bất đẳng thức và phương pháp chứng minh

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a b. a b, a > b, a − b a b, a  b, a − b a b, a < b, a − b a b a  b, a −b a |a| =  a a  0 −a a < 0. a, b, c n a > b ⇐⇒ a −b > 0 a > b ⇐⇒ a + c > b + c a > b ⇐⇒ a 2n+1 > a 2n+1 |a| > |b| ⇐⇒ a 2n > a 2n a  b ⇐⇒  a=b a>b. a > b, c > 0 ⇐⇒ ac > bc c < 0 ⇐⇒ ac < bc. a > b, b > c =⇒ a > c. |a|  α ⇐⇒  α  0 −α  a  α. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a, b, c, x, y, z d = 0 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a −b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca). (a + b) 3 = a 3 + 3ab(a + b) + b 3 (a −b) 3 = a 3 − 3ab(a − b) −b 3 . a 2 − b 2 = (a − b)(a + b). a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ). (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay − bx) 2 . (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 + (ay − bx) 2 + (bz − cy) 2 + (cx − az) 2 . |ab| = |a||b|, | a d | = |a| |d| |a| = |b| a = ±b. a, b, c, x, y, z d = 0 a 2 + b 2  2ab. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 )  (ax + by) 2 . (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 )  (ax + by + cz) 2 . ||a| −|b||  |a + b|  |a| + |b|. (a −b) 2  0 a 2 + b 2  2ab. a = b. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 + (ay − bx) 2  (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 )  (ax + by) 2 . a x = b y . (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) = (ax+by+cz) 2 +(ay−bx) 2 +(bz−cy) 2 + (cx−az) 2  (ax+by+cz) 2 (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 )  (ax+by+cz) 2 . a x = b y = c z . |a|  ±a, |b|  ±b. a+b  0 |a+b| = a+b  |a|+|b|; a+b < 0 |a+b| = −a−b  |a|+|b|. |a+b|  |a|+|b|. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn |a| = |a +b +(−b)|  |a +b|+|−b| = |a + b|+ |b| |a|−|b|  |a +b|. |b| = |a + b + (−a)|  |a + b| + | − a| = |a + b| + |a| |b| −|a|  |a + b|. ||a| −|b||  |a + b|  |a| + |b|. a, b, c, x, y, z, u, v, t  0 a + b + c  3 3 √ abc. 3  (a + x)(b + y)(c + z)  3 √ abc + 3 √ xyz. 3  (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t)  3 √ abc + 3 √ xyz + 3 √ uvt. a + b + c + 3 √ abc  2 √ ab + 2  c 3 √ abc  4 4  abc 3 √ abc a + b + c + 3 √ abc  4 3 √ abc a + b + c  3 3 √ abc. a + x, b + y, c + z a + x = 0, a = x = 0 a + x, b + y, c + z = 0 :        a a + x + b b + y + c c + z  3 3  abc (a + x)(b + y)(c + z) x a + x + y b + y + z c + z  3 3  xyz (a + x)(b + y)(c + z) 3  3 3 √ abc + 3 √ xyz 3  (a + x)(b + y)(c + z) . 3  (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t)  3  (a + x)(b + y)(c + z)+ 3 √ uvt 3  (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t)  3 √ abc+ 3 √ xyz+ 3 √ uvt. a, b, c  0. 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2  2 1 + ab ab  1. 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2 + 1 1 + c 2  3 1 + abc a, b, c  1. 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  1 1 + ab . 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  2 1 + ab ab  1. 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c) 2  3 1 + abc a, b, c  1. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2  2  1 +  a + b 2  2 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2 + 1 √ 1 + c 2  3  1 +  a + b + c 3  2 a, b, c  1 √ 2 . (ab−1)(a−b) 2  0. 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2  2 1 + ab ab  1. a, b, c  1            1 1 + a 2 + 1 1 + b 2  2 1 + ab  2 1 + abc 1 1 + b 2 + 1 1 + c 2  2 1 + bc  2 1 + abc 1 1 + c 2 + 1 1 + a 2  2 1 + ca  2 1 + abc 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2 + 1 1 + c 2  3 1 + abc . (ab −1) 2 + ab(a −b) 2  0. 