Tăi tập có lời giỏi Cânh lăm lạnh
PHAT BIEU
Một thanh đồng, đặc hình trụ trục ÓØx, có chiều dăi / ban kinh a va hĩ sĩ
dẫn nhiệt K, tiếp xúc một đầu bằng mặt bín của nó (ở x = 0) với một vật
trao đổi nhiệt có nhiệt độ 7ạ vă ở đầu kia (x = j) tiếp xúc với một chất lưu
có nhiệt độ không đổi T, (To > Te) :
Thanh đó đóng vai trò cânh lăm lạnh Ta xĩt chế độ vĩnh cửu vă giả SỬ chất trao đổi rằng građien xuyín tđm của nhiệt độ lă đủ nhỏ để có thể cho rằng trong sy ope & Sty Pa tiết diện thẳng có hoănh độ x, nhiệt dd T(x) lă đồng nhất nhiệt 7ọ chất lưu 6 7
Ở mức của mặt tiếp xúc với chất lưu thanh có một sự mất mât về nhiệt trong một đơn vị thời gian vă một đơn vị diện tích bằng b(T(+x) - 7) , nếu 7(z) kí hiệu nhiệt độ của điểm của bề mặt đang xĩt vă ø lă một hệ số không đổi
1) Xâc định sự phđn bố của nhiệt độ 7) trong lòng của thanh Tính 70)
Câc số liệu : K= 389W.m!K"Ì,h= 155W.m 2K! ,a= 1mm, ?ạ = 340K, 7¿ = 300K vă /= 10cm 2) Giả sử rằng câc mất mât nhiệt do đối lưu đối với chất trao đổi nhiệt vă đối với thanh được cho bởi cùng định
luật (cùng hệ số A), tinh ti sO 7 cia câc thông lượng nhiệt xuất phât từ chất trao đổi nhiệt qua diện tích 2 của đây của cânh ở x = 0 khi có cânh, vă sau đó không có cânh
Hỏi a, h vă K phải dựa trín điều kiện năo để z; lớn hơn I ?
Điều kiện đó có được nghiệm đúng với câc giâ trị bằng số trín đđy không ? Nếu có, tính giâ trị của 7
3) Tính sự phđn bố nhiệt độ 7 '+) nhận được nếu giả sử cânh dăi vô cùng Tính trong cùng câc điều kiện đó "hiệu suất" ??' tương ứng So sânh câc giâ trị bằng số của 7 vă z? Kết luận
HUONG DAN
Đế thiết lập một định luật T{x),
cần phải lần lượt :
* thiết lập phương trình vi phân ; * từ đó cho lờigiâi tổng quât ; * sử dụng câc điều kiện giới hạn đế xâc định câc hằng số tích phđn Ở chế độ vĩnh cứu, người ta thiết lập phương trình vì phđn khi biểu diễn năng lượng tổng cộng đi văo trong một thể tích vật liệu bằng năng lượng tổng cộng đi ra khối thể tích đó
Can phải cẩn thận ghí văo danh
mục câc sự trao đổi nhiệt
Hai điều kiện giới hạn được âp
dụng cho hăm T(x), cho dao ham cua no hay cho cĩ hai ?
LỜI GIẢI
1) Ta thực hiện sự cđn bằng năng lượng trong một lât dx của thanh nằm
giữa câc hoănh độ x vă x + dx ở chế độ vĩnh cửu :
D(x) = D(x + dx) + hdŠ ben cạnh 7
j(x)na? = j(x + dx)ra® + h(T (x) -T,)22adx điều đó khi kể đến định luật FOURIER j(x) =-K a sĩ cho ta: OF hers) T,) dx? Đặt xạ = i , lời giải tổng quât của phương trình vi phđn đó được viết : T(x)= Âch-— + Bsh-— +1, xO xO Bằng câch kể đến câc điều kiện giới hạn, ta xâc định câc hằng số tích phđn A vă Ö:
*ởx=0, 7 =7 bat budc A=T) -T
Trang 2Đế xâc định thông lượng nhiệt
tiíu tốn bởi cânh, luôn luôn ta có
thế xâc định thông lượng nguyín
tố tiíu tốn bởi mỗi nguyín tố của diện tích rồi lấy tích phđn Một câch đơn giản hơn ta có thể thục hiện sự cđn bằng năng lượng cho cả cânh 3 - NDH jana? = h(T() - T, )za? với /()=—K a7 dẫn đến : ° (r=!) x= [ K sh tf + hch 4 —ch—- +#sh—— xo Xo *0 Từ đó suy ra T(x) = (Tp -T)| ch-——— 9 sh-— |+T, Xo 74 Pop! Xo +0 A.N.: xọ = 3,54 cm vă TÚ) = 304,7K
2) Khi có mặt thanh, thông lượng nhiệt qua diện tích 3; (sau đó qua mặt
Trang 3Bai tập
Ap DUNG TRUC TIEP BAI GIANG
1 Bo mĩt hĩ số dẫn nhiệt
Một đầu của một thanh hình trụ bằng nhôm có tiết
diện $ được đặt trong một lò Đầu kia được đặt trong
một hộp đoạn nhiệt, vă được lăm lạnh bằng một dòng nước có lưu lượng không dĩi D,,
Phđn giữa hai đầu thanh được bọc bằng một chất câch nhiệt Nước đi văo ở nhiệt độ Ø»;o vă từ đó đi ra với nhiệt độ đ;¡ Giữa hai điểm câch nhau 7 thuộc phần
câch nhiệt, người ta đo được câc nhiệt độ Ag va A)
Mục đích của thí nghiệm lă xâc định hệ số dẫn nhiệt K của nhôm F=—lò ~—— chất câch nhiệt _ đ& LSI, 2 20 7 nước
1) Đânh giâ theo hăm của câc thông số của băi toân,
thời gian thiết lập của chế độ vĩnh cửu
2) Ở chế độ vĩnh cửu, xâc định thông lượng nhiệt đi qua thanh vă biểu diễn K theo hăm của câc đại lượng khâc
3) Câc số liệu : Aq =225°C, Oy =15,0°C, B =18,8°C,
6,; =25°C, Dy, =2,4g.8°! ,1= 50cm va S = Sem?,
Câc nhiệt dung riíng : c =0,90kK.K7 kg! đối với nhôm vă c'= 4,18kI.Kl kg] đối với nước
Khối lượng riíng : ø=2,4.10”kg.m Ổ đối với nhôm
vă ø'= 1,0.10°kg.m Ÿ đối với nước 2 Cnất câch nhiệt Một lớp chất câch nhiệt có bề dăy đ = 10cm va hệ số dẫn nhiệt K=0,04Wm ! KT! có một mặt được giữ ở nhiet do 6, = 100°C
Mặt kia được lăm lạnh bằng đối lưu bởi một dong không khí có nhiệt độ đẹ = 25”C giữ cho nhiệt độ bề mặt ở Ø› = 30C (ở chế độ vĩnh cửu)
Tính giâ trị của hệ số h định nghĩa trong định luật NEWTON phải bằng bao nhiíu 2
Một câch đơn giản có thể gắn thông số năo để nhận
được giâ trị đó 2
3 Sự khuếch tân của một pic nhiệt độ Cho một thanh câch nhiệt có tiết diện § không đổi vă đủ dăi để băi toân về câc điểu kiện giới hạn không được đặt ra Ở thời điểm ban đầu sự phđn bố nhiệt độ lă một hăm øauXơ của x: 2 T(x,0) =Tp + ool 2 lo Oo) -—* 4Dt 4D:+l — +1 Ễ 0
lă một nghiệm của phương trình khuếch tân
2) Định nghĩa vă tính /(), độ rộng ở thời điểm r của pIc nhiệt độ 3) Có thể xâc nhận một câch nhanh chóng rằng nghiệm đó tuđn theo bảo toăn năng lượng được không ? 1) Xâc nhận rằng 7(x,/) =7ạ + 4 Sự hồi phục của một phđn bố hình sin của nhiệt độ
Trong một môi trường giả sử lă vô hạn vă đồng nhất, nhiệt độ phụ thuộc x vă thời gian ¿ Ở thời điểm ban
