Đại số tổ hợp ôn thi đại học

Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 2 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 3 Chương I. Khái niệm mở đầu 4 A. Cơ sở lí thuyết 4 B. Phƣơng pháp giải toán 4 Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân 4 Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng 4 Chương II. Chỉnh hợp – Hoán vị 6 A. Cơ sở lí thuyết 6 B. Phƣơng pháp giải toán 7 Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi 7 Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị 9 Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A và P n 10 Chương III. Tổ hợp – Nhị thức Newton 16 A. Cơ sở lí thuyết 16 B. Phƣơng pháp giải toán 17 Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ 17 Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc tƣơng ứng 22 Các sai lầm thƣờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp 25 Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề 26 Vấn đề 4: Chứng minh một hệ thức các 28 Vấn đề 5: Chứng minh một hệ thức bậc hai của 30 Vấn đề 6: Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa 32 Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 34 Vấn đề 8: Tìm hệ số của một luỹ thừa trong một biểu thức khai triển 36 Vấn đề 9: Tính tổng các 39 Vấn đề 10: Tính các tổng bằng phƣơng pháp đạo hàm và tích phân 41 r n k n C k n C k n C k n C k n C Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 3 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đƣa ra những phƣơng pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn. Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh khi học tập môn toán. Trong chƣơng trình toán ở trƣờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung khó đối với học sinh. Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau không thấy đƣợc đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này thƣờng gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên thƣờng gây đƣợc sự hứng thú trong học tập cho học sinh. Chính vì vậy, việc hƣớng dẫn và đƣa ra phƣơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp là hết sức cần thiết. Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả năng sƣ phạm của mình. Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho sáng kiến kinh nghiệm của mình. Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các trƣờng Cao đẳng hay Đại học. 2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu: Phát hiện và hệ thống hóa những phƣơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở trƣờng THPT. 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và đƣa ra các phƣơng pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp. 2.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của hàm số (tùy mức độ nhận thức của học sinh). 3. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp. 4. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm: Mở đầu Chƣơng I: Khái niệm mở đầu. Chƣơng II: Chỉnh hợp – hoán vị. Chƣơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton Kết luận sáng kiến kinh nghiệm Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 4 Chương I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dƣới dạng (a 1 , a 2 ,…, a k ,…, a n ) gọi là một bộ sắp thứ tự gồm n phần tử hay gọi tắt là bộ n sắp thứ tự II. QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM 1. Qui tắc nhân của phép đếm Giả sử một hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác nhau để thực hiện giai đoạn A, một khi đã thực hiện xong A ta có n cách thực hiện giai đoạn B, một khi đã thực hiện xong B ta có p cách thực hiện giai đoạn C …thì ta có tất cả cách chọn để thƣc hiện hành động H. 2. Qui tắc cộng của phép đếm Nếu r tập hợp A 1 , A 2 ,… A r đôi một rời nhau lần lƣợt có số phần tử là n 1 , n 2 ,… n r thì phần hợp của các tập hợp này có số phần tử là n 1 + n 2 +… + n r . B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các giai đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm. Ví dụ 1. Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ngƣời tham dự. Mỗi ngƣời chơi đúng một bàn với ngƣời khác. Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt. GIẢI Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn) • Với ngƣời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 2 ngƣời chƣa đấu, nên • Với ngƣời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 4 ngƣời chƣa đấu • Với ngƣời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh ……………… • Với ngƣời thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi. Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một trong hai công việc. Ví dụ 1. Nếu thƣ viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có 85 + 63 = 148 cách để mƣợn một quyển Toán hoặc Lí từ thƣ viện. m n p Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 5 Ví dụ 2. Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ? GIẢI Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) rồi ngƣợc dòng thời gian trở về quá khứ thì khi số năm là bội của 12 là năm Tuất . Ta có tất cả = 167 năm Tuất Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất. BÀI TẬP 1.1 Có bao nhiêu số chẵn , lớn hơn 5000 , gồm 4 chữ số khác nhau . HD : Chữ số hàng ngàn 5 và chữ số hàng đơn vị là chẵn. + Có 3.5.8.7 = 840 số chẵn bắt đầu bằng chữ số lẻ. + Có 2.4.8.7 = 448 số chẵn bắt đầu bằng chữ số chẵn. Vậy tổng cộng có 1288 số. 1.2 Giả sử là các số nguyên tố khác nhau. Hỏi có bao nhiêu ƣớc số của số . ĐS: (k 1 + 1) (k 2 + 1 )… (k n + 1) . 1.3 Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu: a) Số tự nhiên gồm có ba chữ số khác nhau; b) Số tự nhiên gồm có hai chữ số khác nhau; c) Số tự nhiên. ĐS: a) 6 số; b) 6số; c) 15 số. 1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau đƣợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng . Xét các trƣờng hợp của b ta có 13 số. 1. 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu a) Số đó nằm từ 200 đến 600 b) Số đó gồm 3 chữ số c) Số đó gồm 3 chữ số khác nhau. ĐS : a) 32 b) 64 c) 24. 1.6 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 chia hết cho 3 có thể viết bởi các chữ số 0, 1, 2. ĐS : 4373. 12 2006 n ppp , ,, 21 12 12 . n k kk n q p p p ab 8 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 6 Chương II. CHỈNH HỢP - HOÁN VỊ a. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA 1. Định nghĩa: Với Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n đƣợc gọi là n - giai thừa. Ký hiệu: n! * Quy ƣớc: 0! = 1 và 1! = 1 2. Tính chất * * * II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa Cho một tập A có n phần tử. Một chỉnh hợp n chập r (r n) của n phần tử là một bô sắp thứ tự gồm r phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho. 2. Tính chất Hai chỉnh hợp n chập r của n phần tử là khác nhau nếu - Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau - Hoặc chúng gồm r phần tử nhƣ nhau nhƣng sắp xếp theo thứ tự khác nhau 3. Số chỉnh hợp chập r của n phần tử là A = n(n – 1)(n – 2) (n – r + 1) bằng tích của r số nguyên dƣơng liên tiếp III. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là một chỉnh hợp n chập n ). 2. Số cách hoán vị n phần tử là P n = n! (nghĩa là bằng tích của n số dƣơng đầu tiên ) ,1nn ! 1.2 nn ! ( 1)!.n n n ! ( 1)( 2) ! ( ) n k k n n k k ! ( 1)( 2) ( )! n n k n k n nk r n ! ( )! n nk Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 7 B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi Ví dụ 1. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác? GIẢI Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì không thẳng hàng. Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập đƣợc là một chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là: (vectơ) Ví dụ 2. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số với ba chữ số khác 0 cho trƣớc. GIẢI Mỗi số có r chữ số là một chỉnh hợp chập r của 3 số đã cho (r 3). Vậy có A số với 1 chữ số , A số với 2 chữ số , A số với 3 chữ số . Tổng cộng có A + A + A = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số . Ví dụ 3. Trong một trƣờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, một môn chính và một môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn? GIẢI Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử.Vậy có : A = 3.2 = 6 cách chon. Ví dụ 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. GIẢI - Ta sẽ chọn đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách chọn một trong 3 chữ số chẵn 0, 2, 4 làm chữ số hàng đơn vị rổi ghép với một chỉnh hợp chập 4 của 5 chữ số chƣa dùng đến có 3.A số nhƣ vậy. - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nhƣ vậy đƣợc lập bằng cách chọn một trong hai số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 chƣa dùng đến, và cuối cùng đặt số 0 trƣớc 4 số đó có 2.A số nhƣ vậy. - Vậy có 3.A – 2.A = 5.4.3 2 .2 – 4.3.2 2 = 312 số. Ví dụ 5. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5, GIẢI - Ta sẽ đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A số nhƣ vậy. - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nhƣ vậy đƣợc thành lập bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt chữ số 0 trƣớc 4 chữ số đó Có 4A số nhƣ vậy. - Vậy ta có 5A – 4A = 6.5 2 .4.3 – 5.4 2 .3 = 1560 số. 0 2 15 15! 15.14 210 (15 2)! A 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3 2 3 4 5 3 4 4 5 3 4 4 6 3 5 4 6 3 5 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 8 BÀI TẬP 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó a) Có một chữ số 1. b) Có chữ số 1 và các chữ số dều khác nhau. HD & ĐS : a) Có cả thảy 4.7 3 = 1372 số trong đó có 3.7 2 = 147 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 1372 – 147 = 1225 số. b) Có tất cả 4A = 840 số trong đó có 3A = 90 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 840 – 90 = 750 số. 2.2 Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau. HD & ĐS : A – A = 4536. 2.3 Từ sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 a) Có bao nhiêu gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra ? b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ? c) Có bao nhiêu số chẵn ? d) Có bao nhiêu số lẻ ? e) Có bao nhiêu số là bội số của 5 ? ĐS : a) A = 120 b) 2A = 40 c) 2A = 40 d) 120 – 40 = 80 e) 1A = 20 2.4 Tìm tất cả các số nguyên dƣơng có 3 chữ số khác nhau a) Có bao nhiêu số lớn hơn 700 ? b) Có bao niêu số lẻ ? c) Có bao nhiêu số chẵn ? d) Có bao nhiêu xố chia hết cho 5 ? ĐS : a) 3.8.9 = 216 b) 8.8.5 = 320 c) 9.8.1 + 8.8.4 = 256 d) 9.8.1 + 8.8.1 = 136. 2.5 Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng đầu và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái đƣợc lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số đƣợc lấy từ 0, 1, …, 9. a) Có bao nhiêu biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác nhau b) Có bao nhiêu biển số có 2 chữ cái khác nhau đòng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó khác nhau. ĐS a) 3 420 000 biển số b) 487 500 biển số. 2.6 Có bao nhiêu số dƣơng bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau. ĐS : 738 số. 2.7 Từ X = {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ĐS : 54 số. 2.8 Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. ĐS : 1260 số. 4 10 3 9 3 6 2 5 2 5 2 5 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 9 Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị Ví dụ 1. Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo dƣợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ? GIẢI Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có : P 3 = 3! = 6 số. (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321 ) Ví dụ 2. Ngƣời ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề, mỗi chủ đề gồm 10 câu hỏi. Cần sắp xếp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? GIẢI Chủ đề 2, 3 đứng tuỳ ý : trƣớc tiên, sắp theo chủ đề, đây là hoán vị của 4 chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách . Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, mỗi chủ đề có 10! cách. Vậy có : 4!5.10! = 120.10! cách. Chủ đề 2, 3 đứng kề nhau : Xem chủ đề 2 và 3 là một phần tử, ta có hoán vị của 3 phần tử (2,3), 4, 5 hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách. Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, có : 5.10! cách. Nên có : 2.3!.5.10! = 60.10! cách. Vậy số cách sắp theo yêu cầu là : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách. Ví dụ 3. Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kính thƣớc khác nhau đôi một. Có bao nhiêu cách sắp các bi này thành một hàng sao cho hai bi cùng mầu không đƣợc nằm kề nhau. GIẢI Xét một hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, mỗi ô đƣợc đánh số từ 1 đến 10. - Lấy 5 bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách. Sau đó lấy 5 bi trắng bỏ vào 5 vị trí còn lại ta cũng có 5! cách. Vậy trƣờng hợp này có 5!.5! cách - Lập luận tƣơng tự lấy 5 bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy 5 bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cũng có 5!.5! cách. Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 2.5!.5! = 28 800 cách. Ví dụ 4. a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn. b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành một chuỗi. c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh. GIẢI a) Vị trí tƣơng đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc phần tử đầu tiên). Vậy số cách sắp xếp là = ( – 1)!. Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng của n phần tử là P n – 1 = ( – 1)! ''. n n! n n Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 10 b) Với cách xâu nhất định, khi ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đƣợc một cách hoán vị khác mỗi cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất cả P n - 1 = cách xâu. c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi số đa giác là . BÀI TẬP 2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0. Vậy có 6! – 5! = 720 số. 2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh lƣu niệm, biết rằng trong đó có 3 em không đứng xa nhau. HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt. Với mỗi cách trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó. Vậy có 5!.3! = 720 2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn. ĐS : a) 10! = 3 626 800 cách. b) 2!.5!.5! = 28 800 cách. 2.12 Từ X = {1, 2, 3, 4,5, 6} thiết lập các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập đƣợc có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạch nhau ĐS : 480 số. 2.13 Xét các số gồm chín chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà a) Năm chữ số một xếp kề nhau. b) Các chữ số đƣợc xếp tuỳ ý. ĐS : a) 120 số b) 3024 sô. 2.14 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. ĐS : 720 số. Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A và P n Ví dụ 1. Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đƣợc lập từ 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. GIẢI Gọi n = Số các số n là A = = 720 số. Xét các chữ số hàng dơn vị, mỗi chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 xuất hiện = 120 lần. Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 120.28 = 3360. Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 3360.10 tổng các chữ số hàng trăm là: 3360.10 2 2 1 2 !1n 2 !1n r n 54321 aaaaa 5 6 !1 !6 6 720 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 11 tổng các chữ số hàng ngàn là: 3360.10 3 tổng các chữ số hàng vạn là: 3360.10 4 . Do đó S = 3360(1 + 10 + 10 2 + 10 3 + 10 4 ) = 3360.11111 = 37 332 960. Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên. GIẢI Gọi n = và X = {5, 6, 7, 8, 9} Số các số n chọn từ X là 5! = 120. Xét các chữ số hàng đơn vị, do số lần xuất hiện của 5 loại chữ số bằng nhau nên mỗi chữ số xuất hiện = 24 lần. Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 24(5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 24.35 = 840. Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 840.10 tổng các chữ số hàng trăm là: 840.10 2 tổng các chữ số hàng ngàn là: 840.10 3 tổng các chữ số hàng vạn là: 840.10 4 . Do đó S = 840(1 + 10 + 10 2 + 10 3 + 10 4 ) = 840.11111 = 9 333 240. Ví dụ 3. Chứng minh rằng tích = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hết cho tích = 1.3.5…(2n –1). Tính thƣơng số. GIẢI Ta có (n!) = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)] = .2 n .n! = 2 n . Ví dụ 4. GiảI bất phƣơng trình : A + 5A 21x GIẢI Điều kiện x N và x 3. A + 5A 21x + 5 21x x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) 21x (x -1)(x – 2) + 5(x – 1) 21 (do x 3 ) x 2 + 2x – 24 0 –6 x 4. Do x N và x 3 nên x = 3, x = 4 là nghiệm. Ví dụ 5. Chứng minh rằng với n N và n 2 thì 54321 aaaaa 5 120 P P P P 'P P 3 x 2 x 3 x 2 x !3 ! x x !2 ! x x 2 2 2 23 1 1 1 1 . n n A A A n [...]... nhiêu số lớn hơn 2000 với các số 0, 1, 2, 3, 4 mà không số nào lặp lại HD : Xét 2 trƣờng hợp 3 – Các số có 4 chữ số : Có 3 cách chọn chữ số hàng ngàn Sau đó có A4 cách chọn phần còn 3 lại có 3 A4 72 số – Các số có 5 chữ số : Có 5! số trong đó có 4! số bắt đầu bằng 0 phải loại ra số – Tổng cộng có 72 + 96 = 168 số Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn có 5! 4! 96 15 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. .. 