skkn phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” PHẦN I:MỞ ĐẦU I Ly chọn đề tài Toán học là một những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ mợt vai trị quan trọng śt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm những biện pháp dạy học có hiệu quả việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Khi giải toán, các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc Trong chuyên mục “Sai đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm Nhà sư phạm toán tiếng G Polya đã nói : “Con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót của mình” A.A Stoliar nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích giờ học các sai lầm của học sinh” Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến thức khá quan trọng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình… Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì thấy học sinh quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…thường gặp những sai lầm đó nghiêm trọng có thể làm sai bản chất của vấn đề Vì viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm cách dạy, cách học cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư và suy luận lơgic II Mục đích đề tài Trên sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt đặt biệt là tránh sai sót và ngộ nhân giải các bài toán III Phạm vi nghiên cứu GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Để thực đề tài này, thực nghiên cứu đơn vị công tác là Trường THCS Lý Tự Trọng Cụ thể là các khối lớp 8, và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện năm qua IV Cơ sở nghiên cứu Để thực đề tài này, dựa sở các kiến thức đã học Trường Đại học Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học sở và cả mang Internet V Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VI Thời gian nghiên cứu Đề tài được thực từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010 VII Giới hạn đề tài Đề tài được sử dụng việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ môn Toán PHẦN II: NỘI DUNG I CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC Muỗi nặng voi! Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng voi” đây: Gọi khối lượng muỗi là: m (kg) m > Gọi khối lượng voi là: v (kg) v > Đặt c = m+v ⇔ m = 2c − v (1) ⇔ 2c − m = v (2) GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Nhân vế của (1) với (2) ta được: m( 2c − m ) = v( 2c − v ) ⇔ 2mc − m = 2vc − v ⇔ m − 2mc + c = v − 2vc + c ⇔ ( m − c )2 = ( v − c )2 ⇔ m−c = v−c ⇔m=v Vậy muỗi nặng bằng voi (!) Vậy sai lầm đâu? Phải học sinh thường mắc phải suy luận: 2 A2 = B2 ⇔ A = B Sửa lại cho A = B ⇔ A = B Đây là bài toán sách Để học tốt Toán của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho các em học sinh lớp tham khảo, rút kinh nghiệm làm toán hằng đẳng thức Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán trang 12) Hãy tìm chỗ sai phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng voi” Giả sử khối lượng muỗi m(g) và khối lượng voi V(g) Ta có: m +V =V +m ⇒ −2mV +V =V −2 mV +m m ⇒ m −V )2 =(V −m )2 ( ⇒ ( m − V )2 = (V − m )2 ⇒ m −V = V − m ⇒ 2m = 2V ⇒ m =V Vậy muỗi nặng bằng voi (!) Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối hằng đẳng thức: A = A thì có lúc nào đó muỗi sẽ nặng bằng voi GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Sai lầm học sinh không chú y đến điều kiện để một biểu thức có bậc hai, A có nghĩa; quy tắc nhân bậc hai, chia bậc hai Ví dụ 1: Có học sinh viết: +Vì ( −4 ).