đầu sự phđn bố nhiệt độ được cho bởi : T(x,0) = Tp + A cosax Xâc nhận rằng sự biến đổi về sau có thể được biểu diễn bởi : T(x,f0) =Tạ + A(t) cosax Giải thích hăm Ø() vă xâc định hằng số thời gian của sự hồi phục
Chú ý : Sự hồi phục chỉ rõ sự trở lại cđn bằng của một hệ lúc đầu không cđn bằng
Cửa kính kĩp
Ta chỉ xĩt ở câc chế độ vĩnh cửu không phụ thuộc
thời gian
Trang 4Câc mặt trong vă ngoăi của kính có câc nhiệt độ tương ứng 7; vă ?¿ với ?¿ <Ÿ; 1) Vâch lă một kính don co bĩ day e Ước lượng thông lượng nhiệt Ø; đi ra từ phòng qua vâch đó theo hăm của K, Š, e, T¡ vă Tạ Tính nhiệt trở Rịụ của vâch kính đó 2) Vâch lă một tập hợp gồm hai tấm kính cùng bẻ dăy e, câch nhau bởi lớp không khí bể dăy e' vă hệ số dẫn nhiệt K' Ta chỉ kể đến sự dẫn nhiệt a) Ước lượng thông lượng nhiệt Ø; đi ra từ căn Œ› hòng, sau đó —<“- phong ®, b) Cac sĩ ligu : T, =270K, T, =292K, e’ =e = 3mm, K =1,2W.m).K7!, K'=0.025Wm lKrÌ, Tinh % vă câc nhiệt độ 7¡ vă 7; của câc mặt đối I
điện của hai tấm kính
Biểu diễn bằng đồ thị câc biến đổi của nhiệt độ theo hăm của x trong cửa kính kĩp
3) Ngoăi sự dẫn nhiệt nghiín cứu ở đđy, người ta còn phải kể đến câc trao đổi nhiệt bề mặt giữa kính vă không khí Một mặt thủy tỉnh diện tích S ở nhiệt độ 7, trao đổi với
không khí ở nhiệt độ Tr , thông lượng nhiệt :
@ =hS(T, -T;) voih > 0
a) Hỏi giâ trị an trudc day da cho A khi ngudi ta cho lan lon T, va Ty ?
b) Chứng tỏ rằng câc trao đổi bề mặt đó đưa văo một nhiệt trở Rp Cho biểu thức của Ry
©) Trong câc cđu hỏi 1) vă 2) câc nhiệt độ của không
khí ở trong vă ngoăi căn phòng bang 7’; vă 7+ Cho h, 1a hĩ s6 trao đổi giữa thủy tính vă không khí vă h, lă hệ số trao đổi đối với câc tiếp xúc khâc của
thủy tỉnh - không khí
Câc thông lượng đị vă đØ› của câc cđu hỏi 1) vă 2) trở thănh @' vă @'; tương ứng Biểu diễn @' vă #Œ'; theo hăm của T'¡, Tạ, h;, h„ vă câc thơng số e,K, K vă ® Câc số liệu : h, =10W.m 7.K”Ì vă hy =14W.m ”.K'Ì, Tính Po Kĩt luan ® 6 Sự truyền nhiệt giữa hai vật Sự sản sinh entrôpi
Hai vật rắn Ø{ vă 42 có cùng nhiệt dung C, có hệ số dẫn nhiệt rất lớn ("vô cùng"), được nối với nhau bằng
một thanh chất rắn dăi ¿, tiết diện s có nhiệt dung không đâng kể vă có hệ số dẫn nhiệt K
Giả sử rằng câch tiếp xúc giữa thanh vă hai vật lă lí
tưởng vă hệ lă hoăn toăn được giữ nhiệt
Câc nhiệt độ ban đầu của hai vật rắn A va Y tuong
ứng bằng 7Tịo vă Tạo (Tyo > To) Ở một thời điểm ¿
năo đó { vă 42 có câc nhiệt độ bằng 7¡ vă 72
1) Kí hiệu ? lă thông lượng nhiệt đi từ { sang 42
trong một đơn vị thời gian Xâc nhận rằng nhiệt trở không phụ thuộc thời gian vă tính Rụy
2) Xâc định câc nhiệt độ T¡ vă 7; của hai vật rắn đj vă 2 theo hăm của thời gian
a) Từ đó suy ra độ biến thiín entrôpi của hệ tổng thể gồm đi, 42 vă thanh giữa trạng thâi ban đầu vă trạng thâi cđn bằng cuối cùng
b) Độ biến thiín entrôpi đó trở nín như thế năo nếu ta giả sử rằng 7Tịoc vă T›o lă gần nhau ? Để trả lời cđu
hoi nay, ta dit Tig =Tp va Tog =Tp + AT (khi giả sử
rang AT «Tp) va sẽ biểu diễn độ biến thiín của entropi AS theo ham ctia Tg, AT va Œ Kết luận
VAN DUNG VON KIẾN THỨC
V Nghiín cứu cảm giâc nóng vă lạnh Người ta nghiín cứu trong băi toân năy hai mẫu nhằm giải thích quan sât sau đđy : một quan sât viín đặt băn tay lín một mặt băn bằng gỗ vă một mặt băn bằng thĩp cùng nhiệt độ có cảm giâc răng gỗ lă nóng hơn thĩp 1)* Mẫu tĩnh học Người ta chọn mẫu sau đđy : hai hình trụ, câch nhiệt ở câc mặt bín, có cùng diện tích, cùng trục (+), có hệ số
dẫn nhiệt Kị vă K¿, có khối lượng riíng /q vă /, nhiệt dung riíng c¡ vă c; vă dăi Hị vă Lạ, được đặt nối đầu nhau ; sự tiếp xúc được thiết lập ở x = 0 Giữ cac dau x=-L, va x=+Ly của câc hình trụ ở câc nhiệt độ tương:-ứng 7Ị vă 7z Người ta nghiín cứu một chế độ ổn định lúc đó nhiệt độ 7(œ, ?) không phụ thuộc thời gian
ve
Trang 5a) Thiết lập biểu thức của 7(z) trong hai hình trụ theo hăm của 7Ị, 7¿,x, Lị, L¿ vă của nhiệt độ T¡ tại x = 0 b) Từ đó suy ra rằng nhiệt độ 7¡ ở mặt phđn câch lă
một trọng tđm của 7 vă 7¿ Nhiệt độ 7¡ tương ứng
với 372C (băn tay) vă 7ạ tương ứng voi 20°C (thĩp hoặc gỗ) vă người ta giả sử rằng \ = Hạ
Cho câc hệ số dẫn nhiệt :
* băn tay Kị = I0W.m lKT!;
“gõ Ka=IW.m lKTÍ, * thĩp Kaạ =100W.m !K”Ì,
Tính 7¡ đối với một tiếp xúc tay - gỗ, sau đó đối với tiếp xúc tay - thĩp Bình luận
2) ** Mẫu động lực học
Trong phần năy ta giả sử rằng hai hình trụ dăi vô hạn
vă được khớp với nhau tại x = Ö Hình tru | chạy dăi từ x = -z đến x = 0 vă hình trụ 2 từ x = 0 đến x = +,
Lúc đầu ở thời điểm r = 0 hình trụ I ở nhiệt độ đồng nhất 7¡ vă hình trụ 2 ở nhiệt độ đồng nhất 7;
Sau đó đối với câc thời điểm dương, câc đầu của câc
hình trụ được giữ ở câc nhiệt độ không đổi, nghĩa lă :
T(-œ,t)=TỊ vă T(+œ,t) = Tạ
Ta thừa nhận rằngở mặt phđn câch có một nhiệt độ ổn
định T¡ được xâc lập một câch tức thời
a) Đối với một vật có hệ số dẫn nhiệt K, nhiệt dung riíng c vă khối lượng riíng , người ta định nghĩa hệ số khuếch tân nhiệt ø của nó (hoặc hệ số khuếch tân) bởi a= K, uc x 2â 2 Chứng minh rằng hăm fast = | e du 1a va“
nghiệm của phương trình khuếch tân nhiệt một chiều Vẽ đô thị của ƒ„(x,?) theo hăm của a ở câc thời điểm
khâc nhau ; đường cong đó sẽ như thế năo khi ? tiến đến 0?