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  1 1 + ab . a, b, c  1              1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2  2 1 + ab  2 1 + abc 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c) 2  2 1 + bc  2 1 + abc 1 (1 + c) 2 + 1 (1 + a) 2  2 1 + ca  2 1 + abc 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 + 1 (1 + c) 2  3 1 + abc . y = 1 √ 1 + x 2 x > 0 y  = −x(1+x 2 ) −3/2 < 0. y y” = 3x 2 (1 + x 2 ) −5/2 − (1 + x 2 ) −3/2 = 2x 2 − 1  (1 + x 2 ) 5  0 x  1 √ 2 y 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2  2  1 +  a + b 2  2 1 √ 1 + a 2 + 1 √ 1 + b 2 + 1 √ 1 + c 2  3  1 +  a + b + c 3  2 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a, b, c  1 √ 2 . ab > 1 a = 2, b = 1 ab = 2 > 1 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 = 1 9 + 1 4 < 2 3 = 2 1 + ab ; a = 9, b = 1 ab = 9 > 1 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 = 1 100 + 1 4 > 2 10 = 2 1 + ab . A  B A −B A − B  0. a, b, c a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca. a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca = 1 2  (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2   0 a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca. a < 1 T = (1 + a)(1 + a 2 )(1 + a 4 ) . . . (1 + a 64 )  1 1 −a . T = (1 −a)(1 + a)(1 + a 2 )(1 + a 4 ) . . . (1 + a 64 ) 1 −a = 1 −a 128 1 −a T = 1 −a 128 1 −a  1 1 −a . a, b, c a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). a 2 > (b −c) 2 , b 2 > (c −a) 2 c 2 > (a −b) 2 a 2 + b 2 + c 2 > (a −b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). a, b, c a 2 = b 2 + c 2 . x y bx + cy = a x 2 + y 2  1. (b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 )  (bx + cy) 2 = a 2 x 2 + y 2  1. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a, b ∈ [1; 2]  a + b  1 a + 1 b   9 2 . a, b, c ∈ [1; 2] (a − 1)(a − 2)  0 (b − 1)(b − 2)  0. a 2 + 2  3a, b 2 + 2  3b a + 2 a  3 b + 2 b  3. 6   a + b  +  2 a + 2 b   2   a + b  2 a + 2 b   a + b  1 a + 1 b   9 2 . a, b, c ∈ [−2; 3] a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2  18. a, b, c ∈ [−2; 3] (a + 2)(a − 3)  0, (b + 2)(b − 3)  0 (c + 2)(c −3)  0. a 2 − a  6, b 2 − b  6 c 2 − c  6. a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2  18. a, b, c ∈ [0; 4] a + b + c = 6. a 2 + b 2 + c 2  20. a  b  c  0. 2  a  4. a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + (b + c) 2 −2bc  a 2 + (6 −a) 2 = 2a 2 −12a + 36. a 2 + b 2 + c 2  2(a 2 −6a + 18) = 2[(a −2)(a −4) + 10]  20. a = 4, b = 2, c = 0. a  b  c a 4 + b 4 + c 4  a 3 b + b 3 c + c 3 a. T = a 4 + b 4 + c 4 − a 3 b −b 3 c −c 3 a. T = a 3 (a −b) + b 3 (b −c) + c 3 (c −a) = a 3 (a −b) + b 3 (b −c) − c 3 [(a −b) + (b − c)] = (a −b)(a 3 − c 3 ) + (b − c)(b 3 − c 3 )  0. a 4 + b 4 + c 4  a 3 b + b 3 c + c 3 a. a, b, c  0 a b + c + b c + a + c a + b  a 2 b 2 + c 2 + b 2 c 2 + a 2 + c 2 a 2 + b 2 . 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... u2 v uv 2 ) = 12(u v)2 (u + v) 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u=v=0 21S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn hay a = b = c > 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Bất đẳng thức cổ điển Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy hoặc Bất đẳng thức Bunhiakowski với 3 số hạng trong tổng hoặc tích, xem Bổ đề 1.1.4 và Bổ đề 1.1.5, để chứng minh bất đẳng thức mới Ví dụ 1.2.33 Chứng minh rằng, với Bài giải: Ta có a,... c+a + + = 3+ + + 4 a b c 4 a b c 2 Bài giải: Chỉ cần chỉ ra và nó tương đương bất đẳng hay thức Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có Do đó có 9 2 1 Mặt khác, còn Cộng hai bất đẳng thức trên lại ta có bất đẳng thức cần chứng minh a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 2 2 2 ta có bất