bị tiền mặt) và chi phí cơ hội của tiền mặt. Nhóm các chi phí không phụ thuộc vào phương án TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 34 tiếp quỹ bao gồm chi phí bảo trì, thay thế, chi phí năng lượng, chi phí thuê địa điểm lắp đặt, khấu hao… Vì vậy, việc giảm thiểu chi phí đòi hỏi phải tìm phương án tiếp quỹ có chi phí thấp nhất, về bản chất, đây chính là nội dung của vấn đề tồn kho gắn với lộ trình vận chuyển đã được giải quyết theo hướng quy hoạch nguyên hoặc dựa vào các thuật toán giải bài toán quyết định Markov với số bước hữa hạn. Tuy nhiên, việc xác định phương án tối ưu từ các mô hình dựa trên phương pháp này có sự phức tạp về mặt tính toán, đòi hỏi phải có sử hỗ trợ của các phần mềm chuyên dụng để lựa chọn phương án tối ưu. Qua nghiên cứa tác giả nhận thấy, với đặc thù của hoạt động tiếp quỹ cho máy ATM, trong trường hợp nhu cầu rút tiền của khách hàng tại mỗi máy ATM có phân phối chuẩn, có thể tìm được phương án tiếp quỹ tối ưu từ những tính toán đơn giản. 2. Xác định phương án tiếp quỹ tối ưu theo hướng quy hoạch nguyên - Hàm tổng chi phí liên quan đến phương án tiếp quỹ cho N máy ATM, trong thời gian T ngày (từ đây gọi là tổng chi phí) bao gồm: + Tổng chi phí cơ hội tiền mặt của N máy ATM trong khoảng thời gian T ngày: ∑∑∑∑ ==== = T t N i ti T t N i tih DrC 11 , _ 11 ,, Trong đó: C h,i,t : Chi phí cơ hội của tiền mặt tại máy ATM thứ i trong ngày t ti D , _ : Số dư bình quân của máy ATM thứ i trong ngày t r : Chi phí cơ hội của một đơn vị tiền mặt trong một ngày + Tổng chi phí cho hoạt động tiếp quỹ N máy ATM trong thời gian T ngày ∑∑∑∑∑∑∑∑ ======== +=+= T t N i tiiv T t N i tiif T t N i tivtif T t N i tis xCwCxCwCC 11 ,, 11 ,, 11 ,, 11 ,, )( Trong đó: tivtiiftis xCwCC ,,,,, += : Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ đến máy ATM thứ i, trong ngày t tiif wC ,, : Chi phí tiếp quỹ cố định cho máy ATM thứ i (không phụ thuộc vào số tiền tiếp quỹ trong ngày t cho máy ATM thứ i), w i,t =0 nếu trong ngày t không thực hiện tiếp quỹ cho máy ATM thứ i và w i,t =1 nếu trong ngày t có tiếp quỹ cho máy ATM thứ i C v,i : Chi phí tiếp quỹ biến đổi cho mỗi máy ATM thứ i, phụ thuộc vào số tiền tiếp quỹ (x i,t ) cho máy ATM thứ i trong ngày t - Phương án tiếp quỹ tối ưu cho N máy ATM là nghiệm của bài toán quy hoạch nguyên như sau: Xác định các biến : titi wx ,, ; TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 35 Hàm mục tiêu : )( 11 ,,, ∑∑ == += T t N i tisith CCcMin Các ràng buộc : (1) Maxiti DD ,, 0 ≤< : Máy ATM luôn sẵn có tiền mặt để đáp ứng nhu cầu rút tiền của khách hàng và số tiền này không lớn hơn khả năng chứa tiền tối đa của mỗi máy ATM (2) titititi DIxD ,,,1, =− + − : Thể hiện cân bằng trong thay đổi số dư tại mỗi máy ATM khi nhu cầu rút tiền trong ngày t tại máy ATM thứ i là I i,t , điều này hàm ý là sự thay đổi số dư tại mỗi máy ATM chỉ do hai nguyên nhân là tiếp quỹ và nhu cầu rút tiền của khách hàng. (3) 0 0, = i D : Máy ATM chỉ có số dư sau hoạt động tiếp quỹ đầu tiên cho máy trong giai đoạn T Như vậy, một phương án tiếp quỹ được xem là tối ưu phải vừa đảm