Cho : le du = va
b) Giải thích tại sao người ta có thể tìm một nghiệm của phương trình khuếch tân nhiệt trong nửa không
gian x đm dưới dạng : T(x,f)= Â+ Bí, (x,f) với  va
B lă câc hằng sO (a; = hĩ sO khuếch tân của môi
trường 1)
_ Xâc định A vă 8 theo hăm của T, va T;
c©) Tương tự tìm một nghiệm T(x, 1) = C+ Df, (x, t)
trong nửa không gian x dương vă xâc dinh C va D
theo hăm của 7; vă 7¡ (a; = hệ số khuếch tân của
môi trường 2)
d) Thiết lập câc biểu thức của mật độ thông lượng
nhiệt đại vă Jan trong hai vật liệu theo hăm của x,
ai, đ¿, KịỊ, K¿ vă ¡ từ đó suy ra biểu thức của Tị theo hăm của 7¡, 7¿ vă câc hệ số truyền nhiệt EỊ vă
E; của hai vật liệu, nếu người ta định nghĩa hệ số
truyền nhiệt bởi EF = (ucK)?
e) Người ta cho rằng đơn vị trong Hệ Quốc tế câc hệ
số truyền nhiệt Z¡ = I,8.10” từ băn tay, Z¿ =14.10Ỷ từ thĩp vă # =0,4.10” từ gỗ
Tính 7¡ đối với một tiếp xúc tay - gỗ vă một tiếp xúc tay - thĩp bằng câch đối với câc nhiệt độ lấy câc giâ trị bằng số ở 1) b) Bình luận
Ð) Giải thích tại sao nhiệt độ 7¡ ở mặt phđn câch lại
được thiết lập một câch tức thời khi người ta đặt tiếp xúc hai hình trụ ở nhiệt độ 7 vă 7; ?
8 Nhiệt độ trong một bản
Một bản có bề dăy 2đ, có kích thước không hạn chế trong câc hướng của câc trục (2y) vă (2z) được nhúng văo trong một chất lưu có nhiệt độ Ty được
giữ không đổi
Gọi ø lă khối lượng riíng, c lă nhiệt dung riíng vă K
lă hệ số dẫn nhiệt của vật liệu của bản Đặt a=—— pc Tại thời điểm ban đđu, bản có nhiệt độ đồng đều đọ
Tại một thời điểm / năo đó, điểm Ô⁄ ở hoănh độ x có
nhiệt độ 7 =7T(x,r) Đặt Ø = T-Tr
Trang 62) Tìm một nghiệm của phương trình đó dưới dạng : Ø= fx)g0)
a) Xâc định câc phương trình vi phđn mă ƒf{x) vă ø()
nghiệm đúng một câch riíng biệt ; từ tỉnh huống đó suy ra một hằng số ø thực vă dương đồng nhất với một nghịch đảo của chiều đăi mă bình phương của nó
SẼ có mặt trong cả hai phương trình
b) Từ đó suy ra biểu thức cha g(t) bing câch bổ sự
không xâc định vẻ dấu tôn tại ở cđu hỏi 2) a)
©) Bằng câch tương tự suy ra biểu thức của f(x) đ) Viết biểu thức của Ø dưới dang ham của a, @, x, f vă một hằng số A
3) Giả sử ở lă hệ số trao đổi bản - chất lưu : tại một thời điểm đê cho, ở mức của câc mặt của nó (x = d
hoặc x = -d) bản thể hiện một sự truyền nhiệt trong một đơn vị thời gian vă qua một đơn vị diện tích bằng A(T, —Tr) (7T¿ kí hiệu nhiệt độ của mặt đang xĩt ở
thời điểm xĩt)
a) Xâc định một hệ thức giữa câc hệ số ø, d, K vă h b) Đặt & =B vă œd=n Từ đó suy ra một hệ thức giữa câc hệ số B vă n : hệ thức năy được gọi lă
phương trình đặc trưng vă cho phĩp xâc định hệ sd n
(vă sau đó 2)
c) Chỉ rõ có thể giải bằng đồ thị phương trình đặc trưng đó như thế năo vă chứng minh rằng nó có một
số vô cùng nghiệm theo ø: Người ta gọi trị riíng lă
mỗi một trong câc nghiệm đó vă gan chỉ số ¡ cho nó
Œ=1,2,3,4 )
đ) Người ta gân nghiệm đ; cho mỗi một trong số câc trị riíng n, ; viết nghiệm đó theo hăm của câc thông số x,f, 4, đ, n; vă hằng số tích phđn A; (giâ trị của A đối với n = 7; )
4) đ, lă một nghiệm đặc biệt của phương trình khuếch tân, nhưng nó không thỏa mên câc điều kiện ban đđu ; người ta thừa nhận rằng nghiệm tổng quât của băi toân để xuất được viết dưới dạng một tổng
của câc nghiệm đặc biệt đØ;, nghĩa lă : we O(x,1) =) 6,(x,0) i=l a) Nghiệm lại rằng Ấn, ?) thỏa mên câc phương trình như lă đị(n,£) b) Tính giâ trị của tích phđn d lụ = [ cos{ ny eos SÌ& đối với ¡ # / vă ¡ =/ c) Từ đó suy ra biểu thức của câc hệ số A; theo hăm của % =Tọ ~Tr đ) Viết biểu thức cuối cùng của nhiệt độ Ø theo hăm của x,í, a, d, ổn vă câc trị riíng m; 5) a) Chứng minh rằng nếu = la đủ lớn, người ta có thể d
bỏ qua mọi số hạng trong biểu thức của Ø trừ số hạng đầu tiín ; đó lă điíu ta sẽ lăm trong tất cả phần sau của băi toân Thường người ta thừa nhận rằng sự gần đúng
thực hiện như vay lă đúng đắn đối với “— > 0,3 d
Câc số liệu : K =420W.m ÌK”Ì, ø=10,5.10°kg.mẺ, d=0,5cm vă c=2302.kg !.K”]
Từ thời điểm ¡g năo người ta có thể cho rằng sự gần đúng trín đđy lă có giâ trị 2
b) Giả sứ rằng 7ọ < 7z (bản nóng lín trong chất lưu), hêy biểu diễn Ø theo hăm số x ở câc thời điểm khâc nhau f (†>fo) :
* khi hệ số B lă nhỏ ;
* khi hệ số B lă lớn
Biện luận vă giải thích tóm tắt câc đường cong nhận
được (người ta dùng đến câc giâ trị tương đối của câc
hệ số K vă hd khi thảo luận)
©) Ngoăi câc giâ trị bằng số trước đđy, người ta cho
h = 2200W.m™.K7!, Ty = 290 K va Ty = 350 K
a) Tinh hĩ sĩ B va tir d6 suy ra mĩt gia tri gan đúng của ny
B) Co thĩ cho rang & mot thoi diĩm f da cho (t > tg) nhiệt độ trong bản lă đồng nhất được không ?
