thiết kế và đánh giá thuật toán - trần tuấn minh -3 pps

Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 33 - CHƯƠN PG 2 : HƯƠNG PHÁP CHIA ĐỂ TRỊ (Divide - and - conquer) I. Mở đầu 1. Ý tưởng Có lẽ q äng rãi nhất là kỹ thuật thiết kế “Chia để trò” . Nó phân rã bài toán kích thước n thành các bài toán con nhỏ hơn mà việc tìm lời giải cu là cùn ài toán đã cho được xây dựng từ lời giải cu hính của phương pháp này là : chia dữ liệu thành từng miền đủ nhỏ, giải bài toán trên các miền đã chia rồi tổng hợp kết quả lại. 2. Mô hình uan trọng và áp dụng ro ûa chúng g một cách. Lời giải của b các bûa ài toán con này . Ta có thể nói vắn tắt ý tưởng c D& (ℜ) - là miền dữ liệu - là hàm thể hiện cách giải bài toán th o phươ g pha chia void D&C( ℜ) ℜ i ả; } } huật thiết kế “ Chia để trò “ . nhò phân. Nếu gọi C Với ℜ e n ùp để trò thì ta có thể viết : { If ( ℜ đủ nhỏ) giải bài toán; Else { Chia ℜ thành ℜ 1 , …,ℜ m ; for (i = 1; i <=m; i++) D&C( ); Tổng hợp kết qu Sau đây là các minh họa kỹ t II. Thuật toán tìm kiếm 1. Phát biểu bài toán hần tử đ Cho mảng n p ã được sắp tăng dần và một phần tử x. Tìm x có ong m Nếu có x trong mảng thì cho kết quả là 1, ngược lại cho kiếm nhò phân . tr ảng hay không ? kết quả 0. oán tìm Giải bằng thuật t 2. Ý tưởng Chia đôi mảng , mỗi lần so sánh phần tử giữa với x, nếu phần tử x nhỏ hơn lấy nửa trái, ngược lại thì lấy nửa phải. 3. Mô tả thuật toán thì Input : a[1 n] Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 34 - Output : ⎨ ⎧ ∈ ax;1 ⎩ ∉ ax;0 Mô tả : Tknp(a, x, Đầu, Cuối) ≡ If (Đầu > Cuối) Giữa = (Đầu + cuối) / 2; If (x == a[Giữa]) retu 1; e if (x > a[Giữa]) else thời gian của thuật toán return 0 ; {dãy trống} Else { rn lse Tknp(a, x, Giữa + 1, Cuối) ; Tknp(a, x, Đầu, Giữa - 1) ; } 4. Độ phức tạp nhất : tương ứng với sự tìm được x trong lần so sánh đầu ( x nằm ở vò trí giữa mảng ). . ) Trường hợp xấu nhất : Độ phức tạp là O(lg n). ) là độ phức tạp của thuật toán , thì sau khi kiểm tra điều kiện ( x == a[giữa]) và sai thì gọi đệ qui thuật toán này với dữ liệu giảm nửa, nên thỏa mãn công thức truy hồi : (n) = ≥ 2 và T[1] = 0. 5. a) Trường hợp tốt tiên, tức là : a[Giữa] == a[n/2] == x Ta có : T tốt (n) = O(1) b Thật vậy, Nếu gọi T(n T 1 + T[n/2] ; n Cài đặt int tknp(int a[max],int x,int l, int r) { ( l > ) eturn } int mid; if r r 0; m l+id = ( r)/2; if ( x == a[mid] ) return 1; if ( x > a[mid] ) r tknp(a,x,mid+1,r); eturn return tknp(a,x,l,mid-1); Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 35 - III. Bài toán MinMax 1. Phát biểu bài toán Tìm giá trò in M , Max trong đoạn a[l r] của mảng a[1 n]. 