Âm nhạc và các phân số Ai đánhghita cũngbiết khái niệm hợpâm(dân gian gọi là gam). Chỉ cần 3 gamlà đánh đệmcho được rất nhiều bài hát. Bài nàovui, thì dùng hợpâm đô trưởng, fa trưởng, và son7, bài buồn thìla thứ, rêthứ, mi 7. Nhưngtrong các sách âm nhạc ít khi thấy giải thích nguồn gốctoán học của những hợp âm này. Tại sao đánh 3 nốt Đô (C), Mi (E), Son(G)lên thì nóhòa vớinhau rất tốt, thành hợp âm Đô trưởng, nhưng ví dụ đánhĐô và Fa thăng (F#)thì lại khônghợp? Đó là donhững hòaâm trongâm nhạc liên quanđến cácphânsố đơn giản. Nhớ lại, trong 1 octave (quãng tám) có 12nốt: C, C#, D, D#,E, F, F#, G,G#, A, A#,B Quyđịnh là nốtA (La) củaoctave giữa tần số là 440 Hz.Giá trị chính xáccủa con số này khôngphải quantrọng đối với ta.Quan trọnglàtrong âm nhạc hiệnđại, tần số các nốt trong octavelập thành một cấp số nhân,số sauhơn số trước 2 1/12 ≈1.0595lần.Như vậy tần số các nốt là: C= 440×2 -9/12 ≈261.6 Hz C#= 440×2 -8/12 ≈277.2 Hz,v.v. Ta lấy tần số của nốt Sonchia chotần số nốt Đô thì thương là: G/C = 2 7/12 =1.4983…≈3/2 đây gọi là quãng 5 (perfect fifth), và nếu lấy thương của tần số nốt Mi cho nốt Đô thì có: E/C = 2 4/12 =1.2599…≈5/4 (quãng ba trưởng) Như vậy tỉ lệ tần số của các nốttrong hợp âm trưởng(C:E:G)là gần bằng 4:5:6. Dotỷ lệ giữacác tần số gần với các phân số đơn giản(tử số vàmẫu số nhỏ) nên ngheêm tai. Trái lạitỷ lệ giữa fa thăng (F#) và đô (C) là , là số không gần với một phân số đơn giản nào,nên đánhF# cùng vớiC khônghợp.Bạn đọc có thể tự tìm ratỷ lệ đằng sau hợp âm la thứ:La – Đô – Mi. Nhạc truyền thốngcủaViệt Namvà nhiều dân tộc là nhạc ngũ âm (pentatonic, “cung thươnglàu bậc ngũ âm”), có thể xây dựngbằng mộtcấp số nhân khác vớicông bội là 3/2. Các nốt trong cungngũ âm đại khái gần với F – C –G – D – A trong nhạc phương tây (khôngcó E và B).Nếu ta chỉnhcácnốt chocó 4 quãngnăm lý tưởngthì tỷ lệ các tần số phải là: 1, 3/2, 9/8, 27/16,81/64 (Mỗi lúc xuống1 octavetần số giảm đi 2 lần.) Các bài ngũ âm cũng có thể đánh được hoàn toànbằng các phím đentrên đàn piano:F#, C#,G#, D#, A#. Ví dụ bài Xòe hoa là hoàn toàn ngũ âm (dânca Thái —lời Kinh): Cùng nhaumúavui, chân em bướcnhịp câu ca C F A G G G A D F F Em múa vui emmừngcuộc đời. G A G F D C C Ơn Bác Hồ ghi nhớ muôn đời. G A D F G F D Vuisốngtrong độclập tự do G A G F D C F Nhạc hiện đại đôi khicũng dùng ngũ âm. Bài Tiếng hát trong rừng Pắc Bó chỉ loanhquanh 5 nốt đến gần cuối: Trôngvời lưngnúi F C F-A A Khuổi Nậm rì rào núi caotầng mây F C D F G F D G Nhạc Scotland truyềnthống (AuldLang Syne chẳnghạn) cũng là ngũ âm. Vấn đề của thangcó 4 quãng nămlý tưởnglà giữaA và F tỉ lệ là 81/64, nhưng quãng ba lý tưởngphải là 5/4=80/64. Nếu ta địnhnghĩa A là 5/4 so với F, thì lại mất quãng năm D-A. Nhạc phương Tây đã bị vấp phải vấn đề này trong một thời gian dài,là quãngba trưởng (5/4) không chínhxác bằng 4quãng 5(3/2) trừ 2 quãng 8: Ngày xưa người ta chỉnhpiano chỉ đánh đượcmột số gam ở giữa,càng raxa nghe càng chóe.Việc chỉnh piano là một sự thỏa hiệp giữaquãng 5và quãng 3, khôngbao giờ cả 2 quãng đều chuẩncả hai.Đến thời Bach thì người ta chỉnhđược cho tấtcả các gam đều ngheđược. Tập Well-TemperedClavier soạn chocả 24 gam trưởng và thứ. Trongthang nhạc phươngtây hiện đại, quãng 5 rất tốt nhưng cácquãng 3thì khôngtốt lắm. E♭/C= 2 3/12 =1.189…≈6/5 Quãng7 thì tệ: B♭/C = 2 10/12 =1.782≈7/4 ChristiaanHuygens đề xuất dùng âm nhạcvới thangcó 31 nốttrong một octave.Lúc đó quãng 5 sẽ là 2 18/31 =1.4955≈3/2 hơi kémhơn thang12 nốt, nhưngcác quãng 3 trưởngvà thứ thì tốt hơn hẳn: 2 10/31 =1.2506≈5/4 2 8/31 =1.1959≈6/5 Quãng7 cũng hơn hẳn: 2 25/31 =1.7489≈7/4. Tuy vậy thangnhạc 31 nốt này hoàn toàn không được phổ biến, có lẽ do số nốt nhiều quá. Bạn nào muốnbiết hơn có thể tham khảo D. J. Benson, Music: a mathematical offering. . bằng 4:5:6. Dotỷ lệ giữacác tần số gần với các phân số đơn giản(tử số vàmẫu số nhỏ) nên ngheêm tai. Trái lạitỷ lệ giữa fa thăng (F#) và đô (C) là , là số không gần với một phân số đơn giản nào,nên đánhF#. giữa tần số là 440 Hz.Giá trị chính xáccủa con số này khôngphải quantrọng đối với ta.Quan trọnglàtrong âm nhạc hiệnđại, tần số các nốt trong octavelập thành một cấp số nhân ,số sauhơn số trước 2 1/12 ≈1.0595lần.Như. Âm nhạc và các phân số Ai đánhghita cũngbiết khái niệm hợpâm(dân gian gọi là gam). Chỉ cần 3 gamlà đánh đệmcho được rất nhiều bài hát. Bài nàovui, thì dùng hợpâm đô trưởng, fa trưởng, và son7,