Day So

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 – HỌC KỲ 1 0708 BÀI 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN DÃY SỐ (SV) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (9/2007) Giải tích hàm 1 biến – Đỗ Công Khanh Toán học cao cấp – Tập hai – Nguyễn Đình Trí (chủ biên) SGK: Giải tích hàm 1 biến – BM Toán Ứng Dụng (ĐHBK) NỘI DUNG - 1- KHÁI NIỆM DÃY SỐ 2- DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, DÃY CON 3- GIỚI HẠN DÃY SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN 6- GIỚI HẠN KẸP KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG – ĐẠI HỌC) - Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích. “Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghóa nào đó” Đạo hàm (theo đònh nghóa): giới hạn ∆y / ∆x Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình Độ dài đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội tiếp Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật Giới hạn:    số hàm hạnGiới số dãy hạnGiới DÃY SỐ THỰC - Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến ∞: x 1 , x 2 … x n … ⇒ Dãy số {x n } n ≥ 1 (hoặc từ 0 đến ∞: x 0 , x 1 … x n … → {x n } n ≥ 0 ) VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, 4 … Dãy số chẵn: 2, 4, 6 … Câu hỏi: Tìm số hạng cuối cùng của 1 dãy số? Thông thường, dãy số được xác đònh theo 1 công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n VD: Dãy { }       + →       + = ≥  14 3 , 3 2 , 2 1 1 1 n n n n x n n { } ( ) { } ( ) ( ) { }  112,1,01 1 0 −−−→−= − ≥ nnx n n n n x n-1 : số hạng thứ n của {x n } n ≥ 0 ! CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG THỨ n - VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {x n } n≥1 : , 8 1 , 4 1 , 2 1 /a , 4 3 , 3 2 , 2 1 / − b ,5,3,1/c 1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trò & vẫn vô hạn phần tử 2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 … : Công thức tổng quát? Có thể xem dãy số {x n } với số hạng tổng quát: x n = f(n) như hàm số từ tập số nguyên dương N* → R. VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 … ⇒ x n = n 2 ⇒ f(x) = x 2 ĐS: n a 2 1 / ( ) 1 1/ 1 + − + n n b n 12/ −nc Maple: > n^2 $n = 1 5; > array( [ [n, n^2]$ n = 1 5 ]); DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU {x n } TĂNG: x n ≤ x n+1 ∀ n ≥ 1. Tổng quát: x n ≤ x n+1 ∀ n ≥ N 0 VD: nnn xx n xa −→+++= +1 : 1 2 1 1/ HIỆUxét nênTỔNG chứa {x n } GIẢM: x n ≥ x n+1 ∀ n ≥ 1. Tổng quát: x n ≥ x n+1 ∀ n ≥ N 0 n n n x x n n x 1 2, 1 1 2 1 1 + →≥       −       −= THƯƠNG Xét TÍCH dạng dương,: Dãy {x n } LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm (từ N 0 nào đó): dãy ĐƠN ĐIỆU : 43 32 / − − = n n xb n ( ) !'& 43 32 f x x xf tính xét SỐ HÀM giống bthức − − =→ DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON { } ∞=<<< ∞→ k k knn nnnxx k lim,,,,, 1 1  {x n } ⇒ Dãy con VD: Dãy →       −−  5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 {x n } bò chặn trên: x n ≤ M ∀ n ≥ 1. Tổng quát: x n ≤ M ∀ n ≥ N 0 Dãy bò chặn trên lẫn dưới: gọi chung bò chặn ⇒ m ≤ x n ≤ M {x n } bò chặn dưới: x n ≥ m ∀ n ≥ 1. Tổng quát: x n ≥ m ∀ n ≥ N 0 VD: Xét tính bò chặn của các dãy { } ( ) { } ncb n a n n 1/3/ 1 / 2 −       a/ Bò chặn. Trên: 1, Dưới: 0. b/ Dưới: 0. c/ K0 bò chặn trên, dưới Chú ý: Từ dãy {x n } → Hay xét 2 dãy con {x 2n – 1 } & {x 2n } Dãy con ↓       −−↑       : 5 4 , 3 2 &: 4 3 , 2 1  GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ CHỊU” - Lập bảng giá trò 2 dãy số sau. Quan sát và rút ra kết luận 1 / + = n n xa n ( ) 1 1/ + −= n n yb n n                                 5 0.835 -0.835 10 0.910 0.910 15 0.940 -0.940 20 0.950 0.950 25 0.960 -0.960 30 0.970 0.970 Nhận xét: n tăng, x n đến gần 1 còn y n đến gần ±1 ⇒ Khi n → ∞: Giá trò x n ≈ 1, còn y n KHÔNG đến gần giá trò cụ thể nào! Đònh nghóa (“dễ chòu”): Dãy {x n } có giới hạn bằng a ⇔ x n ≈ a khi n đủ lớn Mánh: n đủ lớn (n = 1000) & MTBTúi → 0.50025 → (b)! : 2 sin lim 2 23 nn nn n − + ∞→ 0/a 21/b 1/c ∞/d GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ - Có ghạn: Hội tụ. K0 có ghạn (hoặc lim = ∞): phân kỳ Dãy {x n } hội tụ về a ⇔ 00 :,0 NnaxNN n ≥∀<−∈∃>∀⇔ εε 00 :,0 NnaxaN n ≥∀+≤≤−∃>∀⇔ εεε hạn hữu:lim ax n n = ∞→ a ε − a ε + a 1 x 1000 x 0 N x 1 0 + N x Toán học (ngôn ngữ ε – N 0 ): x n “rất gần” a, n đủ lớn ⇔ ∀ε > 0 ∃ N 0 : | x n – a | < ε ∀ n ≥ N 0 VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/ “Đoán” lim x n b/ Với lim vừa đoán & ε = 10 -2 , 10 -3 ⇒ N 0 = ? c/ Chứng minh chặt chẽ (a) 1 1 lim = + ∞→ n n n Đoán"" ? 101 1 0 1 =≥⇒ =≤− + − Nn n n ε GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ - 00 :, lim NnMxNNMx nn n ≥∀>∈∃∀⇔∞= ∞→ bất kỳlớn Giới hạn = ±∞ (vẫn là phân kỳ): Không thể xét | x n – a | ! Đònh nghóa {x n } phân kỳ: Phủ đònh (lôgich) mệnh đề hội tụ Hội tụ: 00 :0, NnaxNNRa n ≥∀<−∈∃>∀∈∃ εε luôn εε ≥−≥∃∈∀>∃∈∀ axNnNNRa n để 00 :0, Phân kỳ: 00 :,( lim NnMxNNMx nn n ≥∀<∈∃∀⇔∞= ∞→ ýtuỳ âm) Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng minh = đònh nghóa!