2. Ý tưởng Tại mỗi bước, chia đôi đoạn cần tìm rồi tìm Min, Max của từng đoạn, sau đó ång hơ lại k t quả. có 1 phần tử thì Min = Max và bằng phần tử đó. Minh họa : 6 7 8 to ïp ế Nếu đoạn chia chỉ i 1 2 3 4 5 a[i] 10 1 5 0 9 3 15 19 Min, Max trong đoạn a[2 7] của mảng a[1 7] . Ký hiệu : ax) cho Min và Max trong đoạn a[l r]. Cho Min = 0 và Max = 15 trong đoạn a[2 7] 3. Thuật toán Tìm giá trò MinMax(a,l,r,Min,M MinMax(a,2,7,Min,Max) Input : a[l r], ( l ≤ r ) Output Mi Mô tả : MinMa r) { MinMax(a,l, (l+r) / 2, Min1, Max1); MinMax(a,(l+r) /2 + 1, r , Min2, Max2); in2) Max = Max1 Else ; : n = Min (a[l], ,a[r]), Max = Max (a[l], ,a[r]). x(a,l, r, Min, Max) ≡ if (l == { Min = a[l]; Max = a[l]; } Else If (Min1 < M Min = Min1; Else Min = Min2; If (Max1 > Max2) Max = Max2 } Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 36 - 4. Độ phức tạp thuật toán Gọi T(n) là số phép toán so sánh cần thực hiện. Khi đó ta có : ⎪ ⎩ = 1;0 n ⎪ >+ 2;2)2( nnT 1k ⎧ +)2(nT ⎨ == 2;1)( nnT Với n = 2 k , thì : ∑ − +==++=+= 1 1222 2)2(2)2/(222)2/(22)( i ik TnTnTnT L − = 2 2 1=i Vậy T(n) ∈ O(n). 5. Cài đặt 3 22222 11 −=−−=− −+ n kkki . 1− k = ∑ void MinMax(int a[.], int l, int r, int &Min, int &Max ) ax1,Max2; = a[l]; ,(l+r)/2 , Min1, Max1); MinMax(a,(l+r) /2 + 1,r, Min2, Max2); if (Min1 < Min2) Min = Min1; if (Max1 > Max2) x1; x2; . Th ật to Q { in2,M int Min1,M if (l == r ) { Min Max= a[l]; } else { MinMax(a,l else Min = Min2; Max = Ma lse e Max = Ma } } IV u án uickSort D hu án Quiùng t ật to ckSort (QS) để sắp xếp các giá trò trong một mảng các heo ột th tự, ch ạn tăng dần. hương áp QuickSort (hay còn gọi là phân đoạn) là một cải tiến của ương áp sắp xếp đổi chỗ trực tiếp, do C.A.R. Hoare đề xuất. số t m ứ ẳng h P ph ph ph Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 37 - 1. Ý tưởng Chọn ngẫu nhiên một phần tử x. từ bên trái ( theo chỉ số i ) trong khi còn a i < x. Duyệt dãy từ bên phải ( theo chỉ số j ) trong khi còn a j > x. ưa vượt qua nhau. , ,j (Dãy m a h = ø sắp xếp bằng phân hoạch). Duyệt dãy Đổi chỗ a i và a j nếu hai phía ch . . . tiếp tục qúa trình duyệt và đổi chỗ như trên trong khi hai phía còn chưa vượt qua nhau ( tức là còn có i ≤ j). Kết qủa phân hoạch dãy thành 3 phần : • a k ≤ x với k = 1 con thấp); a ≥ x với m = i, ,n (Dãy con cao); x với h = j+1, ,i - 1. (Vì thế phương pháp này còn gọi la a k a m x Tiếp tục phân hoạch cho phần trái (dãy con thấp nhỏ hơn x), cho phần phải ( lớn hơn x) . . . cho đến khi các phân hoạch chỉ còn lại một phần tử, là sắp xếp xong. Thuật toán thể hiện ý tưởng đệ qui và cách thiết kế chia để trò. 2. Mô tả thuật toán - Thuật toán QuickSort uickSort (a,n) ≡ QS(a,1,n) ; Mô tả : i = l; a[(l+r)/2]; // Chọn phần tử giữa while (a[i] < x ) while (a[j] > x) j ; if (i <= j) { đổichỗ a[i] và a[j]; i++; Input : a[1 n] Output : a[1 n] không giảm. Mô tả thuật toán : Q - Thuật toán phân hoạch Input : a[1 n],l,r; Output : a[l r] tăng dần QS(a,l,r) ≡ j = r; x = do { i++; Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 38 - j ; } j); 3. } while (i <= if (l < j) QS(a,l,j); if (r > i ) QS(a,i,r); Độ phức tạp của thuật toán • Điều tốt nhất có thể xảy ra trong QuickSort là mỗi giai đoạn phân hoạch phân chia mảng thành 2 nửa. Điều này khiến cho số lần so sánh cần thiết của QuickSort thỏa mãn công thúc truy hồi “chia để trò “ sau đây : nTT nn + = 2 2 ≅ nLg n. 2 