Khối Lượng và Phương Trình E = γmc2 của thế kỷ ppt

Khối Lượng và Phương TrìnhE = γmc2của thế kỷ Trong cách diễn đạt hiện đại của thuyết Tương Đối, chỉ có một khối lượng, đó là khối lượng theo nghĩa của Newton không thay đổi với vận tốc. Tiếc thay trong khá nhiều sách giáo khoa về thuyết tương đối hẹp ở Âu, Mỹ, Á ngày nay, nhiều thuật ngữ thiếu thuần lý như khối lượng tương đối tính (relativistic mass), khối lượng bất động (rest mass) với ký hiệu nhầm lẫn m(v) hay m 0 hãy còn xuất hiện, mặc dầu Einstein đã cảnh báo từ năm 1948. 1-Vài điều sơ đẳng 1a- Khối lượng củavật chất là một khái niệm quan trọngtrong khoahọcmà nhânloại đã ý thức ít nhiều về nó có lẽ ngaytừ thuở các nềnvăn hiến ngàn xưa thời LưỡngHà, AiCập, Hy Lạp, TrungQuốc, Ấn Độ.Một cách định tính, ta hãy khởi đầu với cơ học cổ điển củaGalilei và Newton theođó khối lượngm củamột vật được hiểu như bảntính nội tại củanó, m gói ghém “số lượng của vật chất” kết tụ trong đó. E=mc 2 - Công thức không thể nổi tiếng hơn Sau nữa,phươngtrình căn bản của cơ học cổ điển F =ma = mdv/dt bảo cho ta khối lượng diễn tả quántính của vật thể. Thực thế bấtkỳ mộtlực F nào (trọng lực, lực điện-từ, lực hạt nhân,lựccơ bắp haymáy móc) khi áp đặt lên một vật A mang khối lượng m, vật đó sẽ chuyển động với gia tốca. Cũng một lựcF ấy khitác độnglên một vật B khác mang khối lượng balần lớnhơn A thì dĩ nhiêngia tốc của B so với A giảm đi ba lần, nó chuyểnđộng chậmchạphơn A hay có quántính lớn gấpba lần A.Vậy khối lượng biểu lộ khả năngquán tính của vật thể chống lại sự di động. Nếu không có một lựcF nào áp đặt lên mộtvật thì nếu ban đầu đã chuyển độngvới một vận tốc v nàođó thì nó cứ tiếp tục di chuyển với vận tốc ấy, hoặc nếu đứng yên thì cứ mãi đứng yên. Tóm lại vì gia tốca = 0 (do F =0) nên vận tốc v cố định, không thayđổi với thờigian. 1b- Cònnăng lượng? Dưới dạng sứcnóng- mà ta gọi là nhiệtnăng - cólẽ con người đã cảm nhận ra khái niệm năng lượng ngaytừ thuở họ phát minh ra lửa cách đây khoảng 500000 năm, và khôngphải ngẫu nhiên mà ngôntừ calorie đã được dùng để chỉ định đơn vị năng lượng.Nó là căn nguyên tác động lên vạn vật để làm chúng biến đổi dưới mọi hình thái hoặc làm chúng di chuyển. Như vậy năng lượng chẳng thể tách rời khỏi lực vàđể diễntả chính xác bằng ngôn từ toán học, năng lượngđượcđịnh nghĩa như tích số của vectơ lựcF nhân với vectơ chiều dài x màvật dichuyển do tác động củaF ápđặt lênnó. Thựcvậy, tích số F. x trước hết gọi là công làm ra bởi lực F tác động lên vật. Đó làmột định nghĩa hợp lývà dễ hiểu vì nó chỉ địnhcái côngsức mà lực phải bỏ ra để làm cho vật di chuyển một đoạn chiều dài x vớivận tốc v =dx/dt. Khi ta mang cho vật cái công sức củaFthì vật đó phải biếnđổi bởivì nó thu nhận một năng lượng E, vàta định nghĩa năng lượng mà vật thu được này chính là công củalực F mangcho nó.Vậy E = F. x, và dướidạng vi phân dE = F.dx, ta suy ralà sự biến đổi theo thời gian tcủa