bảo đáp ứng đầy đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại mọi thời điểm ở tất cả các máy ATM. Phương án đó phải khả thi, đồng thời, tổng chi phí của phương án đó là th ấp nhất trong tất cả các phương án khả thi khác. - Bằng quy hoạch nguyên có thể xác định phương án tiếp quỹ tối ưu theo hai hướng: Hướng thứ nhất: Xác định một lộ trình di chuyển tối ưu ứng với một tập hợp những máy ATM xác định để cực tiểu chi phí cho hoạt động tiếp quỹ (Travalling Saleman Problem) xem tổng chi phí này là tham số đã biết, sau đó, giải quyết vấn đề tồn kho thuần túy (Inventory Model) do xuất hiện hai mối quan hệ trái chiều nhau : (i) quan hệ thuận giữa tổng chi phí (thành phần chi phí cơ hội của số tiền tiếp quỹ ) với số tiền tiếp quỹ (ii) quan hệ nghịch giữa tổng chi phí (thành phần chi phí cho hoạt động tiếp quỹ) với số tiền tiếp quỹ. Hướng thứ hai: Trực tiếp sử dụng lộ trình di chuyển qua các máy ATM là một biến của hàm tổng chi phí (Inventory Routing Problems) 3. Mô hình đề xuất Mô hình sử dụng cách tiếp cận theo hướng thứ nhất. Tuy nhiên, ràng buộc về việc đáp ứng nhu cầu rút tiền của khách hàng được giải quyết trước bằng việc chọn và phân loại thành những nhóm phương án tiếp quỹ luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng. Ràng buộc về khả năng chứa tiền của máy ATM sẽ được xem xét sau khi phương án tiếp quỹ tối ưu được l ựa chọn. Nếu số tiền tiếp quỹ cho mỗi máy ATM của phương án tối ưu lớn hơn khả năng chứa tiền của mỗi máy, khi đó, số tiền chứa tối đa của máy ATM sẽ được lựa chọn thay thế, đồng thời, mô hình đưa ra các giả định sau: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 36 (i) Phương tiện tiếp quỹ có thể mang toàn bộ số tiền tiếp quỹ cho tất cả máy ATM trong một lần *(*) . (ii) Chi phí tiếp quỹ không phụ thuộc vào số tiền tiếp quỹ (iii) Nhu cầu rút tiền có phân phối chuẩn 3.1. Các phương án tiếp quỹ đảm bảo luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại máy ATM - Trường hợp tiếp quỹ cho một máy ATM + Nhóm phương án tiếp quỹ thụ động: Khi số dư máy ATM gần bằng không, ngân hàng sẽ thực hiện tiếp quỹ. Do nhu cầu rút tiền của khách hàng là ngẫu nhiên nên khoảng cách giữa hai lần tiếp quỹ liên tiếp (từ đây gọi là chu kỳ tiếp quỹ) cũng sẽ ngẫu nhiên. Vì vậy, phương án tiếp quỹ này đòi hỏi sự theo dõi thường xuyên số dư tài khoản máy ATM cập nhật trong hệ thống và có th ể gây khó khăn cho ngân hàng trong hoạt động quản trị thanh khoản. Sơ đồ 1 thể hiện sự biến động số dư của máy ATM với phương án tiếp quỹ thụ động + Nhóm phương án tiếp quỹ chủ động: Mỗi khi thực hiện tiếp quỹ cần ấn định trước một chu kỳ tiếp quỹ cho lần tiếp quỹ đó, trên cơ sở đó, xác định một số tiền tiếp quỹ tối thiểu sao cho đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng trong chu kỳ tiếp quỹ đã được ấn định. Phương án này không đòi hỏi phải theo dõi số dư của tài khoản máy ATM. Hoạt động tiếp quỹ sẽ được thực hiện ở thời điểm kết thúc chu kỳ đã được ấn định. Vì vậy, phương án này tạo sự chủ động cho ngân hàng trong hoạt động quản trị thanh khoản. Sơ đồ 2 thể hiện sự biến động số dư