2 n T : P n : Ph chia sẽ chia n phần tử thành n-1 phần tử trái và 1 phần tử phải. Kết quả ø cần tới n phép chia ( thay cho lgn), và như thế độ phức tạp sẽ là T(n) = O(n 2 ). uật toán QuickSort không có hiệu • Trong trường hợp trung bình : hí tổn sắp xếp 2 mảng con. í tổn kiểm tra mỗi phần tử. • Trường hợp xấu nhất ứng cho việc chọn phần tử x lại có giá trò lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong dãy. Giả sử phần tử lớn nhất được chọn ( phần tử x ), khi đó mỗi bước la Trong trường hợp dãy nhập vào đã có thứ tự (thuận hay ngược), phần tử lớn nhất được chọn sẽ nằm ở các biên ( phải hoặc trái), cho nên th quả. Công thức truy hồi để tính số lần so sánh mà QuickSort cần để hoán vò ngẫu nhiên n phần tử là : )( 1 )1( 1 1 ∑ ≤≤ −− knk T ; Với n ≥ 2; C 0 = C 1 = 1. Giá trò n+1 b tử phân hoạch với mỗi phần tử còn lại, tổng còn lại k có thể là phần tử phân hoạch với xác suất ++= n n nT +T nk ao hàm chi phí so sánh phần mang ý nghóa là mỗi phần tử 1 k và sau đó còn lại các mảng con có kích thước k-1 và n-k. ∑ − ++= kn TnT 1 1 = ép toán sau cho cả 2 vế : Nhân cho n và trừ cho (n-1)C n-1 : n 2 k n 1 Thực hiện liên tiếp các ph Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 39 - ∑∑ ∑∑ ∑ − = − = 1 kk Ta được : − − = − − = − −+−−+ − +−−++ −−+ 1 1 11 1 1 1 1 1 1 22)1()1( ] 1 2 )[1(2)1 )1( 2 ) n k n k n k k n n n k k TTnnnn T n nnT TnT n n 2)1 − − +=−− 1 1()1( nn nnTnnT = (nn = − 1 1 k k = 1n T 1 ()1()1( − − − + = −− nn nnnnTnnT + Suy ra : nTnnT nn 2)1( 1 + += − Chia cả 2 vế cho n(n+1) : −− ++=+= 21 222 nnn TTT ∑∑ + +=+= 1 1 2 121 nn == 32 kk + ++++ + = 1 212 23 2 4 22 1 2 kk T nn L +−++ 1111 nnnnnn )ln(2 1 2 1 2 ndx T n =≅≅ ∫ ∑ n n 1 1 3 xkn k + = Như vậy, Độ phức tạp trung bình là O(nlnn) ma trận V. Thuật toán nhân Strassen nhân 2 1. Bài toán Cho 2 ma trận vuông a, b cấp n, n là luỹ thừa 2. rận vuông cấp n. Dùng thuật toán Strassen nhân 2 ma t 2. Mô tả Ứng dụng thiết kế chia để trò, mỗi ma trận A, B, C ta chia thành 4 ma trận ma trận con đó : ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 121112111211 BBAACC ùch chia đẻ trò này dẫn đến công là kết quả này cho lời giải T(n) ∈ θ ma ộng trừ vô hướng theo công thức truy hồi : /2) + 18(n/2) 2 ∈ O(n lg7 ) = O(n 2.81 ). con và biểu diễn tích 2 ma trận AxB = C theo các ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 222122212221 BBAACC Trong đó : C 11 = A 11 B 11 + A 12 B 21 C 12 = A 11 B 12 + A 12 B 22 C 21 = A 21 B 11 + A 22 B 21 C 22 = A 21 B 12 + A 22 B 22 Nếu theo cách nhân thông thường, thì ca 2 thưc truy hồi : T(n) = 8T(n/2) + θ(n ). Đáng tiếc (n 3 ). Nhưng theo khám phá của Strasen, chỉ cần 7 phép nhân đệ qui n/2 x n/2 trận và θ(n 2 ) phép c T(n) = 7T(n Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 40 - và 18 phép cộng (trừ) các sô. Để tính : ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ 222122 bba Đầu tiên tính 7 tích : m 2 = (a 11 + a 22 ) (b 11 + b 22 ) b 22 ) - sau đ c 22 = m 2 – m 3 + m 5 – m 7 if ( n == 2 ) else ; ; 12,c21,c22,n); 1,n/2); 1,n/2); 21,n/2); strass(a21,b12,d1,n/2); Cụ thể, để nhân 2 ma trận vuông cấp 2 , theo Strassen chỉ cần 7 phép nhân ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1211 21 1211 2221 1211 bb a aa cc cc - m 1 = (a 12 - a 22 ) (b 21 + b 22 ) m 3 = (a 11 - a 21 ) (b 11 + b 12 ) m 4 = (a 11 + a 12 ) b 22 m 5 = a 11 (b 12 – m 6 = a 22 (b 21 – b 11 ) m 7 = (a 21 + a 22 ) b 11 ó tính c ij theo công thức : c 11 = m 1 + m 2 – m 4 + m 6 c 12 = m 4 + m 5 c 21 = m 6 + m 7 Thuật toán có thể viết như sau : strass(a, b, c, n) ≡ nhan2(a,b,c); { tach(a,a11,a12,a21,a22,n) tach(b,b11,b12,b21,b22,n) tach(c,c11,c strass(a11,b11,d strass(a12,b21,d2,n/2); cong(d1,d2,c11,n/2); strass(a11,b12,d1,n/2); strass(a12,b22,d2,n/2); cong(d1,d2,c12,n/2); strass(a21,b11,d strass(a22,b21,d2,n/2); cong(d1,d2,c Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 41 - strass(a22,b22,d2,n/2); cong(d1,d2,c22,n/2); ,c12,c21,c22,c,n); I. Bài toán hoán đổi 2 phần trong 1 dãy Hop(c11 } V 1. Phát biểu bài toán a[1 n] l ảng với phần à một mảng gồm n phần tử. Ta cần chuyển m phần tử đầu tiên của còn lại của mảng ( n-m phân tử) mà không dùng một mảng phụ . Chẳng ïn, v n = 8 [8] = ( 2, 3, 4 6, 7, 8 ếu m = 3, thì ết qu là : ( 4 5, 6, 7, 1, 2, 3 m ha k ới ả , a , 1, 8, , 5, ) ) N Nếu m = 5, thì kết quả là : ( 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5) là : ( , 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4) Nếu m = 4, thì kết quả 5 2. Ý tưởng * Nếu m = n – : H ùn đổi c phần của 2 mảng ù độ da ằng n : Nếu m ≠ n – m : - - Nếu m < n – m : hoán đổi m phần tử đầu với m phân tử cuối của phần còn lại. Sau đó trong mảng a[1 n-m] ta chỉ cần hoán đổi m phần tử đầu với phần còn lại. - Nếu m > n – m : hoán đổi n-m phần tử đầu tiên với n-m phần tử của phần n] ta hoán đổi n-m phần tử cuối mảng với các phần tử của phần đầu. Như vậy, bằng cách áp dụng phương pháp chia để trò, ta chia bài toán thành bài to ùn con - Bài toán thứ nhất là hoán đổi hai mảng con có độ dài bằng nhau, cụ thể là tử đầu và cuối của mảng cho nhau bằng cách đổi chỗ từng cặp phần tử tương ứng. - Bài toán thứ hai cùng dạng với bài toán đã cho nhưng kích thước nhỏ hơn, nên có thể gọi thuật toán đệ qui để giải và quá trình gọi đệ qui sẽ dừng khi đạt tới sự hoán đổi 2 phần có độ dài bằng nhau ậy m chốt ủa thu ïc hiện thao tác hoán đổi 2 nhóm phần tử, ng khi số lượng phần tử của 2 nhóm cong khác nhau. Nên ta õ thay thuật toán đệ qui bằng thuật toán lặp. 3. Thuật toán m oa ác tử nửa co øi b hau * Nếu m = n – m : sau. Sau đó trong mảng a[n-m+1 . . 