( −25 ) = nên + Vì 100 = 10 và −4 −25 = ( −4 ).( −25 ) = 100 = 10 ( −4 ).( −25 ) = −4 −25 −147 −3 = −147 = 49 = và −3 Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính (!) −147 = 49 = nên −3 −147 −3 = −147 (!) −3 2010 − 2011 + Cách giải sai: 2010 − 2011 = −2010 + 2010 − = −( 2010 − 2010 + ) = −( 2010 − ) = −( 2010 − ) = 2010 − ( ! )   • Nguyên nhân: - Khi làm học sinh chưa nắm vững cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại - Học sinh chưa nắm rõ quy tắc nhân bậc hai,chia hai bậc hai • Biện pháp khắc phục: - Khi dạy phần giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu thức có bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có: a b = ab ; a a = b b Sai lầm học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tụt đới mợt sớ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = a − 5a ( Với a < ) + Cách giải sai: A = a − 5a = a − 5a = 2a − 5a = −3a ( với a < ) (!) + Cách giải là: A = a − 5a = a − 5a = −2a − 5a = −7a ( với a < ) Ví dụ 2: Tìm x, biết : 4(1 − x )2 - = + Cách giải sai : 4(1 − x )2 - = ⇔ (1 − x )2 = ⇔ 2(1 - x) = ⇔ 1- x = ⇔ x = - Như thế theo lời giải sẽ bị mất nghiệm + Cách giải đúng: 4(1 − x )2 - = ⇔ (1 − x )2 = ⇔ − x = GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Ta phải giải hai phương trình sau : 1) 1- x = ⇔ x = -2 2) 1- x = -3 ⇔ x = Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = + Nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu rõ về số âm số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu a b 2 Ta có : a − 2ab + b = b − 2ab + a hay ( a − b ) = ( b − a ) (1) Lấy bậc hai hai vế ta được: ( a − b) = ( b − a) Do đó: a − b = b − a ⇒a=b Từ đó : 2a = 2b Vậy bất kì hai số nào cũng bằng Học sinh này sai lầm ở chô : Sau lấy bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: a − b = b − a chứ không thể có a - b = b- a A2 = A , giá + Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức trị tuyệt đối của một số âm Ví dụ 4: Tìm x cho B có giá trị là 16 B = 16 x + 16 - x + + 4x + + x + với x ≥ -1 + Cách giải sai : B = x + -3 x + + x + + x +1 B = x +1 16 = x + ⇔ = x + ⇔ 42 = ( x + )2 hay 16 = ( x + 1) ⇔ 16 = | x+ 1| Nên ta phải giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + ⇔ x = 15 2) 16 = -(x+1) ⇔ x = - 17 + Cách giải đúng: B = x + -3 x + + x + + x + (x ≥ -1) B = x +1 16 = x + ⇔ = x + (do x ≥ -1) ⇔ 16 = x + Suy x = 15 + Nguyên nhân : Với cách giải ta được hai giá trị của x x = 15 x =17 chỉ có giá trị x = 15 thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng Đâu nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính sự áp dụng rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của toán, với x ≥ -1 thì biểu thức tồn tại nên không cần đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” + Biện pháp khắc phục: Qua tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa : A2 = A nếu A ≥ ( tức A lấy giá trị không âm ); A2 = -A nếu A < ( tức A lấy giá trị âm ) Sai lầm kỹ giải bài tốn rút gọn Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số tập trang 27 Rút gọn: 2 x − y2 3( x + y )2 với x ≥ , y ≥ , x ≠ y Một học sinh A làm sau: x2 − y2 3( x + y )2 = 3.22 ( x + y )2 6( x + y )2 = = x− y 2( x − y )2 ( x − y ) ( x + y )2 Một học sinh B làm sau: 2 x − y2 x − y 3( x + y )2 = = ( x − y )( x + y ) x− y (vì x ≥ , y ≥ , x ≠ y ) Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng? Dễ thấy em học sinh A làm sai! Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán - tập1 – trang 32 ) Rút gọn biểu thức sau: 20 − 45 + 18 + 72 +Cách giải sai: 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 2.9 + 36.2 = − + + = − + 15 = 14 + Cách giải là: 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 2.9 + 36.2 = − + + = 15 − + Nguyên nhân: Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi: x A + y B − z A + m = ( x − z ) A + y B + m ( A,B ∈ Q+ ; x,y,z,m ∈ R ) - Biện pháp khắc phục: GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Khi dạy phần tổng thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh khắc sâu tránh những sai sót Ví dụ 3: Bài tập Rút gọn: A = 32 x + ( −5 ) ( với x ≥ ) x − 4x +Cách giải sai : A = 32 x + ( −5 ) x − x = x − x − x = −4 x + Cách giải là : Với x ≥ Ta có: ( −5) A = 32 x + x − 4x = x + −5 x − x = x + x − x = x Ví dụ 4: Bài 3b ( SBT toán – trang 27 ) Rút gọn biểu thức: M = x −3 + −48 x x +Cách giải sai : −3 −3 x + −48 x = + −3 x x x M = 2x = −3x + −3 x = −3 x (!) + Cách giải đúng: M = 2x −3 + −48 x Điều kiện để M xác định là: x < x −3 ( − x ) Khi đó: M = −2 + 16.( −3) x = −2 −3 x + −3 x = −3 x x Ví dụ 5: Giải tập sau: Rút gọn biểu thức: M = y − xy − −y x y xy − y − y x = y + Cách giải sai: M= = y − xy − −y x− y y − x = y x = y x −1− y x = −1 y y ( x− y y y )− x y (!) + Cách giải : Đk để M xác định: xy ≥ ; y ≠ Ta xét hai trường hợp: * x ≤ 0; y < GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” M= y − xy − −y = 1− x − y x = y y − xy y = y − xy − −y y− x − y x y y− x )− x x = 1− y y * x ≥ ; y>0 M= − − x = y x = −1 + y y ( − y y x − y Vậy: nếu x ≤ ; y0 thì M = −1 y + Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc A2 B = A B với B ≥ , điều kiện để một thừa số đưa được vào dấu bậc hai, điều kiện để nghĩa bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương A tồn tại, định + Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững: + A2 B = A B với B ≥  A2 B vo 'i A ≥ 0; B ≥  + A B = − A2 B vo 'i A < 0; B ≥  + A tồn tại A ≥ x ≥  a =x⇔ 2 + a≥0, x = a = a  ( ) + Nếu A ≥ , B > thì A = B A B Khi trục thức mẩu, khai phương mợt tích, khai phương mợt thương học sinh thường mắc phải một số sai lầm: Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán - tập – trang 19 ) Tính 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, + Cách giải sai: 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = = 1, 2.1,1 − 1, 2.0, = 1,32 − 0, 24 = 1, 08 (!) + Cách giải đúng: 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = 1, 44 ( 1, 21 − 0, ) = 1, 44.0,81 = 1, 2.0,9 = 1,08 Ví dụ 2: Giải các bài tập sau: GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Tính: a 81.256 ; 625 16 b + Cách giải sai: a 81.256 = 16 = = 12 (!) 625 25 5 = = = (!) 16 2 + Cách giải đúng: a 81.256 = 81 256 = 9.16 = 144 b b 625 625 25 = = 16 16 Vi dụ 3: Khi giải bài toán trục thức mẫu + Cách giải sai : a 5+2 + 15 + = = 3 b −1 −1 −1 = = = −1 −1 −1 ( hoặc = −1 hoặc = −1 ( ( ) ( hoặc c ( ( ) +1 )( −1 ( ) ) +1 ) +1 = = ( +1 )= +1 ( +1 ) = 2( +1 +1 )= +1 +1 12 5 7 = = = + 7 + 2.7 + 17 = +3 d )( −1 hoặc ( ( −3 )( +3 ) −3 ) = ( −3 ( − ) ) = 5( −3 −4 ) = −5 ( −3 ) a = a +3 a a = = a +3 a +3 a −3 ( - Cách giải đúng: GV: Võ ) ( ) ( ) − 25 −1 ( + 1) ( + 1) = = = −2 ( + 1) −1 −1 − 1( + 1) ( − 1) ( − 1) −1 = = = −1 − ( − 1) ( + 1) hoặc hoặc ) ( )( ) ) + 5+2 15 + = = Kim Oánh-Trường THCS Lý 3 ( ) a ( a) − 32 = Tự Trọng a 2a − Trang 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” a b c = −1 ( ( ) +1 )( −1 ) +1 ( = ( )= +1 −1 ) ( +1 ) −3 −3 = = 2 +3 +3 −3 − 32 ( = d ( −3 28 − ) = 10 )( ) ( − 15 19 ( ) ) ( a a −3 a a −3 a = = 2 a +3 a +3 a −3 a − 32 ( = ( a a −3 4a − )( ) = 4a − ) ( ) ) a 4a − 9 (với a ≥ và a ≠ ) - Nguyên nhân: + Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A + B = A + B ” tương tự A.B = A B ( với A ≥ B ≥ ) để tính + Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương + Học sinh mất kiến thức bản ở lớp dưới nhất hằng đẳng thức tính chất bản của phân thức + Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục thức bậc hai ở mẫu thế hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức liên quan đến hằng đẳng 2 thức: A − B = ( A − B ) ( A + B ) - Biện pháp khắc phục: + Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng A + B = A + B tương tự A.B = A B ( với A ≥ B ≥ ) + Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan Chẳng hạn hằng đẳng thức, tính chất bản của phân thức + Nhấn mạnh thế hai biểu thức liên hợp của + Cần khắc sâu công thức: A A B = , với B > B B ( ) C A mB C , với A ≥ A ≠ B = A− B A±B C C = A± B ( Am B A− B ) , với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Lạm dụng định nghĩa bậc hai số học một số a ≥ giải bài toán về bậc ba : Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19) Giải phương trình: x − + = x + Cách gải sai: (2) x −1 +1 = x ⇔ x −1 = x −1  x −1 ≥  x ≥ ⇔ ⇔  x − = ( x − 1) ( x − 1) x − x =   x ≥  x ≥    x = 0(loai ) ⇔ ⇔   x ( x − 1) ( x − ) =   x =  x =  ( ) Vậy phương trình (2) có nghiệm x1=1; x2=2 + Cách giải đúng: (!) x − + = x ⇔ x − = x − ⇔ ( x − 1) = x − ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x ) = ⇔ x ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = hoặc x = hoặc x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1 = 0; x2 = 1; x3 = - Nguyên nhân: + Học sinh lạm dụng định nghĩa bậc hai số học của một số a ≥ x ≥  a =x⇔ x = a  ( ) =a + HS chưa nắm vững định nghĩa bậc ba của một số a - Biện pháp khắc phục: Khi giảng phần giáo viên cần cho học sinh nắm định bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa bậc hai của một số a ≥ ; bậc hai số học của một số a ≥ bậc ba của một số a Sai lầm kĩ biến đổi : Trong học sinh thực phép tính các em có bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai Ví dụ : Tìm x, biết : (4- 17 ).2 x < (4 − 17 ) - Cách giải sai : (4- 17 ).2 x < (4 − 17 ) ⇔ 2x < ( chia cả hai vế cho 4- 17 ) ⇔ x < GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” - Cách giải : Vì = 16 < 17 nên - 17 < 0, đó ta có: (4- 17 ).2 x < (4 − 17 ) ⇔ 2x > ⇔ x > - Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng không có vấn đề gì Học sinh nhìn thấy tốn thấy tốn khơng khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều” - Biện pháp khắc phục: Chỉ sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 17 mới bỏ qua biểu thức - 17 số âm, dẫn tới lời giải sai Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức : - Cách giải sai : x2 − x+ x2 − x+ = ( x − )( x + ) x+ = x- - Cách giải : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn thì cần phải có x + ≠ hay x ≠ - Khi đó ta có x2 − x+ = ( x − )( x + ) x+ = x - (với x ≠ - ) - Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- thì