y) Sau bao lđu mọi điểm của bản có cùng nhiệt độ với chất lưu bín ngoăi với sai số ít nhất bằng một độ ?
9
Một dđy dẫn điện có tiết diện hình tròn bân kính 7 , c6 dẫn điện suất ơ vă hệ số dẫn nhiệt K¡,, được bọc bằng một vỏ câch điện bân kính r; vă hệ số dẫn nhiệt K¿ Một dòng điện 7 có mật độ không đổi chạy trong dđy dẫn đó Xĩt ở chế độ vĩnh cửu vă bỏ qua mọi hiệu ứng bờ * Nhiệt độ trong một dđy câp điện
Giả sử rằng sự tiếp xúc nhiệt giữa dđy dẫn vă vỏ câch điện lă lí tưởng Ngược lại người ta cho rằng giữa vỗ câch điện vă không khí xung quanh có nhiệt độ lă 7ạ có thiết lập trao đổi nhiệt bề mặt xâc định theo định
Trang 7một diện tích s của mặt xung quanh của vỏ ở nhiệt độ
Tữứ;) trao đổi với không khí một thông lượng nhiệt : ó =h(T(Œ;)T—Tạ)ø trong đó h lă một hằng số đương 1) Xâc định nhiệt độ 7 ở khoảng câch đến trục bằng r trong dđy dẫn vă trong vỏ 2) Tính 7(0), Tới) vă 70a) Câc số liệu : ơ =5.101Q”Ìm'}, K, =400W.m 1K, K›ạ =0.4W !m!K”!, n =0,5em, = 2cm, Ï = 100A, Tạ = 300 K vă h=20W.m ”.K"1, 1O Lời giải bằng số của phương trình khuếch tân nhiệt
Một thanh chất rắn đồng nhất có khối lượng riíng ø,
nhiệt dung riíng c, hệ số dẫn nhiệt K vă chiíu dai /,
lúc đđu ở nhiệt độ Tạ
Mặt bín cạnh của thanh lă hoăn toăn câch nhiệt,
Ở thời điểm r= 0 hai đầu 7%
của thanh được đưa lín _ vă giữ ở nhiệt độ 7
1) Người ta dự định tính bằng số định luật biến đổi của nhiệt độ trong thanh Muốn vậy, ta chia khoảng (0, ?) thănh câc phần bằng nhau dăi 4x, vă thời gian thănh câc khoảng bằng nhau 4 Kí hiệu 7 „, lă nhiệt độ của điểm có hoănh độ n4z tại thời điểm m4, chứng minh rằng nếu chọn (Ax# =a, ta sẽ có hệ thức gần đúng :
Th m+1 = 2s +Th-1m)-
2) Ap dụng bằng số : K=316Wm lKT}, c=4201.kg"! KT! ,1= 0,10m vă r=8,9.10°kg.m Sử dụng hệ thức trước đđy để theo dõi bằng số sự biến đổi của nhiệt độ Ø(biểu diễn bằng độ CELSIUS) của thanh khi lấy :
A=, Oy = 100°C va 6 =0°C
Biểu diễn sự biến đổi của Ø trong một bảng ở đó biểu diễn thời gian vă hoănh độ trong một khoảng thời gian bằng 10⁄4 Biểu diễn sự phđn bố của nhiệt độ Ø theo hăm của x ở câc thời điểm í¡ =2,5s vă f2 = 5s 11 bdo hệ số dẫn nhiệt Cho thiết bị mô tả trín sơ đô dưới day z thanh ——————— lì oy chat cach nhiĩt waite cặp nhiệt điện ống xoắn nước nóng ở Tụ thiết bị _Ì
khuấy từ tính nước + nước đâ
Một thanh kim loại (có nhiệt dung riíng c vă khối lượng riíng ø) tiết diện tròn (đường kính d) câch nhiệt tốt ở câc mặt xung quanh một đầu được đốt nóng bằng một bồn tắm được điều nhiệt (nhiệt độ Tạ ) Ở đầu kia một dòng nước lạnh có lưu lượng không đổi (lưu lượng thể tích D,) đi qua trong một ống xoắn (đường kính của ống đ, chiều dăi tổng cộng của ống L) lồng xung quanh thanh để lăm lạnh nó : nhiệt độ nước ở đầu văo của ống xo lă 7„ vă ở đầu ra lă 7, (chúng được đo bằng một cặp nhiệt điện) Hai cặp nhiệt điện cho phĩp
xâc định hai nhiệt độ ở tđm của thanh : 7¡ ở gần nguồn
được điều nhiệt, vă 7¿ ở ngay trước ống xoắn Hai điểm đo đó câch nhau một khoảng ¡ Ta sẽ kí hiệu c lă nhiệt dung riíng của nước ‘ Cac sĩ liĩu : 1=10cm ; d' = 2mm; L = 50cm ; h=20cm; Z= 500cm” ; D, =0,5cm*.s! ;d= 12mm; c=0,23.103Jkg LK! sp =10,5.10°?kem™? ; cpu, =42/101.kg KT! 5 Prue = 40.10? kg Ở Hệ số dẫn nhiệt của kim loại văo khoảng : K=400W.m!.K"!