năng lượng dE /dt chính là tíchsố F.v, dE/ dt= F.v mà ta sẽ dùng sau này để tìm ra phươngtrìnhE = γmc 2 của thế kỷ. Trongcơ học có hai loạinăng lượngthường được nhắc đến: thế năng và độngnăng. Thí dụ thứ nhất là trọng lực F g = mg (với g = |g| ≈ 9.81m/s 2 chỉ định gia tốc tạo nên bởi trọng trường củatrái đất). Sức hútF g kéo khối lượng m rơi từ trên mộtđộ caoh = |x| xuốngmặt đất. Vì F g và x songsongvà c ù ng hướngvề trungtâm trái đất nên F g .x = mgh.Đại lượng mgh gọi là thế năng (potential energy) của vật đặt ở độ cao hso với mặt đất. Ở bất kỳ một điểm cao h nào đó, vậtmang sẵn một năng lượng mgh tiềmtàng, một thế năng.Thí dụ thứ hailà với bất cứ một lực F nào,ta cũng có dE= F.dx,khi thay dx = vdt và F = mdv/dt, ta có dE = mv.dv, làm tích phân ta được E =(½)mv 2 , với v = |v|. Tagọi nănglượng (½)mv 2 là động năng (kinetic energy). Một vật khối lượng m chuyển động với vận tốc v mangđộngnăng (½) mv 2 . Một vật đứng yên (vận tốc = 0) rơi từ một độ cao h, khi chạm đất nó có vận tốcv = (2gh) ½ , thế năng mgh chuyển sangđộngnăng (½) mv 2 , minh họa luật bảo toànnăng lượng. Sau hết, ta định nghĩa vectơ xunglượng p = mv và phương trìnhcơ bản F = mdv/dt nay viết dướidạng F = dp/dt. 2- Vài nét về thuyết Tương Đối Hẹp Ai trong chúng ta khi đi máy bay cửa sổ đóngkín và không gặp bão lay động mà có thể cảm thấy mình dichuyển với vậntốc khoảng ngàn cây số trongmột giờ ? Khoảngbốn trăm năm trước đây,galileo Galilei(1564-1642) cũng đưa ra mộtthí dụ tươngtự,mở đầu cho nguyên lý tương đối(principe of relativity) mangtên ông: trong hầm kín mít khônggiao tiếpgì với thế giới bên ngoài của một chiếc tàu thủy di chuyển đều đặn, ta hãy quansát những con bướm baykhắpphía và những giọt nước tí tách rơi. Nayđể tàu đứngyên, ta thấy bướm vẫn bay vànước vẫn rơi hệt như trước, chẳng có gì thay đổi. Rồi tàu lại di chuyển đều đặn, nhưngvới vận tốc và chiều hướng khác, bướm vẫn bay và nướcvẫn rơi như khi tàu dừng ở bến.Nói một cách khác: những địnhluật miêu tả các hiện tượng thiên nhiên (bướm bay, nước rơi) không chút thay đổi trên tàu di chuyển đều đặn (bất kỳ vận tốc vàchiều hướngnào) kể cả tàu dừng ở bến(v = 0).Người ở trongtàu nếu chỉ quan sát đo lường những hiệntượng độnghaytĩnh trong tàumà không tiếp xúc với bên ngoài để sosánh thì chẳng saobiết là tàu đứng hayđi, và đivới vận tốc nào, chiều hướng nào. Nói khác đitĩnh hay di động đềuđặn chỉ là chuyệntương đối,chẳngcó lýgì để khẳng định bến haytàucái nàođứng, cáinào đi. Nguyên lý tương đối mà Galileitóm tắt trong mộtcâu ngắn gọn‘’di chuyển đều đặn cũng như không’’, hàmý rằngtrong haihệ quychiếu, một cái bất độngK (tọa độ x,y,z,t), một cái K’ diđộng (tọa độ x’,y’,z’,t’) vớivận tốc v cố định,các định luật miêu tả thiênnhiên đều giống hệtnhau, hayf(x,y,z,t)= f(x’,y’,z’,t’) hàm số f tượng trưng chomột định luật vật lý nào đó.Khi nguyên lý này áp dụng chođiện- từ để diễn tả vận tốc ánhsáng c không