x + = 0, đó biểu thức x2 − x+ sẽ không tồn tại Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, sai lúc giải vì không có cứ lập luận, vì vậy biểu thức có thể không tồn tại thì có thể có kết quả được II/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ví dụ 1: Giải PT: ( x + 2011 ) x − 2010 = (*) + Lơì giải sai: Ta có : ( x +2011) x −2010 = x +2011 = 2011 2011 x =− x =− ⇔ ⇔ ⇔ x −2010 = x = 2010  x −2010 = + Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình + Lời giải đúng: Điều kiện: x ≥ 2010 ⇒ x + 2011 > GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Do đó: ( x + 2011) x − 2010 = ⇔ x − 2010 = (Vì: x + 2011 > 0) ⇔ x − 2010 = ⇔ x = 2010 Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*) Ví dụ 2: Giải pt: x − − x − = x − (1) + Lời giải sai: (1) ⇔ x − = 5x − − 3x − ⇔ x −1 = x −1 + x − + 15 x −13 x + ⇔ − x = 15 x −13 x + ( ⇔ −14 x + 49 x = 15 x − 13 x + ) (Bình phương hai vế ) (4) (5) ⇔ 11 x − 24 x + = ⇔ ( 11 x − ) ( x − ) =  11 x − =  x = 11 ⇔ ⇔  x − = x = + Phân tích sai lầm: Không ý đến điều kiện thức có nghĩa x − xác định x ≥ Do đó x = Không phải là nghiệm 11 Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương 2 − x ≥ Mà (4) ⇔  2 ( − x ) = 4( 15 x − 13 x + ) Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với phương trình (4) với điều kiện: − x ≥ ⇔ x ≤ Do đó x = cũng không phải là nghiệm của (1) + Cách giải đúng: Cách 1: Giải xong thử lại Cách 2: Đặt điều kiện thức xác định ≤ x ≤ Do đó giải xong kết luận phương trình vô nghiệm GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Cách 3: Chứng minh: Vế trái sớ âm Cịn vế phải không âm Kết luận phương trình vô nghiệm Ví du 3: Giải phương trình: x+4 = x+2 + Lời giải sai: x = x + = x + ⇔ x + = x + x + ⇔ x( x + ) = ⇔   x = −3 Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình + Cách giải đúng:  x ≥ −2  x + ≥  x ≥ −2  x+4 = x+2⇔  ⇔ ⇔  x = ⇔ x =  x ( x + 3) = x + = x + 4x +    x = −3  Ghi nhớ : B ≥ A=B⇔ A = B Ví dụ 4:Giải phương trình: 2x + =1 x−2 + Lời giải sai: Điều kiện: x > 2x + 2x + =1⇔ = ⇔ x + = x − ⇔ x = −7 (loại) x−2 x−2 Vậy phương trình vô nghiệm Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7? Ghi nhớ : Như lời giải đã bỏ sót một trường hợp khi: A ≤ 0; B < Nên mất một nghiệm x= -7 + Lời giải đúng: Điều kiện: x > hoặc x ≤ -2,5 2x + 2x + =1⇔ = (với x > hoặc x ≤ -2,5) x−2 x−2 ⇔ x + = x − ⇔ x = −7 (Thỏa mãn điều kiện) GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” Vậy phương trình có nghiệm x = -7 Ví dụ 5: Giải phương trình: x − + x − = x + (1) + Lời giải sai: 2x − + 4x − = 6x + ⇔ x − + 3 ( x − 1) ( x − 1) ( ) x −1 + x −1 = x −1 ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ( x + ) = ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ( x + ) = ⇔ 48 x − 28 x = ⇔ 12 x − x = ⇔ x=0 hoặc x = 12 Nhận xét: Dễ thấy là x = không phải là nghiệm của (1) Ghi nhớ: Phép biến đổi thứ từ xuống là phép biến đổi hệ quả (suy ra) nên tập nghiệm cuối của phương trình bao giờ cũng nhiều nghiệm ban đầu… Do đó giải phương trình bằng biến đổi hệ quả bao giờ cũng phải thử lại Còn bài này chỉ sai có một cái dấu ⇔ dòng thứ phải là ⇒ đúng! III/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x − 16 x + 60 < x − +Lời giải sai: Bình phương hai vế : x − 16 x + 60 < x − 12 x + 36 ⇔ 24 < x ⇔ x>6 + Phân tích sai lầm: Sai lầm hai chỗ: GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” - Chưa