1) Mô tả câch thức hoạt động để đạt được một biến đổi vĩnh cửu hoặc ổn định của hệ (sự phđn bố nhiệt độ, lưu lượng thể tích không đổi)
Trang 8Chú ý -
Một cặp nhiệt điện gĩm hai kim loại khâc nhau hăn lại với nhau Lúc đó sẽ có một hiệu điện thế giữa hai kim
loại, hiệu điện thế năy sẽ lă hăm của câc thông số khâc
nhau, đặc biệt của nhiệt độ của mối hăn vôn kế ——x kim loại l——> <— kim loai 2 \ oN mốihănở + ì<— cặp nhiệt điện nhiệt đột T>*¿ ¿ˆ ~— “ “#
Hiệu điện thế chỉ trín vôn kế lúc đó lă hăm của nhiệt
độ môi trường vă nhiệt độ của mối hăn Để đo nhiệt độ bằng một cặp nhiệt điện trong thực tế cần phải sử dụng hai cặp nhiệt điện mắc đối nhau, mối hăn thứ
hai được nhúng trong một hỗn hợp (nước lỏng + nước đâ] ; lúc đó câc bảng sẽ cho phĩp xâc định nhiệt độ chua biết với một độ chính xâc rất cao vôn kế—— hệ cđn hỗn hợp nướ ¬ ỗn hợp nước - xâc định nước đâ (ở 0C) nhiệt độ 1 kim loại | ——>] kim loại 2——> L thiết bị khấy từ tính J LI GIAI oT aT 4 1) Ở chế độ chuyển tiếp : a— == Oi a= x Bằng câch ax’ ôi pe phđn tích thứ nguyín (x §3.6.4) ta nhận được thời gian đặc trưng r=? pe
Chế độ vĩnh cửu sẽ dat được sau một số lần r
2) Trong thời gian dt, thông lượng nhiệt tương đương với lượng nhiệt
dùng đốt nóng một khối lượng dm= D„ủt nước từ nhiệt độ A, đến 6›¡, nghĩa lă dt = c' Dạ dt(6; — 6;)
¢' Dl (Or, — Ay)
KS
6 =Ou(ØịạT— Øị)=——(Øịo / —Ø\|), từ đó K = S(O - 1) 3) K=190W.m).K7! (gid trị gần đúng với giâ trị trong câc bằng :
200W.m7| Ko! (giâ trị gần đúng với giâ trị trong câc bang :
200W.m ÌK”!) r=2800s Vậy phải chờ nhiều giờ trước khi bắt dau do 2 Ở chế độ vĩnh cửu, sự phđn bổ nhiệt độ (bằng dĩ CELSIUS) duoc viết Ø= 6 =6 v 6,, vă thông lượng nhiệt qua một đơn vị diện z 2 ` x on » 9 17 0;
tích của tường (do dđn nhiệt) băng jy, = K 7
Ở chế độ vĩnh cửu trín mặt x = d của tường thông lượng nhiệt cũng bằng Ø—~Ø; Jth =K = KO, - 4), từ đó h=5,6W.m””.K”},
Bằng câch tăng sự quạt, người ta sẽ tăng lượng không khí đến trong một đơn vị thời gian ở chỗ tiếp xúc của chất rắn, điều đó sẽ lăm tăng công suất nhiệt tđi đi bởi không khí trong khi mọi việc khâc vẫn như cũ
2
5 bGlieănứnh ŸP vă ŠT lạ tụ, ot a?
2) Lúc t cố định Tụ, Ð lă một hăm gaoxơ (đường cong "hình chuông")
Nếu độ rộng lí) lă độ rộng của khoảng ở đó T(x,1)~ Tạ > Tnạ = 10 ; e
lúc đó l) =2x|lệ +4Dt Với câc giâ trị t lớn, Ky) tỉ lệ với x|tD, đền
năy được xâc nhận bởi sự phđn tích thứ nguyín
3) Nội năng U của thanh có dạng U = [crsx+ cíc Mă tích phđn theo x của một đường cong gaoxơ lă tỉ lệ với tích (giâ trị cực đại x độ
Trang 9dT, KS ` Thông lượng nhiệt đi = AU =—(7,-T,) va: Xx e 1-1, le do KS
2) Ở chế độ vĩnh cửu, thông lượng nhiệt ý; lă bảo toăn qua thănh, nếu không sẽ có sự tích tụ năng lượng vă nhiệt độ sẽ biến đổi theo thời gian Bằng câch tổng quât hóa kết quả của cđu hỏi !), ta có :
¬ .- - -
œ0 BD 5
Mọi việc diễn ra giống như nếu thănh gôm ba nhiệt trở mắc nối tiếp chúng được cộng lại với nhau (giống như trong điện học đối với ba điện trở mắc nối tiếp) Từ đó ta suy ra: ẻ 1 —T, K l @®›= 1 e 22 K l mm "ng: S\K K K’ eK ( ỳ £ P, Ap dung bang sĩ : ° =0, fa suy ra: ) T-T T- Fh ¢ Tk iy gg T=T7— 2-1), vay T=21,6 K; QP SK @®D D hak @ Tk ngs b=1+ 2(T~1), vậy T; =210,A K œ SK ớ 2 ' , ' + ' ' 1 ‘ 9 e 2e Xe zr
3) a) Bỏ qua câc trao đổi nhiệt bề mặt bằng câch lấy h = œo
b) Nhiệt trở do trao đôi bề mặt lă : 1-1 ot Rv= h0 ORS Thănh bđy giờ gỗm : © ba nhiệt trở nối tiếp đốt với cửa kính đơn giản : Tị-T$ ( le | ————=-|—+—+—|: oO, S\kh K A, e bđy nhiệt trở nối tiếp đối với kính kĩp : TT, l(T e 1 e1 e 3 ———“=-|—+—+—+—+—+—+— ®;- S(h K h K h K h Từ đó : 1 e |] @, h K h @œI 3 26 e 17 h K K' oO nghĩa lă : — =0,35 ®'
Tỉ số năy rõ răng cao hơn tỉ số tìm được ở cđu hỏi 2) ; câc trao đổi nhiệt bí mặt giữa không khí vă kính không được bỏ qua
6 1) va 4, cĩ mot dĩ dan nhiĩt bang vo cing, nhiệt độ của chiing la dong dĩu : T, va Ty chi phy thudc thoi gian t
Gia sur T(x, t) la nhiĩt d6 cua thanh Do nhiĩt dung la khong dang kể: 2 = =0 Ở hai đầu của thanh câc tiếp xúc lă lý tưởng : T0,0=Ti0) vă Tự,)=70), vay T(x) = 2080 x+T() Công suất truyền qua thanh bằng : dT Ks P= °==K—s=——(T()— (0) dx I Mặc dù câc nhiệt độ lă hăm của thời gian, nhưng tỉ số : Arh! R t Ø Ks
lại không phụ thuộc thời gian
2) Người ta biểu diễn tính liín tục của thông lượng nhiệt ở x = 0 vă x = l bằng câch chú ý rằng p chỉ phụ thuộc thời gian vă quan tđm đến dấu : Te : p= 1-5 _ -C aq =C any Ry dt di Tu đó người ta suy ra: ® một mặt dTị + d1; =0, từ đó suy ra 1 + T› = To + Ty -%) -2 ~ e mặt khâc đỔi 5) _ —^ dự, từ đó 7, —T = la — Tag) exp at TB Re Rye ] 2t Tị =~|Œo 2 + 7o) + [lo — Tao) exp] -—— Rye 1 2t Tp =5 Œo + a)—(aT— Roo|~a —] the
3) a) Sau một khoảng thời gian rất lđu ("vô cùng "), nhiệt độ Tị vă
Trang 10Tr= Thụ + ho Thanh lúc đó cũng có nhiệt độ bằng Tr vă hệ không