2 a : hoán đổi nửa số phần V ấu c ật toán là thư lặp lại thao tác này tro se đầu của mảng với phần còn lại. Input : a[1 n], m. (m Output : a[1 n] với tính chất m phần tử đầu mảng a ( mảng nhập ) nằm cuối ảng // Hoán đổi m phần tử ≤n) m Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Thiết kế và đánh giá thuật toán - 42 - kết quả, n-m phần tử cuối mảng nhập nằm ở đầu mảng kết quả. Mô tả thuật toán : Transpose(a,n,m) ≡ i = m; j = n-m; m = m+1; Khi ( i Exchange(a,m-i,m,j); i = i – j; Ngược lại { j = j – i; Exchange(a,m-i,m+j,i); } ge(a,m-i,m,i); ≠ j) Nếu ( i > j) { } Exchan * Thuật toán exchange : input a, i,j, //vò trí m á ử cần ho; // So phần t án đổi p = 0 → m-1 n = 8, a[8] = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) , m = 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 output a Mô tả : Exchange(a,i,j,m) ≡ Với mọi Đổichỗ (a[i+p], a[j+p]); Minh họa : - Mảng nhập : Hoán đổi - Exchange(a,1,6,3) 4 5 1 2 3 6 7 8 Hoán đổi Trần Tuấn Minh Khoa Toán-Tin Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com [...]... 6-9 4-7 6-7 2-2 1 1-3 1 • Sang lần thứ 2: F1 F2 2-9 0 1-1 5-8 1-2 6-9 4-7 6-7 2-2 1 1-3 1 F 1-1 – 2-9 0 1-2 - 5-8 4-6 - 7-9 2-6 - 7-2 1 1-1 -3 • Sang lần thứ 3 : F1 F2 1-1 – 2-9 0 1-2 - 5-8 4-6 - 7-9 2-6 - 7-2 1 1-1 -3 F 1-1 - 1-2 - 2-5 - 8-9 0 2-4 - 6-6 - 7-7 - 9-2 1 1-1 -3 • Sang lần thứ 4 : F1 F2 1-1 - 1-2 - 2-5 - 8-9 0 2-4 - 6-6 - 7-7 - 9-2 1 1-1 -3 F 1-1 - 1-2 - 2-2 - 4-5 - 6-6 - 7-7 - 8-9 -2 1-9 0 1-1 -3 • Sang lần thứ 5 : F1 F2 1-1 - 1-2 - 2-2 - 4-5 - 6-6 - 7-7 - 8-9 -2 1-9 0... 1-1 -3 F 1-1 - 1-1 - 1-2 - 2-2 - 3-4 - 5-6 - 6-7 - 7-8 - 9-2 1-9 0 Khi đó F được sắp thứ tự 3 Thiết kế * Thuật toán trộn 2 đường trực tiếp : input F[1 n]; // dãy cần sắp Output F đã được sắp Mô tả: p = 1; Trong khi (p j) { Exchange(a,m-i,m,j); i = i - j; } Trần Tuấn Minh Khoa Toán- Tin Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn Simpo PDF Mergevà đánh giá thuật toán Thiết kế and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com - 44 else { j = j - i; Exchange(a,m-i,m+j,i); } Exchange(a,m-i,m,i); } //************************* void Exchange(day... khởi động lại giá trò k = 3-k Thao tác 2 : Trần Tuấn Minh Khoa Toán- Tin Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn Simpo PDF Mergevà đánh giá thuật toán Thiết kế and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com - 47 Đọc p phần tử của F chép vào F1 như thế nào ? Ta đọc từng phần tử của F và chép phần tử đó vào F1; Việc đọc chép từng phần tử này còn được thực hiện trong khi chưa đủ p phần tử và chưa hết dãy... Simpo PDF Mergevà đánh giá thuật toán Thiết kế and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com - 48 k = 3-k; } } while(l . 1-1 – 2-9 0 4-6 - 7-9 1-1 -3 F2 1-2 - 5-8 2-6 - 7-2 1 F 1-1 - 1-2 - 2-5 -8 -9 0 2-4 - 6-6 - 7-7 - 9-2 1 1-1 -3 • Sang lần thứ 4 : F1 1-1 - 1-2 - 2-5 - 8-9 0 1-1 -3 F2 2-4 - 6-6 - 7-7 - 9-2 1 F 1-1 - 1-2 - 2-2 - 4-5 - 6-6 - 7-7 - 8-9 -2 1-9 0. 1-1 - 1-2 - 2-2 - 4-5 - 6-6 - 7-7 - 8-9 -2 1-9 0 1-1 -3 • Sa ng 1-1 - 1-2 - 2-2 - 4-5 - 6-6 - 7-7 - 8-9 -2 1-9 0 lần thứ 5 : F1 F2 1-1 -3 F 1-1 - 1-1 - 1-2 - 2-2 - 3-4 - 5-6 - 6-7 - 7-8 - 9-2 1-9 0 Khi đó F được sắp thứ tự . 3. Thiết kế * Thuật toán. ược ghi vào F. 2-9 0 1-1 5-8 1-2 6-9 4-7 6-7 2-2 1 1-3 1 quả trộn đ F • Sang lần thứ 2: 1 1-3 F 2-9 0 5-8 6-9 6-7 F2 1-1 1-2 4-7 2-2 1 1 F 1-1 – 2-9 0 1-2 - 5-8 4-6 - 7-9 2-6 - 7-2 1 1-1 -3 •