đặt điều kiện để thức có nghĩa - Chưa đặt điều kiện để x − ≥ trước bình phương hai vế + Lời giải đúng: Bổ sung thêm hai điều kiện:  − x 16x + 60 ≥0(1)  x  − ≥0(2) x ≤  x ≥ 10 Điều kiện (1) cho ( x – ) ( x – 10 ) ≥ ⇔  Điều kiện (2) cho x ≥ Kết hợp các điều kiện: x ≤    10  x ≥  x ⇔ 10 x ≥ ≥ > x    Nghiệm của bất phương trình đã cho: x ≥ 10 Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức có nghĩa: A= x − 2x + + Lời giải sai: Điều kiện của x: 2x + ≥0(1)    x 1(2)  ≥ 2x +  − Giải (1) ta được: x ≥ x < − 2 Giải (2) ta được: x > 2x +1 ⇔ x − 2x-1>0 ⇔  x > +   −  ≤ x +  + Phân tích sai lầm: Sai lầm giải bất phương trình (2): Khi bình phương hai vế của (2) chưa đặt điều kiện x > GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 17 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” + Lời giải đúng: Điều kiện của x: 2x + ≥0(1)    x 1(2)  ≥ 2x +  − Giải (1) ta được: x ≥ Giải (2): x > (2) ⇔  ⇔ x > 2x +  x >   x < 1−    x > 1+ Vậy biểu thức A có nghĩa khi: Ví dụ : Tìm x cho: x >1 + x2 − + ≤ x2 + Lời giải sai: Điều kiện: x ≥3 x − + ≤x ⇔ x − ≤x − 3 3(1) ⇔ x − − x − ≤0 ( 3) ⇔ x2 − 3(1 − x − ≤0(2) 3) ⇔ − x2 − ≤ (1 3) 0(3) ⇔ x2 − ≥ 1(4) ⇔2 − ≥ x 1(5) ⇔ ≥4(6) x ⇔ ≥2(7) x + Phân tích sai lầm: Sai lầm biến đổi (2) tương đương với (3)  x2 − = Đúng phải là: (2) ⇔  , (Vì: x ≥ ) 1 − x − ≤  + Lời giải đúng: Điều kiện: x ≥ ⇔ x ≥ x ≥ 3 ⇔ x ≤ −  GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 18 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” x −3 +3 ≤ x ⇔ x −3 ≤ x −3 ⇔ x −3 −( x −3) ≤ ⇔ x −3(1 − x −3) ≤  x2 − = ⇔  (1 − x − 3) ≤  (Vì: x – ≥ ) x = ± ⇔  x2 − ≥1  x = ± ⇔ x − ≥1  x = ± ⇔ x ≥  x = ± x = ±  ⇔ ⇔ x ≥ x ≥2   x ≤ −2  Vậy: x = ± 3; x ≥ 2; x ≤ −2 Ghi chú: Hãy chú ý đến dấu “=” giải bất phương trình IV/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRI Ví dụ 1: Cho A = x2 - 3x +5 Tìm Min A với x ≥ 2?  11 11  + Lời giải sai: A =  x − ÷ + ≥ ; ∀x ∈ R 2 4  11 Vậy Min A = + Nguyên nhân sai: hiểu chưa khái niệm + Lời giải đúng: GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 19 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán”  3 11 Ta có: A =  x − ÷ + 2   3 1 11 Với x ≥ thì  x − ÷ ≥ ⇒ A ≥ + = 2 4  Vậy Min A= x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x y z + + với x, y, z > y z x + Lời giải sai: Giả sử x ≥ y ≥ z > Ta suy ra: x - z > ⇒ y(x - z) ≥ z(x - z) ⇒ xy - yz + z2 ≥ xz y y z − + ≥ (1) z x x x y Mặt khác, ta có + ≥ (2) y x x y z + + ≥3 Cộng (1) và (2): y z x Chia hai vế cho xz: Min A = ⇔ x = y =z + Phân tích sai lầm: Khi hoán vị vòng quanh x → y → z thì biểu thức A y z x trở thành + + , tức là biểu thức không đổi Điều đó cho phép ta giả sử x là số z x y lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), không cho phép giả sử x ≥ y ≥ z Thật sau chọn x là số lớn nhất (x ≥ y, x≥ z) thì vai trị của y và z khơng bình đẳng: giữ nguyên x z y x, thay y z, thay z y ta được: + + , không bằng biểu thức A z y x + Cách giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z: x y z x y z + + ≥ 3.3 = y z x y z x x y z = = , tức là x = y = z Do đó Min A = và chỉ y z x A= Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x − x + 2019 + Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất mẫu nhỏ nhất Ta có: x2 - 6x + 2019 = (x - 3)2 + 2010 ≥ 2010, ∀ x ∈ R Min(x2 - 6x + 2019) = 2010 ⇔ x = Vậy Max A = ⇔ x = 2010 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 