thayđổitrong tất cả các hệ quy chiếu thì hàm số f chính là f(x,y,z,t) ≡ (ct)² – (x²+ y² + z²). Einsteinkhởi đầu bằng chấp nhậnnguyênlý tươngđối áp dụng chođiện-từ như mộttiền đề -theođó vận tốc ánh sáng baogiờ cũng cố định và bằngc, không thayđổi trong bất kỳ cáchệ quychiếu quán tính nào - mà MichelsonvàMorleyđã chứng tỏ bằngthực nghiệm. Vận tốc ánh sángkhông thay đổi trong hai hệ quy chiếuquán tính được diễntả bằng ngôn ngữ toán học là bình phươngkhoảng cách s²của ánhsáng truyền đitrong hai hệ quy chiếu K và K’ phải như nhau hay bất biến[1]: s² ≡ (ct)² –(x² + y² + z²) = (ct’)²– (x’²+ y’² + z’²).Với thờigian phổ quát duynhấtcủa Newton (t =t’) thì s² không sao bất biến được và đã làm đauđầu bao nhà khoa học[2]. Dùng nguyên lý tương đối để áp dụng cho sự vận hành của ánh sáng, các vị Lorentz, Poincaré, Einstein mỗingười một cách đã phát kiến rahệ số γ = 1⁄ √(1− v² ⁄c²) ≥ 1 chìa khoá mở đường vô cùngquan trọngcho cơ học tương đối tính[3]. Einstein suytừ đó ra nhiềuhệ quả kiểmchứng được bằng thực nghiệm,trước hết là phương trình E =γmc²của thế kỷ, liên kết năng lượng E khổng lồ với khốilượngm nhỏ bé[4], tuyệt vời và đại chúng. Thôngđiệp thứ hai,sâusắc và kỳ lạ, là chẳng có mộtthời gian tuyệt đối và phổ quát trongmột khônggianbiệt lập với thời gian. Có muôn ức thời gian (t’ và t dẫu khác nhau nhưng cả haiđều chỉ định thời gian tronghai hệ quy chiếu) nhanh chậmkhông đồngđều, thời gian của mỗi hệ quychiếutùy thuộc vào vận tốc chuyển độngcủa hệ ấy.Mỗi thời-điểm phảigắn quyện với mỗi không-điểm trongmột thực tại bốn chiều gọi là thế giới Minkowski để diễn tả một sự kiện. Khoảng cách thời gian của bạn khác của tôi,ở mỗi điểm khônggian lạigắn liền một đồng hồ đo thời gian với nhịp điệu tích tắc khác nhau[5]. Sở dĩ bạn và tôi tưởng rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vì cộng nghiệp con người trong cái không gian quá nhỏ bé của trái đất so với vũ trụ, bạn và tôi đâu có xa nhaugì, vận tốc tươngđối giữachúng ta thấm gì sovới vận tốc ánh sáng (v²⁄c² « 1, γ ≈ 1). Khôngcó mũi tên thời gian lạnh lùng trôi của trực giác mà cơ học cổ điển Newton thừa nhận, cũng khôngcó kháiniệm hiệntại, cái bây giờ chẳng thể xác định và giữ vaitrò ưu tiên đặcthù nào hếtvì cái lúc nào phải đivới cái ở đâu. Hơnnữa,khônggianvà vậtchất, cái vỏ chứa và cáinội dung chứa đựng trong vỏ,lại như hình vớibóng trong vũ trụ co dãn(thuyết tương đối rộng).Đã không có hiện tại thì nói chi đếnquá khứ và tương lai,đó là nội dungtriết học quá ư kinh ngạc của thuyết tươngđối hẹp và rộng trongnhận thức về thờigian, nó khôngphải là mũi tên trôimột chiều từ quá khứ đến tương laimà chỉ là mộttrong bốn thành phần của mộtthựctại mang tên gọi không-thời gianchẳngcứng nhắc mà đàn hồi. Diễntả hàm súc nhấtvề nhận thức này có lẽ nằm trong bức thư Einsteingửi cho con traicủa Besso[6] khi nghe tin bạn mất. Bức thư viết: ‘’Vậy bạn đã trước tôi một chútgiã từ cái thế gian lạ lùng này. Nhưngcáiđó chẳngnghĩa lý gì. Đối với chúng ta, nhữngnhà vật lý có xác tín, sự chiacách quá khứ, hiện tại, tương lai chỉ là một ảo tưởng, dẫunó dai dẳng đến thế nào’’. Điều cơ bản cần nhấn mạnh là không gian và thời gian chẳng còn biệt lập nhưng mật thiết liên đới trongmột thực thể bốn chiều không-thời gian của Minkowski. 