của máy ATM với phương án tiếp quỹ chủ động - Trường hợp tiếp quỹ cho N máy ATM (N>1) + Nhóm 1: Tiếp quỹ thụ động cho từng máy ATM khi máy ATM đó có số dư gần bằng không. Với phương án này, mỗi lần tiếp quỹ ngân hàng chỉ có thể tiếp quỹ cho * Trong những mô hình quy hoạch nguyên giải quyết vấn đề tồn kho gắn với lộ trình vận chuyển đối với những hàng hóa thông thường, ràng buộc về khả năng chứa hàng hóa tối đa của phương tiện vận chuyển luôn ảnh hưởng quyết định đến phương án tối ưu. Điều này không đúng trong hoạt động tiếp quỹ cho các máy ATM khi mà tiền tiếp quỹ có khối lượng và thể tích không lớn. 0 Sơ đồ 1 Tiếp quỹ Chu kỳ 1 Chu kỳ 2 Tiếp quỹ Số dư máy ATM (D) Thời gian Thời gian Sơ đồ 2 0 Chu kỳ Tiếp quỹ Chu kỳ Tiếp quỹ Số dư máy ATM (D) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 37 một máy ATM duy nhất, do các máy ATM có số dư bằng không ở các thời điểm khác nhau. + Nhóm 2: Tiếp quỹ chủ động cho từng máy ATM, trong đó, mỗi một máy ATM có thời điểm tiếp quỹ khác nhau. Điều này xảy ra khi chu kỳ tiếp quỹ được ấn định cho mỗi máy ATM khác nhau hoặc khi chu kỳ tiếp quỹ được ấn định giống nhau cho mỗi máy ATM nhưng thời điểm tiếp quỹ ban đầu được ấn định khác nhau cho mỗi máy. + Nhóm 3: Tiếp quỹ chủ động với cùng chu kỳ và thời điểm tiếp quỹ cho n máy ATM (1 ≤n≤N). Với phương án này, mỗi lần tiếp quỹ ngân hàng có thể tiếp quỹ đồng thời cho n máy ATM. 3.2. Xác định phương án tiếp quỹ tối ưu Các ký hiệu quy ước: I i : Nhu cầu rút tiền của khách hàng trong một ngày tại máy ATM thứ i (hay tổng số tiền rút khỏi máy ATM thứ i trong một ngày): ),(~ 2 iii NI σµ X(T): Nhu cầu rút tiền của khách hàng trong khoảng thời gian T ngày: )),((~)( 2 X XENTX σ h i : Chi phí tiếp quỹ cho máy ATM thứ i (khi tiếp quỹ riêng lẽ cho từng máy) ϕ i : Chu kỳ tiếp quỹ theo phương án tiếp quỹ chủ động cho máy ATM thứ i η i : Chu kỳ tiếp quỹ theo phương án tiếp quỹ thụ động cho máy ATM thứ i r : Chi phí cơ hội của một đơn vị tiền mặt trong một ngày D i : Số dư của máy ATM thứ i ở thời điểm bắt đầu mỗi chu kỳ (sau khi có hoạt động tiếp quỹ) ℜ(N) : Tập hợp gồm N máy ATM χ ⊂ ℜ(N) : Tập con gồm những máy ATM sẽ luôn được tiếp quỹ cùng chu kỳ và thời điểm. u χ : Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ ứng với lộ trình di chuyển tối ưu từ điểm xuất phát qua tất cả các máy ATM trong χ và trở về điểm xuất phát. λ χ : Chu kỳ tiếp quỹ chung cho các máy ATM trong χ a. Phương án tiếp quỹ tối ưu cho 1 máy ATM - Phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ chủ động Khi chu kỳ tiếp quỹ ϕ được ấn định trước, để đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng trong chu kỳ, số dư nhỏ nhất của máy ATM ở thời điểm bắt đầu chu kỳ thỏa: )1()1()( 1))(( 11 αϕσϕµασ α ϕ −Φ+=−Φ+= − = < −− X XEDhay DXpro Với α>0, )( 1 x − Φ : là hàm số ngược của hàm )(xΦ , với ∫ ∞− −=Φ x dttx )2/exp( 2 1 )( 2 π TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 38 Chi phí cơ hội tiền mặt = Lượng tiền nhàn rỗi bình quân trong T ngày × Chi phí cơ hội tiền mặt trong một ngày × Thời gian nhàn rỗi Lượng tiền nhàn rỗi bình quân = ½ (Số