20 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” + Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai lập luận sai khẳng định “A có tử không đổi nên có giá trị không lớn nhất mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử và mẫu là các số dương Ta đưa một ví dụ: Xét biểu thức B = Với lập luận “Phân thức B có tử x − 2010 không đổi nên có giá trị lớn nhất mẫu nhỏ nhất”, mẫu nhỏ nhất bằng -2010 1 ⇔ x = Điều này không đúng: − x = 0, ta sẽ đến: max B = − không 2010 2010 phải là giá trị lớn nhất của B, Chẳng hạn với x = 200 thì B= 1 = >− 2010 100 − 2010 7990 Mắc sai lầm là không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên + Lời giả đúng: Ta có: x - 6x + 2019 = (x - 3)2 + 2010 ≥ 2010, ∀ x ∈ R Suy ra: A= > , ∀x ∈ R x − x + 2019 Do đó: A lớn nhất và chỉ nhỏ nhất ⇔ x2 - 6x + 2019 nhỏ nhất A Mà: Min(x2 - 6x + 2019) = 2010 ⇔ x = Vậy Max A = ⇔ x = 2010 Ví dụ 4: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS – trang 18) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + x + Cách giải sai: Ở bài này học sinh thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm 1  giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào x + x =  x + ÷ − mà biến đổi 2  1 1  A= x+ x = x + ÷ − ≥− 2 4  1 −1 ⇒ A = − ⇔ x + = ⇔ x = 4 1 Vậy A = − ⇔ x = − 4 + Cách giải đúng: x xác định x ≥ Do đó: A = x + x ≥ ⇒ A = ⇔ x = + Nguyên nhân: Khi làm học sinh chưa nắm vững cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 21 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán”    2 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M =  x + ÷ y + ÷ y  x   đó x, y là các số dương thay đổi, thỏa mãn x + y = + Lời giải sai: Ta có :  1 x  x − ÷ ≥ ⇒ x + ≥ y y y  1 y   y − x ÷ ≥ ⇒ y + x ≥ x   Mặt khác, vì x > ; y > nên suy :    x y  x + ÷ y + ÷ ≥ .2 = y  x  y x  Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4, xy = + Phân tích sai lầm: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 4, đạt được x.y = Khi đó kết hợp với điều kiện x + y = của đề bài, ta có hệ : x + y =   x.y = Dễ dàng nhận thấy hệ vô nghiệm, tức là M bằng Do đó lời giải là sai + Lời giải đúng: 2    x2 y2 + x2 y2 +  x2 y2 +    M =  x + ÷ y + ÷ = = ÷ =  xy + ÷ 2 y  x  y x xy    xy   Mặt khác ta có:   15 xy + =  xy + (1) ÷+ xy  16 xy  16 xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 xy + ≥ xy = (2) 16 xy 16 xy 1 x+ y ≥ (3) = ≥ xy nên xy ≤ , suy ra: xy 2 Từ (1), (2) và (3) ta có: 2 1 15 17   17  289  xy + ≥ + = ⇒ M =  xy + ÷ ≥  ÷ = 16 xx 16 xx     Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 289 và chỉ khi: 16 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” x = y  ⇔x=y=   xy = 16 xy  (thỏa mãn x + y = ) Ghi chú: - Nguyên nhân dẫn đến sai lầm các ví dụ chính là các bạn đã quên không xác định các giá trị tương ứng của các biến để bất đẳng thức trở thành đẳng thức Đặc biệt, trường hợp giá trị của biến tồn thì chúng có thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không PHẦN III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN - Sau trực tiếp áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận định rằng: Đề tài áp dụng đã có hiệu quả nhất định vì nó gần gũi và phù hợp với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi - Dạy các tiết bài tập - Dạy vào tiết tự chọn - Bồi dưỡng học sinh giỏi PHẦN IV: KẾT QUẢ Trong quá trình giảng dạy đã làm phép đối chứng các học sinh