biến đối nữa : hệ ở trạng thâi cđn bằng
Độ biến đôi entrôpi của hệ được cho bởi :
1, 1,
As=['cth,[rcd5
wT M
đo độ biến thiín entrôpi của thanh bằng không, nhiệt dung của nó không đắng kể nín từ đó ta suy ra : đụ + To)” AT ho T A$=€CIn——=Cln Too
Rõ răng độ biến thiín cmtrôpi năy nhất định phải dương (nếu
Tịo # Tạo ) vì hệ nghiín cứu lă cô lập về nhiệt vă chịu một biến đôi bất thuận nghịch eo pk ga ck pea ca » AT b) Ta biĩu diĩn độ biín thiín cua entrĩpt AS theo bac 2 cua T : 0 4T 2 l+—- Qh+At? _ py 28 ATy(Ty + AT) „AT 1 AT AT, =—AT, _ vậy 4S =Cln 1 5
Khai wid bie 2; Infl+e)~e-£-, hie dĩ AS “Tốt, 2 4\ Tạ
Như vậy không tạo ra được cntrôpi (với sai số ở bậc hai) khi cho tiếp
xúc bai vật ở nhiệt độ gần nhau, Do đó khi lăm biến đổi nhiệt độ của một vật theo câch thuận nghịch từ giâ trị Tạ đến giâ trị T'ạ bằng
câch cho vật tiếp xúc với vô số nguồn có nhiệt độ phđn bố đều đặn giữa Tạ vă T"ạ_ thì cũng không có một sự san sinh entrôpi năo cả
M 1)a) Ở chế độ ổn định ta có ngay :
e đối với thanh l : Tị(x) =(—T; -T).-+T :
1
© d6i v6i thanh 2: T(x) =(B “T+ T b) Ởx =0, thông lượng nhiệt lă liín tục : jg=-K sh =—K, 2 „ từ đó Kuch -x inh , dx dx h L K 1+ 9p điều đó dẫn đến T, = “KT” ——+-* h b Âp dụng bằng số :
e tiếp xúc tay - gỗ : T; tương ứng với 35,5° C e tiếp xúc tay - thĩp - T tương ứng với 21,59 €
Vậy gỗ dường như có nhiệt độ của băn tay (không nóng, không lạnh),
trong khi thĩp tỏ ra lạnh khi sờ nó x 2Jat fil) = £,(X) 2) a) Dit X = lúc d6 ham £,(x,0) chi la ham ciia mot bien X : Từ đó : ôf, díôX _ 2 x(_ + —>- = — = _— a dX Or Va vats ôi, _ Ah, OX 2 + Va 2Nạt ax dX ox Vx 2 af, d ($2 | =——| ——|————=C€£ 2X? x ——F= |: x2 dX\ôx)ôx Jax war 2 Vay f, nghiĩm đúng phương trình khuếch tân nhiệt So ca, Ox f,(x,0 la một hăm tăng theo x vă biến đổi giữa câc giâ trị : fq(Tœ,†)=—L vă fÍ(+©,f)=L vă đi qua giâ trị f.(0,t)=0 kứ i veces rrr rrr ieee 1=0 h hot —([ : 0 Khi t—>0: f2(x,0)—>—L đối với mọi x < 0 vă f(x,t)~>+L đối với mọi x > 0
b) Hăm T(x,t)= A+ Bín (x,1) lă nghiệm của phương trình khuếch
tần tuyến tính ; câc hằng số A vă B được xâc định sao cho Tự, t) thỏa
mên câc điều kiện giới hạn T(0,1)= Tị vă T(~œ,0) = Tị, từ đó : T(x,Ð)=Ti+Œ~—T)# (x,!) đối với x < 0)
©) Trong hình trụ khâc ta cũng có (chú ý câc dấu):
T(x,)=Ti=Œ—T,)f, (x,t) đối với x > 0
Trang 11e) ® tiếp xúc tay - gỗ : T, tương ứng với 33,9° C e tiếp xúc tay - thĩp : T¡ tương ứng với 21,9° C
Vậy ta thấy rằng trong mẫu toân học "chí I¡" hơn câc giâ trị bằng số của T, khâc rất ít so với câc giâ trị nhận được ở cđu hỏi 1) b)
Ð) Građiín nhiệt độ, vă do đó thông lượng, lă rất lớn ở mặt tiếp xúc
của hai hình trụ tại thời điểm tiếp xúc ; nhiệt độ ở đó biín đôi rất nhanh vă ta có thể cho rằng mặt tiếp xúc sẽ có nhiệt độ Tị một câch hậu như tức thời 100 _ 860 a oT ~ Ay? 2) a) Bằng câch đưa Ø = f(x)g(t) vao phuong trinh trĩn diy, ta cĩ : bg _ FR = (với giả sử Ñx)gŒ) #0) agŒ) f(x)
Về phải của phương trình năy chỉ phụ thuộc (, còn vế thứ hai chỉ phụ
thuộc x, vậy phương trình đó chỉ có thể được thỏa mên nếu mỗi về bằng một hằng số thực đông nhất với nghịch đâo của một chiều dăi bình phương Vậy :
g() = aCg(t) (2) va F(X) = Ch) 3) voi C=t0° b) Nghiĩm cia phuong trinh (2) cb dang g(t)= Ae*
8 1) Phuong trinh khuếch tân nhiệt —
Bản từ từ sẽ có nhiệt độ của chất lưu bín ngoăi vă ta giữ lấy
2
C=-a?, từ đó: g(t)= Aie 2%,
c) Biết rằng x = 0 lă một mặt đối xứng của hệ, f{x) nhất thiết phải lă
một hăm số chẵn Nghiệm của phương trình (3) co dang : f(x) = Ay cosax
2
d) Tird6 ta suy ra O(x,t) = Ae ™ ! cosacx
3) a) Ta viết sự liín tục của thông lượng nhiệt tại mọi thời điểm ở mức x = d vă x = -d Do đối xứng ta có hai lần cùng phương trình :
Jg(4,t) = KZ a0 = hO(d,0), nghia la Kasinad=hcosad X
_ fd `
b) Dat ad=n va x =B, phương trình trín day co dang pron, ©) Ta vẽ trín cùng một bản vẽ câc đồ thị của câc phương trình :
y¡(n)= cotann vă y;(n)=— Mì fp : : 0q m 1 my c3 : '
Giao điểm của câc đường Cong có hoănh độ lă câc nghiệm khâc nhau Mm, My, Mm, My can tim ; số lượng của chúng lă không hạn chế
2 fit
4
ore pepe “a z 2 x
d) Với câc kí hiệu mới, Ø, có dạng Aje © cosm— d
‘9
Trang 12q
The Fiy*™0 thanh hic đó cũng có nhiệt độ bằng T; vă hệ không
biến đôi nữa : hệ ở trạng thâi cđn bằng Độ biến đôi entrôpi của hệ được cho bởi :
dĩ T, dT,
AS = fick c—!+['c=2
10 20 '
do độ biến thiín entrôpi của thanh 1» bine không, nhiệt dung của nó
không đâng kể nín từ đó ta suy ra :
2 2
AS =Cin——= cin Zt Eo
Tio ‘Toho
Rõ răng độ biến thiín entrôpi năy nhất định phải đương (nếu
Tịa # Tạo ) vì hệ nghiín cứu lă cô lập về nhiệt vă chịu một biến đổi bắt thuận nghịch os Lopes 3 „ AT b) Ta biíu điện độ biĩn thiĩn cua entrĩpi AS theo bĩc 2 cla — : 1 ArY AT 2) + AT) Hư AT, =~Ah, =— , vay AS =Cin 0+ ATẺ - in ° 2 4T,(Œ + AT) ¡„ 4F 0 ? Khai triín bậc 2 : In(1+ ø)% = lúc đó AS= (At) 2 Th