3- Ba con đường đến E = γmc 2 Tại sao bacon đường? Nhàvật lý kỳ tài RichardFeynmantừng khuyến khích là nếu có thể thì nên suy diễn, trình bàyhaychứng minh một kết quả khoahọc nào đó theo nhiều phương pháp khác nhauđể rọi sáng vấn đề.Tập sách tuyệt vời The Feynman Lectures on Physicstrànđầy thídụ diễngiảng theohai bacáchkhác nhau mà lại bổ túc cho nhau[7]. Trướchết cần minhđịnhlà chỉ có phươngtrình E 0 = mc 2 hay E = γmc 2 mới thực sự phảnánh ý nghĩa của thuyết tương đối,E thayđổi theovận tốc của vật, độngnăng (½) mv 2 là thí dụ cụ thể nhất, cònE 0 là năng lượng khi vật đứngyên (v = 0, γ =1). Phương trìnhE 0 = mc 2 và ΔE 0 =(Δm)c 2 chính Einsteinđã viết ra[8]. Trong các sáchsư phạmnghiêm túc về cơ học tương đối tính(hay thuyết tương đối hẹp), theo Einstein[9] để tránh sự mơ hồ, thậm chínhầm lẫn về khái niệm khối lượng,ta khôngnên đưa rahaiký hiệu:m(v) ≡ γm và m 0 ≡ m(v= 0) củamộtvật, theo đó m 0 là khối lượng bất động(restmass) và m(v) =m 0 /√(1− v²⁄c²) là ‘khối lượng tương đối tính’ (relativistic mass) khi vật chuyển độngvới vận tốcv. Chỉ cómột khối lượng m trong các định luật vật lý, khôngcó khối lượng m 0 của một vật bấtđộng hay khối lượng ‘tương đối tính’ m(v) thay đổi với vận tốc v củamỗi hệ quychiếu. 3a- Henri Poincaré, nhà toán họcvạn năng Pháp, năm1900 (trước năm thần kỳ 1905) đã viết ra[10] E = mc 2 , nhưngphải nói ngay là phương pháp của ông để tìm ra nó không được nhất quán, chính vì vậy mà tác giả đã quênhẳn đi đến nỗi năm 1908,banăm saukhi Einstein khám phá ra E 0 = mc 2 , Poincaré - khi so sánh một vật phát xạ ánh sángvới mộtkhẩu đại bác bắn ra mộtviên đạn -đã viếttrong La dynamique de l’électron,Scienceet Méthode (1908)mấy câu sauđây: ‘’ Khẩu đại bácgiật lùivì viên đạn bị bắn ra đã tác độngtrở lại. Trườnghợp vật phóng quanglại là chuyện khác, ánh sáng phát rakhông phải là vật chất, đó là năng lượng, mà năng lượng thì không có khối lượng’’. Quacâu trên,rõ ràng Poincaré dẫu có viết E = mc 2 thì ôngđã quên nó rồi. Poincaré tìmra E = mc 2 bằngcách nào? Trướchết, ôngxem xét một đoànsóng ánhsángcó năng lượng E và xunglượngp. Như ta biết, điệntừ trường E, H mangmột năng lượngtỷ lệ với ( |E| 2 + |H| 2 ) còn xung lượng thì tỷ lệ với vectơ E × H. Theođịnh lý Poynting trong điệntừ thì p ≡ |p| = E/c,điều chính xácđối với photonkhông có khối lượng.Cái lầm củaPoincaré là dùng phương trìnhcơ học cổ điển p = mv(vớiv = c) để áp dụng cho đoàn ánhsáng. Đó là một nghịch lý như ta biết ngày nay,vì cơ học cổ điển chỉ áp dụng cho vật di động chậm,v « c. Khi kết hợp hai cái‘khôngnên kếthợp’ p= E/c vớip=mc, ôngthấy