dư vào thời điểm bắt đầu chu kỳ + Số dư bình quân vào thời điểm kết thúc chu kỳ): {} )1( 2 1 ))(( 2 1 1 αϕσϕµ −Φ+=−+= − − XEDDD Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ = Số lần tiếp quỹ trong T ngày × Chi phí cho một lần tiếp quỹ. Tổng chi phí trong khoảng thời gian T ngày (TC chu ) = Chi phí hội tiền mặt + Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ: T h rTC chu ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +∗−Φ+= − ϕ αϕσϕµ ))1( 2 1 ( 1 0))1( 2 1 2 1 (;0 2 * 1 * * =−∗−Φ+>⇒= − ϕ ασ ϕ µϕ h rvàMinTC chu )1( 1*** αϕσµϕ −Φ+= − D - Phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ thụ động Với số tiền tiếp quỹ D, số dư máy ATM ở cuối mỗi chu kỳ η ở mức D-X(η) = 0. Chu kỳ tiếp quỹ bình quân µµ η η DXE E == ))(( )( Tổng chi phí : Th D DrTC thu ) 2 1 ( µ += ; r h DMinTC thu µ 2 * =⇒= . Như vậy, khi tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án tiếp quỹ tối ưu luôn là phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động. Chứng minh: Với một số tiền tiếp quỹ D>0 bất kỳ, nếu áp dụng phương án tiếp quỹ chủ động sẽ có tổng chi phí lớn hơn phương án tiếp quỹ thụ động, tức là: 0>−=∆ thu D chu D TCTCTC thu Min thu D chu Min chu D TCTCTCTCDDkhi XEDvà EEDdo hT E E XEDrTTC ≥>=⇒= >− >>⇒=−Φ+= > − +−=∆ − ** * 1 : 0)(: 0)()()1(: 0 )( )( ))(( 2 1 ϕηµηαϕσϕµ ϕη ϕ η TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 39 b. Phương án tiếp quỹ tối ưu cho hệ thống N máy ATM (N>1) - Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 1 Trong trường hợp này ngân hàng thực hiện tiếp quỹ cho máy ATM thứ i với số tiền tiếp quỹ D i khi máy ATM thứ i có số dư gần bằng không. r h D ii i µ 2 * = ; ∑∑ == == N i ii N i Mini n Min hrTTCTC 11 , 1hom 2 µ - Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 2 ∑∑ = − = − − −Φ+== −Φ+= =−∗−Φ+> N i i i ii N i Mini n Min iiiii i i i i ii rTTCTC D h rvà 1 1 * * 1 ; 2hom 1*** 2 * 1 * * ))1( 2 3 ( )1( 0))1( 2 1 2 1 (;0 α ϕ σ µϕ αϕσµϕ ϕ ασ ϕ µϕ - Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 3 + Gọi A(χ) là một phương án nhóm 3 { } ∅=ℜ=ℜ⊂= IU χχχχχ ),(),(::)( NNA 0))1( 2 1 2 1 (.0 ))1( 2 3 ( ))1( 2 1 ( 2 * 1 * * )( 1 * * ),( )( 1 )( =−−Φ+> ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −Φ+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −Φ++= ∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∈ − ∈ ∈∈ − ∈ ∈∈ − ∈ χ χ χ χ χ χ χχχ χ χ χχ χχχ χ χ χ χ χ χ λ σα λ µλ σα λ µλ σαλµλ λ u rvà rTTC r u TTC i i i i Ai i i iMinA Ai i i iA + Chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 3: MinA nhóm Min MinTCTC ),( 3 χ = Như vậy, phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ thụ động không luôn là phương án tối ưu khi tiếp quỹ cho nhiều máy ATM. 4. Kết luận Để luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại các máy ATM, ngân hàng có thể tổ chức hoạt động tiếp quỹ theo nhiều phương án khác nhau. Để giảm đến mức thấp nhất chi phí, trong trường hợp tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động luôn là phương án tiếp quỹ tối ưu. Tuy nhiên, trong trường hợp tiếp quỹ cho nhiều máy ATM, phương án có chi phí thấp nh ất của nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động không luôn là phương án tiếp quỹ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 40 tối ưu. Việc xác định phương án tối ưu để thực hiện trong trường hợp này còn phụ thuộc vào số lượng máy ATM và mối quan hệ giữa chi phí tiếp quỹ đồng thời cho các máy ATM và tổng chi phí khi thực hiên tiếp quỹ riêng rẽ cho từng máy ATM. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Liêm, Giáo trình Quản trị sản xuất, Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng. [2] Michael wanger (2007) The optimal cash deployement strategy – Modelling a network of automatics teller machines, thesis for the degree of master of science in Accounting. [3] Ann campbell, Llyoyd clarke, Anton Kleywegt, Martin Savelsbergh (1997): Inventory routing Problems. [4] Anchalee prutsakul, B.E (1998) Integrated inventory problem and vehicle routing problem in one warehouse and multi-retailer distribution system, thesis the for the degree of master of science in industrial engineering. [5] Siqian Shen (2009) EOQ Model with Uncertain Demand and Nonzero Leadtime , Dept. of Industrial and Systems Engineering University of Florida. [6] Wang, S.P. (2002): An inventory replenishment policy for deteriorating items with shortages and partial backlogging. Computers and Operational Research. [7] Teng, J.T. and Yang, H.L. (2004): Deterministic economic order quantity models with partial backlogging when demand and cost are fluctuating with time. Journal of the Operational Research Society. PHỤ LỤC (chỉ bổ sung cho mục đích phản biện, không thuộc nội dung bài báo) Chứng minh phương án tiếp quỹ tối ưu không luôn nằm trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động khi tiếp quỹ cho nhiều máy ATM. Xét tình huống nhu cầu rút tiền tại các máy ATM giống nhau, chi phí tiếp quỹ riêng lẽ cho mỗi máy ATM bằng nhau ( σ σ µ µ = = = iii hh ;;) So sánh chi phí giữa hai phương án : (1) tiếp quỹ cùng chu kỳ và thời điểm cho n máy ATM với tổng chi phí tiếp quỹ u mỗi lần và (2) phương án tối ưu trong nhóm phương án tiếp quỹ thụ động Chọn x là chu kỳ tiếp quỹ áp dụng cho n máy ATM TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 41 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+−Φ+=− − µασµ rh x nu xrxrnTTCTC n Min n x 2 / ))1( 2 1 ( 11hom3hom Chọn r h x µ 2 = , khi đó, nếu : )))1( 2 2 2 1 ( 2 / 1 α µ σµ µ −Φ−< − r h rrh r h nu 1hom3hom n Min n x TCTC <⇒ ; mặt khác do 3hom3hom n x n Min TCTC ≤ 1hom3hom3hom n Min n x n Min TCTCTC <≤⇒ . phí tiếp quỹ cho máy ATM thứ i (khi tiếp quỹ riêng lẽ cho từng máy) ϕ i : Chu kỳ tiếp quỹ theo phương án tiếp quỹ chủ động cho máy ATM thứ i η i : Chu kỳ tiếp quỹ theo phương án tiếp quỹ. hợp tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động luôn là phương án tiếp quỹ tối ưu. Tuy nhiên, trong trường hợp tiếp quỹ cho nhiều máy ATM, . giải quy t theo hướng quy hoạch nguyên hoặc dựa trên các thuật toán giải bài toán quy t định Markov với số bước hữu hạn. Tuy nhiên, việc xác định phương án tiếp quỹ tối ưu cho các máy ATM dựa