Toán Rời rạc_ P4

TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương 4 CƠ SỞ LÝ THUYẾT SỐ VÀ MÃ HÓA THÔNG TIN 1. Số nguyên  Lý thuyết về số nguyên có ý nghĩa quan trọng trong việc mã hóa thông tin.  Một số kí hiệu: Z: Tập các số nguyên N: Tập các số tự nhiên Z + : Tập các số nguyên không âm. Số nguyên (tt)  Định nghĩa:  Trên Z, định nghĩa quan hệ |: ∀b∈Z ∀a∈Z\{0} , a|b⇔ ∃k∈Z, b=ka Đọc là: “b chia hết cho a” hay “a là ước số của b” Nếu b không chia hết cho a, ta viết a | b Ví dụ: 3 |-18; 9 | 20  Định lý: ∀a,b,c ∈Z, ta có:  i) a≠0 ⇒ a|0 ii) a|b∧a|c ⇒ a|(b+c)  iii) a≠0, a|b ⇒ a| bc iii) a|b∧b|c ⇒a|c Số nguyên (tt) Chứng minh:  i) Ta có: ∀a∈Z\{0},0.a = 0 ⇒ a|0  ii) Với a,b∈Z: a|b ⇒ ∃k∈Z, b = ka (1) a|c ⇒ ∃t∈Z, c = ta (2) Lấy (1) cộng (2) ta được: b+c=(k+t)a = ma, với m = k+t∈Z. Theo định nghĩa, ta có: a|(b+c). iii, iv) Bài tập Số nguyên (tt) Định nghĩa: a,b∈N, d ∈N\{0}:  d = USC(a,b) ⇔ d|a ∧ d|b.  d = USCLN(a,b)=max{d∈Z + / (d|a ∧d|b)} ⇔(d|a∧d|b) ∧ (∀e∈Z + , e|a ∧ e|b ⇒ e ≤ d) Ví dụ: USCLN(12, 8) = ? Ta có: U 12 ={1,2,3,4,6,12}, U 8 = {1,2,4,8} USCLN(12,8)=max(U 12 ∩ U 8 )=max{1,2,4}=4 Ví dụ: USCLN(24, 36) = ? Định nghĩa : Hai số nguyên dương a,b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu USCLN(a,b)=1. Số nguyên (tt) Ví dụ: USCLN(3,10)=1 nên 3 và 10 là nguyên tố cùng nhau Định nghĩa: Số nguyên tố (Prime Number): Số nguyên p>1 gọi là số nguyên tố nếu p không có ước số nào ngoài 1 và chính nó. Ví dụ: 2,3,5,7,11,13,17,… là các số nguyên tố. Định lý: Với mỗi số nguyên dương a bất kỳ đều có thể biểu diễn duy nhất bằng một tích của dãy không giảm (có thể rỗng) có dạng: Trong đó: p 1 <p 2 <p 3 <…<p n là các các số nguyên tố, r 1 , r 2 ,…,r n là các số nguyên lớn hơn hay bằng không. n r n r rr p p.p.pa 3 21 321 = Số nguyên (tt) Ví dụ: 1 = “Tích dãy rỗng các số nguyên tố” =1 2 =“Tích cũa dãy chỉ gồm 1 số nguyên tố là 2” 6 = 2.3 98 = 2 1 .7 2 360 = 2 3 .3 2 .5 Số nguyên (tt) Chia Euclid: Cho a, b là 2 số nguyên bất kỳ, b ≠ 0, tồn tại duy nhất 2 số nguyên q (thương) và r (số dư) sao cho: a = qb + r, với 0 ≤ r < |b| Nếu a chia hết cho b thì r = 0. Ví dụ: a=96, b = 7 Ta tìm được q= 96/7 = 13 và r = 96-13×7=5 Vậy 96 = 13×7 + 5 (96 chia cho 7 thương là 13 dư 5) Ví dụ: a = 56, b = -5 Tìm được q = 56/-5 = -11 và r = 56-(-11 ×- 5) Vậy 56 = -11 × -5 + 1 (56 chia cho-5 dư 1) Số nguyên (tt) Định lý: Nếu a, b được viết ở dạng tích các thừa số nguyên tố: (  Lưu ý: Cả 2 phép phân tích đều có n số thừa số, và ri ≥ 0, ti ≥ 0) Thì : Ví dụ: USCLN(12,8)=? Ta có: 12 = 22.31 và 8 = 23.30 USCLN(12,8) = 2 min(2,3) .3 min(0,1) =4 Ví dụ: USCLN(3528,400)=? Ta có: 3528 = 23.32.72 400 = 24.30.52.70 USCLN(3528,400) = 2min(3,4). 3 min(0,2) .4 min(2,0) =23.30.40=8 n 3 21 r n r 3 r 2 r 1 p p.p.pa = n 3 21 t n t 3 t 2 t 1 p p.p.pb = )t,rmin( n )t,rmin( 3 )t,rmin( 2 )t,rmin( 1 nn 33 2211 p p.p.p)b,a( USCLN = [...]... Thuật toán Euclide:   Tìm ước số chung lớn nhất của 2 số nguyên a,b: Nội dung: Đặt r0 = a và r1=b Thực hiện chia liên tiếp ri cho ri+1 đến khi số dư bằng 0: r0 = q1r1+r2 ⇒ USC(r0, r1)= USC(r1,r2) r1 = q2r2+r3 ⇒ USC(r1, r2)= USC(r2,r3) r2 = q3r3+r4 ⇒ USC(r2, r3)= USC(r3,r4) … rn-2 = qn-1rn-1+rn ⇒ USC(rn-2, rn-1)= USC(rn-1,rn) rn-1 = qnrn ⇒ USC(rn-1, rn)= USC(rn,0)=Ước số (rn) Vậy USCLN(a,b)=rn Thuật toán. .. 48 =1.36+12 36 = 12.3+0 Vậy USCLN(48,36)=12 Ví dụ: USCNL(152;200)=? Ta có: 200 = 1.152+48 152 = 3.48+ 8 48 = 6.8 + 0 Vậy USCLN(152,200)=8 Thuật toán Euclide (1): Input: a,b ∈ N, a > b ≥1 Output: gcd(a,b) While (b>0) { r = a/b; a = b; b = r; } Return a Thuật toán Euclide cải tiến g=1 While (x,y:evens){ x = x/2 y = y/2 g = 2*g } While (x>0){ While (x:even) x=x/2 While (y:even) y=y/2 t=|x-y|/2 If (x≥y) . TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương 4 CƠ SỞ LÝ THUYẾT SỐ VÀ MÃ HÓA THÔNG TIN 1. Số nguyên  Lý. Thuật toán Euclide Ví du: USCLN(48,36)=? Ta có: 48 =1.36+12 36 = 12.3+0 Vậy USCLN(48,36)=12 Ví dụ: USCNL(152;200)=? Ta có: 200 = 1.152+48 152 = 3.48+ 8 48 = 6.8 + 0 Vậy USCLN(152,200)=8 Thuật toán. USCLN(a,b)=USCLN(b,r) Ví dụ: 84= 3.24+12 Vậy: USCLN(84,24)=USCLN(24,12)=max{1,2,3,4,6,12}=12 Thuật toán Euclide:  Tìm ước số chung lớn nhất của 2 số nguyên a,b:  Nội dung: Đặt r 0 = a và r 1 =b.