E = mc 2 và kết luận làánh sáng với năng lượng E có khối lượng m = E/c 2 ≠ 0. Điềukỳ quái là ngày nayhãycòn vài tácgiả Pháp bảo hoàng hơn vuakhẳng định rằng Poincaré là tác giả phương trìnhcủa thế kỷ[11]. E=mc 2 Không chỉ nằm trên bàn giấy 3b- Hệ số γ, một giai đoạntrung giancầnthiết. Trong thuyết tương đối hẹp, mỗikhông-điểm x phảigắn một thời-điểm t trong mộtthựctại không-thời gian bốn chiềuMinkowski.Một tứ-vectơ không-thờigian là tập hợp mang bốnthành phần với ký hiệu x µ (x 0 = ct, x), vectơ vận tốc v =dx/dt, gia tốca = dv/dt.Nét đặc trưng của phép hoánchuyển Lorentz là có một khoảng cách thời gian dτ bất biếntrong mọihệ quy chiếu, τ là thời gian riêng địnhnghĩa bởi cdt 2 – (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) = cdτ 2 (phụ chú 3). Vìv 2 = (dx 2 + dy 2 + dz 2 )/dt 2 , ta suy raγdτ =dt, vớiγ = 1/√(1− v² ⁄c²). Khoảng cách thời gianriêng của mỗi không-điểm được liên kết với những khoảng cách thời gian riêng khác bởi τ = t/γ.Ta tính được một đẳngthức quan trọng dγ/dt = γ 3 (v.a)/c 2 (1) Từ tứ-vectơ không-thời gian x µ (x 0 = ct, x), ta lập một tứ-vectơ xunglượng p µ = mdx µ /dτ, và tính ra bốn thành phần của p µ (p 0 =γmc, p = γmv). Phương trìnhF = dp/dt= md(γv)/dt cho ta F =[mγ 3 (v.a)/c 2 ] v + mγa thay thế phương trìnhF = ma,cũng như p = mγv thay thế p = mv của cơ học cổ điển, nó là giới hạn khi c → ∞ của cơ họctương đối tính. 3c- Ba phương pháp chứng minh E = γmc 2 . Cách thứ nhất là dựa vào dE/dt = F.v đề cập ở đoạn 1b.Dùng đẳng thứcF =[mγ 3 (v.a)/c 2 ] v + mγavừa thiết lập ở trên,ta có F.v = mγ 3 (v.a), khi kết hợp nó với (1), ta được F.v = mc 2 dγ/dt= dE/dt và như vậy E = γmc 2 . Cách thứ hai là liênkếtthành phần p 0 = γmc (của tứ-vectơ xung lượngp µ ) với nănglượngE, vàxin chútâm đến thứ nguyên ML 2 /T 2 củanăng lượng(ba đại lượng cơ bản, khối lượngM, chiềudài không gian L,thời gian T).Vậy phépphân tích thứ nguyênbảo ta p 0 = E chiacho một vận tốc nào đó. Tachỉ có hailựachọn, đó là v hayc,nhưng v không thíchhợp vìnó có thể bằng 0 và đưa p 0 đến một giới hạn vô tận, vậy p 0 = E/c. Với p 0 = γmc, ta có E = γmc 2 . Lựa chọn p 0 = E/c cònphù hợp với trường hợpv « c, vì khi ta khai triển hệ số γm thành chuỗi (v/c) n thì ta có γm ~ m + (½)m(v 2 /c 2 ) + , ta nhận ra γmc 2 chứađựng động năng (½)mv 2 quen thuộccủa cơ học. Đó cũng là phươngphápmà Einstein đã dùngđể tìm raphương trìnhcủa thế kỷ. Cách thứ ba hơi dò dẫm, như một thử nghiệm (educated guess) đôi khiđược sử dụngtrong nghiên cứu khoa học. Ta nhận thấy mặc dầu bốn thành phần của tứ- vectơ p µ , vì phụ thuộcvào hệ số γ nênchúng đều thay đổitheo v, nhưng độ dài bình phương của tứ-vectơ (p 0 ) 2 – |p| 2 khôngphụ thuộcvào v nữa, nó bất biến: (p 0 ) 2 – |p| 2 = m 2 c 2 . Cũng vậy, năng lượngE = γmc 2 và xunglượng p = γmv đều thay đổi theocác hệ quy chiếunhưng E 2 –|p| 2 c 2 khôngphụ thuộc vào v, nóbất biến trong mọi hệ quy chiếu: E 2 – |p| 2 c 