4!2! Vậy số cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam là : 6 + 60 = 66 Ví dụ 6 Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 ngƣời, đều có 2 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá GIẢ I Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hoặc 2 Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ là 2 hoặc... chọn ra một tổ công tác gồm 6 ngƣời Tìm số cách chọn trong mõi trƣờng hợp sau :’ a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ b) Trong tổ phải có một tổ trƣởng ,5 tổ viên , hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ĐS : a) 2974 cách b) 15 048 cách Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 20 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 3.11 Số 210 có bao nhieu ƣớc số ĐS : 16 số 3.12 Một trăm số đƣợc đánh số 1, 2,... b m a m 1 m b m n + 1 m và m số a1 , a 2 , , a n không chứa 2 số liên tiếp Ta có a m n b1 , b 2 , , b m khác nhau m số m Có Cn 1 m cách chọn m số bi từ các số 1, 2, …, n + 1 – m m m Có Cn Cn + 1 m cách chọn m số trong đó có 2 số lien tiếp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 24 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp CÁC SAI LẦM THƢỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 Không hiểu các từ dùng trong đề... bao nhiêu số chẵn gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ b) Có bao nhiêu số gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó có dúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ĐS : a) 42 000 số b) 64 800 số 3.17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chƣ số biết rằng chũ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt không quá một lần ĐS : 11 340 số Dương Đình Chiến – GV... nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là toạ độ một véctơ 3 chiều ta có 4 trƣờng hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3) Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 18 Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Tƣơng ứng 4 trƣờng hợp đó đối với tổ 2 là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5) Ta tháy 2 trƣờng hợp bị trùng.Vậy chỉ có 2 trƣờng hợp là : Trường hợp 1 : 5 Số cách chọn... câu An và Bình không đồng thời có mặt nghĩa là loại bỏ trƣờng hợp có An và có Bình, ta còn lại 3 trƣờng hợp : Có An không có Bình, có Bình không có An, không có An không có Bình Nếu đọc không kĩ, câu văn trên dễ hiểu thành "không có An không có Bình" tức là "An và Bình đồng thời không có mặt" 2 Có những trường hợp bị trùng lặp, bị đếm 2 lần mà không biết Ví dụ : Một lớp học có 20 học sinh gồm 14 nam,... có bao nhiêu tổ hợp chập p chứa phần tử ai cho sẵn b) Tính tổng Sp của tất cả các số ai có trong các tổ hợp của Ep (i = 1, 2, …, n) c) Tính S = S1 S2 Sn ĐS ; a) Cnp 11 b) Sp = a1 a 2 a n Cnp 11 c) S = a1 a 2 a n 2n 1 3.28 Có bao nhiêu cách để chọn từ n số 1, 2, …, n ra m số sao cho trong đó có 2 số liên tiếp HD & ĐS : Ta tìm số cách chọn m số a1 a 2 a n sao cho trong đó không có 2 số liên tiếp... 1, 2, 3, …, n là một cấp số cộng nên 1+2+3+…+n n n 1 Do đó : 2 n n n! n 1 2 n n! n n 1 2 n 1 2 n n ! BÀI TẬP 2.15 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng của chúng ĐS : Có 648 số Tổng của các số đó là 355 680 2.16 Tính tổng S của tất cả các hoán vị của số 123456 và phân tích S thành thừa số nguyên tố ĐS : Tổng các hoán vị là 777 777 = 23 33 5.72 11.13.37 2.17 Tính các tổng r r r An m a) S =... Có 12 học sinh ƣu tú Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ƣu tú toàn quốc Có mấy cách chọn : a) Tùy ý? b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi? c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi? ĐS : a) 495 cách b) 450 cách c) 225 cách 3.4 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Muốn lập 1 đoàn công tác có 3 ngƣời gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn . chỉnh hợp chập r của 3 số đã cho (r 3). Vậy có A số với 1 chữ số , A số với 2 chữ số , A số với 3 chữ số . Tổng cộng có A + A + A = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số . Ví dụ 3. Trong một trƣờng đại học,. khoa học: Đại số tổ hợp Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 16 Chƣơng III. TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. TỔ HỢP 1. Định nghĩa Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập. các nội dung chính của phần đại số tổ hợp. 2.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của hàm số (tùy mức độ nhận thức của