giỏi toán của trường nhiều năm qua đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục thế nào Kết quả 90% học sinh có thể định hướng và vận dụng giải các bài toán thành thạo một cách có hiệu quả Như sau phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải bài toán bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ thì số học sinh giải bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm lập luận tìm lời giải giảm nhiều Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên PHẦN V: KẾT LUẬN Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút được cho bản thân cách dạy, cách học thế nào cho hiệu quả nhất Phần kiến thức bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ các phép biến đổi rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực tế nhận thấy để dạy học được tốt thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 23 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán thì giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh Với sáng kiến “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó phân tích các điểm và khó phần kiến thức này so với khả tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả phát những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa được hướng giải quyết cũng biện pháp khắc phục các sai lầm đó Bên cạnh đó phân tích các sai lầm của học sinh và nêu các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học từng dạng bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu Ngoài tơi cịn đưa mợt sớ bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ của mình Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và chỉ nghiên cứu một phạm vi, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết Đặc biệt gặp sai lầm giải toán là điều khó tránh khỏi Tìm sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào Nhưng nếu các bạn có ý thức giải toán thì chắn các bạn sẽ thành công ! Vì chỉ đưa những vấn đề bản nhất để áp dụng vào năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho để sáng kiến được đầy đủ có thể vận dụng được tốt và có chất lượng những năm học sau Tôi xin chân thành cám ơn ! Pơng Drang, ngày28 tháng 11 năm 2010 Người viết Võ Kim Oánh TÀI LIỆU THAM KHẢO Trong bài viết có sử dụng một số tài liệu 1/ Sách giáo khoa đại số 6, 7, 8, Nhà xuất bản giáo dục GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 24 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán” 2/ Để học tốt toán Tuyển tập đề thi từ 1990-2005 4/ Một số vấn đề phát triển đại số GS Hoàng Chúng 3/ TS: Trần Phương Vũ Hữu Bình 5/ Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn 6/ 500 Bất đẳng thức GS: Phan Huy Khải 7/ Tạp chí Toán học tuôir trẻ 8/ Tạp chí Toán học tuổi thơ 9/ Diễn đàn Toán học GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 25 ... ; x,y,z,m ∈ R ) - Biện pháp khắc phục: GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ? ?Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán? ?? Khi dạy phần tổng... Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ? ?Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán? ?? + Biện pháp khắc phục: Qua tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho... KINH NGHIỆM ? ?Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm giải toán? ?? Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b Một học sinh phát biểu sau: “Bất kì hai số nào cũng bằng ” và thực sau: