toán kinh tế 1

1 C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 1 Ma trận 2 2 Định thức 3 3 Ma trận nghịc đảo 4 4 Hạng của ma trận 2 ξ1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n             = mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa A • a ij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. • A = [a ij ] m x n = (a ij ) m x n 3 ξ1. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông: • Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n             = nn2n1n n22221 n11211 a aa a aa a aa A • a 11 ,a 22 ,…a nn được gọi là các phần tử chéo. • Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. 4 ξ1. MA TRẬN • Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j             = nn n222 n11211 a 00 a a0 a aa A             = nn n222 n11211 a a a a aa A • Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j             = nn2n1n 2221 11 a aa 0 aa 0 0a A             = nn2n1n 2221 11 a aa aa a A 5 ξ1. MA TRẬN • Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j             = nn 22 11 a 00 0 a0 0 0a A             = nn 22 11 a a a A • Ma trận đơn vị: I = [a ij ] n x n với a ij =1,i=j; a ij = 0, ∀i≠j             = 1 00 0 10 0 01 I 6 ξ1. MA TRẬN 1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột) 1.1.4. Ma trận không:             =θ 0 00 0 00 0 00 mxn 1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B 1) A=[a ij ] m x n ; B=[b ij ] m x n 2) a ij = b ij với mọi i,j Ví dụ, tìm x ij sao cho:       =       92 31 xx xx 2221 1211 7 ξ1. MA TRẬN 1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[a ij ] m x n => A T =[a ji ] n x m             = 419 224 693 741 A Ví dụ: tìm A T : 1.1.6. Ma trận đối xứng: A=A T             = 4647 6315 4123 7531 A Ví dụ: 8 ξ1. MA TRẬN 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1. Phép cộng hai ma trận 1. Định nghĩa: A=[a ij ] mxn ; B=[b ij ] mxn => A+B =[a ij +b ij ] mxn       +       − − = 531 394 032 412 X 2. Tính chất: • A + B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) • θ + A = A • Nếu gọi -A = [-a ij ] m x n thì ta có -A + A = θ Ví dụ, tìm X: 9 ξ1. MA TRẬN 1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 1. Định nghĩa: cho A=[a ij ] m x n , k∈R => kA=[ka ij ] m x n       = 853 142 A 2. Tính chất: cho k, h ∈ R: • k(A + B) = kA + kB • (k + h)A = kA + hA Tính 3A? 10 ξ1. MA TRẬN 1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 1. Định nghĩa :A=[a ik ] m x p ; B=[b kj ] p x n =>C=AB=[c ij ] m x n : ∑ = =++= p 1k kjikpjip2ji21ji1ij baba babac                 1203 0112 1321 023 112 Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau:       − −       25 13 35 12 [...]... PX1 PX2 PX3 10 0 5 0 8 4 0 2 10 Sản Vật liệu phẩm VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 A B C 1 0 0 2 1 0 0 1 2 2 2 1 0 0 3 13 ξ2 ĐỊNH THỨC 2 .1 CÁC ĐỊNH NGHĨA: • A là ma trận vuông cấp 1: A= [a 11] thì det(A) = |A| = a 11 • A là ma trận vuông cấp 2: a 11 a12  A= a 21 a22    thì det(A) = a11a22 – a12a 21 14 ξ2 ĐỊNH THỨC • A là ma trận vuông cấp n: a 11 a12 a1n  a a22 a2n   A =  21   a an2 ann   n1 ... trận con cấp n -1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j Aij: ma trận con bù của aij • cij = ( -1) i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij • C = (cij): Ma trận phần bù đại số của A 15 ξ2 ĐỊNH THỨC • Định thức cấp n của A là: det(A) = a11c 11 + a12c12 + …+ a1nc1n n n j =1 j =1 1+ j det( A ) = ∑ a1jc1j = ∑ ( 1) a1j det( A1j ) Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 2 1 3 A =1 2 3 3 1 5 16 ξ2 ĐỊNH THỨC... thì định thức bằng không 1 3 4 2 Tính 11 − 4 8 9 2 1 2 3 4 7 10 7 • Tính chất 9: Khi nhân k với một hàng nào đó và cộng vào một hàng khác thì định thức không đổi 2 1 3 Tính 4 5 7 6 1 5 20 ξ2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 10 : Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo a 11 a12 a1n 0 a22 a2n = a11a22 ann 0 0 ann a 11 0 a 21 a22 0 0 an1 am2 ann = a11a22 ann 21 ξ2 ĐỊNH THỨC 2.3 CÁC... 1 MA TRẬN 2 Một số tính chất: • (A.B).C = A.