đẳng thức (a ab + b )(b bc + c )(c ca + a ) 12 Ví dụ 1.2.41 Chứng minh rằng, nếu 2 2 thì 2 a b c b bc+c b , a ac+c (a+c) , a... Mặt khác, hiển nhiên Vậy, để có bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh Thay ta phải chỉ ra hay Bất đẳng thức này tương đương (x 1)2 (3x2 2x 4) Vì 2x = a + b 3 nên 1 x 3 2 và như vậy 0 3x2 2x 4 bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu = xẩy ra khi Ví dụ 1.2.23 [Moldova TST 2006] Cho a, b, c 0 Tóm lại, a = b = c = 1 là dộ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh bất đẳng thức a2 Bài giải: b c a 1 + b2 ... ) Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với b4 2b2 (a c)2 + (a c)4 b4 (a2 c2 )2 hay (a c)2 (a2 b2 + c2 ) (c2 (ab)2 )2 (c2 a2 +b2 )(c2 b2 +a2 ) (a2 b2 + c2 )(a2 c2 + b2 ) Tương tự có và 0 (a2 (bc)2 )2 Nhân các bất đẳng thức trên, vế theo vế, nhận được bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1.2.21 [Việt Nam TST 2006] Chứng minh rằng, với các số thực a, b, c [1; 2] ta có bất đẳng thức (a + b +... sẽ chứng minh Thật vậy, đặt Khi đó Theo Bất đẳng thức Cauchy có và suy ra được hay Dấu = xảy A C ra khi và chỉ khi hay Phương pháp đánh giá Để chứng minh A B, ta chọn Ví dụ 1.2.42 Cho số nguyên C và đánh giá n > 1 Chứng minh 25S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Sau đó chỉ ra C B 1 1 1 1 1 + 3 + 3 +ã ã ã+ 3 < 23 3 4 n 4 http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Bài giải: T = Với n = 2, n = 3, bất đẳng thức. .. sẽ chứng minh Vì nên bất đẳng thức này tương đương Theo Bất đẳng thức Cauchy có 4(x3 +yzt)(y 3 +xzt) (x3 +y 3 +xzt+yzt)2 = (x+y)2 (x2 xy +y 2 +zt)2 , 4(t3 +xyz)(z 3 +xyt) (z 3 +t3 +xyz +xyt)2 = (z +t)2 (z 2 zt+t2 +xy)2 4(x2 xy + y 2 + zt)(z 2 zt + t2 + xy) (x2 + y 2 + z 2 + t2 )2 (x + y)(z + t) = xz + yt + xt + yz x2 + y 2 + z 2 + t2 Do bởi và nên từ 4 bất đẳng thức này dễ dàng suy ra bất đẳng thức. .. 4(ab + bc + ca ) 3 3 3 2 + 3 (a + b + c ) (a b + b c + c a) 2(ab + bc + ca ) + 6abc Đẳng thức xảy ra khi 2 a = b = c Biến đổi tương đương Dùng phép biến đổi tương đương, đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn hoặc đã biết cách chứng minh Ví dụ 1.2.13 Cho a, b, c > 0 Khi đó ta có bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện a+b+c Điều kiện Vì a + b + c 3abc 1 1 1 + + a+b+c a b c (a+b+c)abc... trường hợp khác Nếu và thì Từ đây suy ra Đây chính là bất đẳng thức cần chứng minh a, b, c ta có bất đẳng thức Ví dụ 1.2.12 [Vasilev Cirtoaje] Với các số thực (a2 + b2 + c2 )2 Bài giải: Khi a = b = c = 0, không đồng thời bằng 0, thức trở thành 2 bất 3(a3 b + b3 c + c3 a) đẳng thức hiển nhiên đúng Khi a = 0, b = xa, c = ya 3 3 3(x + x y + y ) chẳng hạn 2 2 (1 + x + y ) đặt a, b, c Bất đẳng 4(a2 + b2 +... và 3 2 2x + 2y + 2z 12 Cộng các bất đẳng thức, vế theo vế, http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 1 1 1 + + x+y y+z z+x x+z y+z + 9 y+z x+z 2 2 2 3 + + x+y y+z z+x 2 được 12 Từ đây suy ra y+z x+y z+x x+y + + + + x+y y+z x+y z+x 2 2 2 + + = 2+a+b 2+b+c 2+c+a 3+ và có được bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1.2.48 Chứng minh rằng với các số thực (i) 1 1 1 + + a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) a, b, c 1 có bất đẳng thức. .. Với các số a, b, c > 0 ta luôn luôn có bất đẳng thức sau đây: 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a + + 2c + 3b 2a + 3c 2b + 3a Bài giải: Quy đồng và rút gọn, bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức: 12(a3 + b3 + c3 ) + 12abc 10(a2 b + b2 c + c2 a) + 6(a2 c + c2 b + b2 a) Không làm mất tính tổng quát có thể coi c+v với 3 u, v 0 c = min{a, b, c} Đặt a = c+u, b = Thay vào bất đẳng thức trên ta được V T = 48c3 + 48(u +