2 =m 2 c 4 . Tính chất bất biến là điều kiện tiên quyết mà thuyết tương đối đòi hỏi. Nếu E ≠ γmc 2 (thí dụ E = γmcv), ta không có một bấtbiến nào. Vậy hai phương trình cơ bản củathuyết tươngđối hẹp là: E 2 – |p| 2 c 2 = m 2 c 4 (2) p = v (E/c 2 ) (3) Hai phươngtrình trên áp dụng cho mọi trường hợp của khối lượng m bằng hay khác 0. Với photon (hayneutrinom ≈ 0), phươngtrình (2) cho ta E = pc. Hơn nữa photonvì cókhối lượng m =0, nó chẳngbaogiờ bấtđộng, vận tốc lúc nào cũng bằng c, do đó tích số γm của photon mangdạng0/0, nó có thể là bất cứ một con số nào. Năng lượng E = γmc 2 như thế rất có thể khác 0 và thực vậy. Ta đi vào lãnh vực của lượng tử với Planck và Einstein:E = hν = pc.Nănglượng của photon khôngxác định được trong thuyết tương đối màlại đến bằng con đường lượng tử với Planck và Einstein. Tuy khối lượngbằng 0, photon có năng lượng tỷ lệ với tần số dao động ν của nó và h = 6.63x10 –34 Js là hằng số Planck. Tuy h cực kỳ nhỏ nhưng tần số ν của sóng điện từ rất lớn (hàng tỷ lần tỷ trong một giây đồng hồ) nên nănglượngE = hν không nhỏ. Tóm lược Khối lượng m mangtính chất nội tại của mộtvật, nó không phụ thuộc vào bất kỳ hệ quy chiếu nào. Khối lượngm phải làmộtbất biến(như vận tốc ánhsáng c, hay điện tích e của electron),trong bất kỳ hệ quy chiếu nào nó phải như nhau. Không có khối lượngcủa vật chuyển động m(v)hay khối lượngcủa vậtđứng yên m 0 = m(v= 0), chỉ có mộtkhối lượngduy nhất không thayđổi với vận tốc,m = √(E 2 –|p| 2 c 2 )/c 2 . Tíchsố của γ với m trong thuyết tươngđối hẹp không nên hiểu và truyền bá trong sách giáokhoa[12] theo nghĩa“khối lượnglàmột hàmsố của vận tốc’’ và viết γm dưới dạng m(v)= m 0 /√(1–v 2 /c 2 ). Hệ số γ là kết quả tuyệt vời của phép hoán chuyển Lorentz, là chìa khóa mở đườngchothuyết tươngđối với biết bao hậu quả kinh ngạc mà E = γmc 2 làdấu ấn aicũng nghebiết đến. Thuở ban đầu của thuyết tương đối cáchđây trăm năm, nhữngký hiệu như m(v)= m 0 /√(1–v 2 /c 2 ) và m 0 thường được dùng chokhối lượng,nhưng ngày nay ta chỉ nêncoi chúng như một giaiđoạnđã qua vànên nhớ rằng khối lượngbất biếnvới hoán chuyển Lorentzmới cóý nghĩavật lý. Dùngthuật ngữ chínhxác vàthuầnlý rất quantrọng trong việc truyền bá kiến thức cho học sinh, sinhviên và những nhà khoahọc khác ngành để cùng chia sẻ, nắm bắt và nhận thứcsâu sắc cái đẹp của thuyếttương đối. . Khối Lượng và Phương TrìnhE = γmc 2của thế kỷ Trong cách diễn đạt hiện đại của thuyết Tương Đối, chỉ có một khối lượng, đó là khối lượng theo nghĩa của Newton không thay đổi. cũng có dE= F.dx,khi thay dx = vdt và F = mdv/dt, ta có dE = mv.dv, làm tích phân ta được E =( ½)mv 2 , với v = |v|. Tagọi nănglượng (½)mv 2 là động năng (kinetic energy). Một vật khối lượng m. tương đối ,E thayđổi theovận tốc của vật, độngnăng (½) mv 2 là thí dụ cụ thể nhất, cònE 0 là năng lượng khi vật đứngyên (v = 0, γ =1 ). Phương trìnhE 0 = mc 2 và E 0 =( Δm)c 2 chính Einsteinđã viết