(B.C) • A(B+C) = AB + AC • (B+C)A = BA + CA • k(BC) = (kB)C = B(kC) • Phép nhân nói chung không có tính giao hoán • A=[aij]n x n => I.A = A.I = A 11 1 MA TRẬN 1. 3 VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng Tháng 1 A B C D CH1 10 2 40 15 CH2 4 1 35 20 Tháng 2 A B C D CH1 12 4 20 10 CH2 10 3 15 15 12 1 MA TRẬN Ví dụ 2: Hãy tính... nghịch ⇔ det(A)≠0 và  c 11 c 21 cn1  c c 22 cn2  1 T 1  12 1  A = C = A A   c   1n c 2n c nn  • CT: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số Ví dụ, tìm ma trận nghịch đảo: 3 2  A= 4 5   1 1 3 B = 2 − 1 − 2   1 1 2   25 ξ3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.6 Phương pháp Gauss - Jordan: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp chuyển: [A│I] = [I│A -1] Phép biến đổi 1 Đổi chỗ hai hàng 2 Nhân... có hai hàng (cột) tỷ lệ thì bằng không 18 ξ2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 7: Hàng nào đó có aij = a’ij + a”ij a 11   A, =  a'i1   an1  thì det(A) = det(A’) + det(A”) a12 a1n   a 11 a12    ''  a'i2 a'in  A = a' 'i1 a' 'i2     an2 ann   an1 an2   20 01 2002 2003 Ví dụ, tính 2004 2006 2008 3 4 5 a1n    a' 'in    ann   19 ξ2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 8: Định thức... hàng s 1 3 Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo: A =  1 1  2 3 4 4 5 6  3 3 4  2 3 5 26 ξ4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4 .1 Ma trận con: • Ma trận vuông cấp p suy ra từ Amxn bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A • Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A • p ≤ min(m,n) Ví dụ: Tìm các ma trận con A  1 3 A= 4 2    1 3 4 2 B = 2 1 1 4     1 2 1 2 ... thức: 2 1 3 A =1 2 3 3 1 5 16 ξ2 ĐỊNH THỨC 2.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: • Tính chất 1: AT=A Hệ quả: Một phát biểu của định thức đúng theo hàng thì đúng theo cột • Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (cột) định thức đổi dấu Hệ quả: Định thức triển khai theo bất kỳ hàng nào 1 0 1 2 Ví dụ: tính: 0 0 1 4 5 1 9 15 0 0 2 1 17 ξ2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (cột) bằng nhau thì bằng không... ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên 1 0 A= 0 0 2 3 4 2 3 4  1 2 0  1 2 0 2 4 0   B = 0 0 1 C = 2 1 0  D = 0 0 0 0 0 1 0 0 0  0 1 3        0 0 0 30 ξ4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3.2 Định lý về hạng của ma trận: Sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận thì... ma trận thì hạng không thay đổi Hệ quả: Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang thu được sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp  1 3 1 1 1 3 6 2 1 5   Ví dụ: Tìm hạng của ma trận: A =  2 4 2 2 2  2 3 1 0 4    31 . vuông cấp 1: A= [a 11 ] thì det(A) = |A| = a 11       = 22 21 1 211 aa aa A thì det(A) = a 11 a 22 – a 12 a 21 15 ξ2. ĐỊNH THỨC             = nn2n1n n222 21 n 112 11 a aa a. I.A = A.I = A 12 1. MA TRẬN 1. 3. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. Tháng 1 A B C D CH1 10 2 40 15 CH2 4 1 35 20 Tháng 2 A B C D CH1 12 4 20 10 CH2 10 3 15 15 13 1. MA TRẬN Ví. n: 16 ξ2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 513 3 21 312 A = • Định thức cấp n của A là: det(A) = a 11 c 11 + a 12 c 12 + …+ a 1n c 1n ∑∑ = + = −== n 1j j1j1 j1 n 1j j1j1 )Adet(a )1( ca)Adet( 17 ξ2.