Như vậy không tạo ra dugc entr6pt (voi sai số ở bậc hai) khi cho tiếp
xúc hai vật ở nhiệt độ gần nhau Do đó khi lăm biến đổi nhiệt độ của
một vật theo câch thuận nghịch từ giâ trị Tụ đến giâ trị Tọ bằng câch cho vật tiếp xúc với vô số ngudn có nhiệt độ phđn bố đều đặn giữa 1ạ vă T"g_ thì cũng không có một sự sản sinh entrôpi năo cả
⁄ 1) a) Ở chế độ ôn định ta có ngay :
e đối với thanh 1 : Tị(x)=(~T, ng ;
® đối với thanh 2: T›(x)= xa Xx b) Ởx = 0, thông lượng nhiệt lă liín tục : đĩi dT, T- T~— Jạg=~Ki -*=~Kạ—= từđó KịT—E ũ -K1=5 dx dx Ly L, , điều đó dẫn đến T, = Ap dung bang SỐ :
© tiếp xúc tay - gỗ: Tị tương ứng với 35,5° C
® tiếp xúc tay - thĩp : Tị ¡ tương ứng với 21,5” C
Vậy gỗ dường như có nhiệt độ của băn tay (không nóng, không lạnh), trong khí thĩp tổ ra lạnh khi sở nó 2) a) Đặt X = x lúc đó hăm f„(x,t) chỉ lă hăm của một biến X : Jat f(x, = 6(X) Từ đó : ôf, dậôX 2 yf x ——=————c _— ôt dX ôt 4x avans of, df, OX 2 “Dư os | ava ta ge ` Lop ae pen, OF Vay £, nghiĩm ding phuong trinh khuĩch tan nhiĩt ofa _„ x dX ox Ja Ot, | A (% )e- 2 ox d Ox / OX Va 2œ Of, ax? £(x,0 lă một hăm tăng theo x vă biến đôi giữa câc giâ trị : f(T-s,t)=—L vă f(+œ,f)=L vă đi qua giâ trƒ f;(0,)=0 kí it ates rer ror ret sss 1=0 h hoy >x : 9 Khi t ~ 0: f,(xt)—>—L đối với mọi x < 0 vă f(x,t)—>+1 đối voi moi x > 0,
b) Ham T(x,0)= A+ Bf, (x,0) la nghiĩm của phương trình khuếch
tan tuyến tính ; câc hằng số A vă B được xâc định sao cho T(x, 0) thỏa
mên câc điều kiện giới hạn T(0,1)= 1 vă T(—,1) =T,, từ đó : Tặ,t)=T7i+(~TỊ)f (x4) đối với x < 0)
©) Trong hình trụ khâc ta cũng có (chú ý câc dấu) :
Từ,0)=Ti~(—T,)1„ (x1) đối với x > 0
Trang 13Tai moi thời điểm bản có nhiệt độ hầu như đồng đều : (x, 1) ~ 60, ) Ở câc đầu của bản x = +d, nhiệt độ lă khâc với nhiệt độ của chất lưu T, một câch rõ rệt (tất nhiín trừ khi nếu t rất lớn),
Mă B nhỏ có nghĩa hd < K
e© K lă lớn (một câch tương đối) : việc tru yín nhiệt được thực hiện một cach dĩ dang 6 trong bản, điều năy giải thích nhiệt độ ở đó hầu như đồng đều tại mọi thời điểm
e h lă nhỏ (một câch tương đối) : việc tru yín nhiệt từ bản ra ngoăi lă khó khăn hơn, điíu năy giải thích T(d,U) # Tr e Khi B lớn n =F (xem cđu hỏi 3) c)), snm ~l vă sin2n =0 : et 460 re ia Z mỹ d
Câc kết luận trước đđy lă ngược lại : nhiệt độ tại một thời điểm cho
trước của bản biến đôi mạnh từ điểm năy đến điểm khâc (K tương đối
nhỏ) Ở câc đầu của bản nhiệt độ lă xấp xỉ bằng nhiệt độ của chất lưu vă điều đó xấy ra ngay từ đầu thí nghiệm (h tương đối lớn) 6(x,0)=— Ăô bot > 4 Blon c) a) pa! —2 62.102, K mị tam = B (xem cđu hỏi 3) c)) vă tan m = mị, từ đó m =/B=016 Ad, , ` Lo , B) aan = cos ~ 0,99 Nhiệt độ hđu như đông đều trong bản met _ git y) B lă nhỏ, vậy Ø(x, ) ~ Ø(0, t) = Oe đ, Thời gian r cần tìm nghiệm đúng Ø(0,z)= Ope ? =-] , từ đồ : d2 T= —ln-~@,) , nghĩa lă r = 224 an
9 1) Băi toân lă đối xứng trụ VẬy T có dạng T =T(r)} vă vectơ mật độ dòng nhiệt Th khi kí hiĩu 6, 1a vecto đơn vị xuyín tđm có thể được viết : + — dT x Jth = ~K grad T(r) = -K, we trong day dan ; r + — aT ;
jth =—Ky grad T(r) =—K, at trong vo
Ta xĩt thông lượng qua câc hình trụ đăi L va ban kinh r, va thực hiện Sự cđn băng năng lượng không quín rằng ở chế độ vĩnh cửu nhiệt độ
T không thay đối theo thời gian
e Trong vỏ (r >ñ;)
Ở chế độ vĩnh cửu, không có tích tụ năng lượng giữa hai hình trụ vă thông lượng nhiệt lă không phụ thuộc r : 2ZrLj(r)= đụ (hằng số) ; : QD Vă ý Ốc Từ đó ta suy r4 rp =-9 khi đặt ạ =—C vă bằng tích phđn : 2Zr L ƒ0_In| — |+-7(s) 2a Ky Ế Tí Cần kể đến công suất gđy bởi hiệu ứng JOULE Tựư)=— * Trong dđy dẫn (r < fh) Một hình trụ trong bân kính r có một điện trở R(r) = va duoc ơn? chạy qua bởi một dòng điện tỉ lệ với tiết diện của nó, vậy : ry n= 4] ñ
Ở chế độ vĩnh cửu, thông lượng nhiệt qua một hình trụ bân kính r bằng công suất tiíu tốn bởi hiệu ứng JOULE tủa ra bín ngoăi hình trụ đó : l 2 Yr Cae: 1 2zrLjp(r)= RŒ)1?0), urdd jy (r) “aa —, Ø LẦN 2 Bằng câch tích phđn, ta nhận được nhiệt độ trong dđy dẫn : 22 2 (=F tn) T(r) =- Kio ni
Việc còn lại lă xâc dinh nhiĩt d6 T(m) va hang số Wo Muĩn vay chỉ cần viết sự liín tục của thông lượng nhiệt qua câc hình trụ đăi L vă có câc bắn kính : °ˆr=n Ứa =2Zbjq(§)=2z5Đ(T(z)— Tạ), từđó T)=>2—+T; 2znh er=h Nhiệt độ lă liín tục tại r = n,, do tiếp xúc được giả sử lă lí tưởng : 2 2 1f 1 ñ [| 1 Vạ =2Z1/g()=2Zn saz 1 me} 2 Cony Poo 2) Tự)= +p =301K Ont 27h 2 1 4 TUR) = In 4), T() = 302,4K Ont 22K, f1 2 T00=— Re [xạ J + T0)<70)<304K, Kio ni
Ta thấy rằng nhiệt độ biến đổi rất ít trong câp điện 1 O 1) Ta xết câc khai triển có giới hạn của nhiệt độ : ©e ởbậc Ì của L:
Trang 14® Ở bậc 2 cửa x : 2 1Ø?7 Thiam = Tam "Oy — Ax re SAN) eT lLếT Them Tim Fax pray? TỪ đó ta suy ra : 2 Thatmt Tt = 27, nr (40 ax? eT KOT vă, bằng câch sử dụng phương trình khuếch tân nhiệt — = ——y: ot pe ax
T1, eee te = Ty m4) VOI dieu kiĩn lay (Ax) = 4 +T_ be ph pen ae K Như vậy bằng câch lặp lại liín tiếp ta có thể tính một giâ trị gần đúng của câc nhiệt độ của câc điím khâc nhau của thanh tại thời điím t =(m + l)Ât từ câc nhiệt độ của câc điím d6 6 thoi diĩm t= mAt Hệ thức tìm được trước đđy rõ răng lă có giâ trị níu ta biíu diễn câc nhiệt độ băng độ CELCIUS : Pn 41m + Ổn_Im 2 mì = 2) Ax= 10ˆm dẫn đến At=0,5s , từ đó ta có bằng với câc nhiệt độ bằng độ CELSIUS : “lgl 11213141516 171519110 m 0 ] 01001100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 0 1 |0} 50 | 100] 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | s0 | 0 2 |0{ 50} 75 | 100} 100} 100} 100 | 100} 75 | 500 3 | 0 137,51 75 187,51 100 | 100 | 100 (87,5! 75 |37,5| 0 4 | 0[37,5|62,5|87,5193,7| 100 | 93,7 [87,5 | 62,5 137,51 0 5 | 0 131,2/62,5} 78 |937|937|937| 78 162.5] 31,21 0 6 |0|31/2|546] 78 |85,8|937|858| 78 |546|312| 0 7 |0 |2731546|70,2|85,8 |85,8|85,8|702|54/6|2723| 0 § |0|273|487|702| T8 |$58| 78 |702|487|273| 0 9 |0|243|487|633| 78 | 78 | 78 |623|4871243| 0 10 |0|243|438|63.3|70/6| 78 |70,6|63,3|43,8|243| 0 Đồ thị biểu diễn sự phđn bố nhiệt độ trong thanh tại câc thời điểm tị =2,5 s (m= 5) vă t› =5 s (m = 10), ộ 100 Chú ý : — hy|m +ỔN_lm n,m+) — 2 Angônt sử dụng 8 với Ơn m= Ø(nđx, mAI) ` 2 2K NA”, sd 2 ~ 4 z vă Axˆ =——= AI, lă ôn định, điíu đó có nghĩa câc sai số do tính pe
gần đúng lă nhỏ khi lặp lại nhiều lần
11 1) Sự biến đối của nhiệt độ Tựx, 1) trong vật liệu đăi | 1a
nghiệm của phương trình vi phđn TS = pot, ñ
ot ax pe
câch phđn tích thứ nguyín ta có thể lăm xuất hiện một thời gian đặc
= Ễ -?£
D K
tung T= gan cỡ 1000s Sau một số To chế độ vĩnh cửu được thiết lập nghĩa lă sau khoảng hai hay ba giờ Phải đợi đến
thời gian đó để tiến hănh câc đo đạc
Thông lượng thể tích lă văo cỡ 0, 5cm sˆ, nghĩa lă tốc độ chảy văo cỡ
D -| « „ ows 2 Se eg,
ve = =0,2ms L Ông có L = 50cm chiều dăi, có tôn tại một thời ad
gian đặc tmg L văo cỡ 3s Chế độ chảy vĩnh cửu sẽ nhận được nhanh
hơn nhiều chế độ vĩnh cửu liín quan đến việc thiết lập nhiệt độ
Vậy phải chờ câc chế độ vĩnh cửu trong khoảng 3 giờ vă theo dõi trong khoảng thời gian đó để giữ câc mức nước hầu như không đổi
2) Trong thanh sẽ thiết lập một chế độ vĩnh cửu : nhiệt độ biến đổi
theo hăm của câc tọa độ không gian trín chiều dai 1 của thanh Građiín của nhiệt bằng hằng số đó lă nguôn gốc của một thông lượng nhiệt có thể được đo nhờ lưu lượng nước đi qua trong ống xoắn Graiín nhiệt độ lă bằng ñ , điều đó lăm xuất hiện một mật độ Tị— dòng nhiệt ƒạ = K 5 , vậy xuất hiện một thông lượng nhiệt : T—T xả” l Ở chế độ vĩnh cửu công suất năy bị hấp thụ bởi lưu lượng nước Pak P = Pysel yD, (F, — Tạ) Điều đó cho ta : nưcCpD,„Œ — Tạ) = Ki _ ˆ nghữ l T,-T, 4 K= “ướt phụ 7, -T, rae c,D,iA-— 1 3) Việc âp dụng bằng số cho : K=33§Wm K1
nghĩa lă K = 340 W.m"L.K~Ì, Ở thí nghiệm năy, thực tế có thể thực hiện được, giâ trị chờ đợi lă K =390W.m"!K"T,
Câc khó khăn của thí nghiệm năy như sau :
ø Khó biết được liệu chế độ vĩnh cửu đê được thiết lập một câch đúng đắn chưa ;
® Việc xâc định câc nhiệt độ khâc nhau có đủ chính xâc không ? Vấn đề năy được đặt ra trước hết với T, vă T, mă đối với chúng khoảng
cach rđt nhỏ níu lưu lượng DỊ, lă quâ lớn ;
© Sự tiếp xúc giữa ống xoắn vă thanh có tốt không ?
e Một khó khăn thứ tư, không kiểm soât được lă lăm giảm tối thiểu
câc mật mắt nhiệt
Trang 15
Ne” ae yr? THE NHIET DONG Mở đầu
Việc nghiín cứu trường của câc lực bảo toăn đê cho phĩp đưa văo khâi niệm thế năng của một hệ cơ học (xem H-Prepa Ca hoc I, năm thứ nhất, chương 3) Đại lượng đó biểu diễn năng lượng mă hệ có thể tích tụ hoặc tỏa ra trong quâ trình chuyển động của nó
Thế năng trong trọng trường vă thế năng đăn hồi (lò xo) về mặt ôó lă có ý nghĩa
Đối với một cơ hệ biến đổi đối với một cơ năng
không đổi, việc nghiín cứu câc biến đổi của thế
năng lăm xuất hiện câc chuyển động "cho phĩp” vă câc chuyển động "bị cấm" đối với cơ hệ nghiín cứu Câc vị trí cđn bằng của hệ được cho bởi câc cực trị - câc đính vă câc giếng — của thế năng Ching ta sĩ dua vao câc hăm nhiệt động mới mă độ biến thiín của chúng sẽ cho phĩp dự bâo chiều biến
đổi của hệ kín nghiín cứu, tầy theo câc điều kiện thí nghiệm được âp đặt cho chúng Câc hăm số đó chỉ có thể giảm ở quâ trình biến đổi tự phât của một hệ nhiệt động kín ; chúng cho phĩp dự bâo được trạng thâi cđn bằng của hệ (vă sự ổn định có thể xẩy ra) Như vậy chúng rất tương tự với thế năng của một hệ cơ học Chúng có tín lă thế nhiệt động vă được đưa văo ở thế ki XIN bởi nhă bâc học Mỹ J.W GIBBS (I839 — 1904) va nhă bâc học Đúc H VON HELMHOLTZ (1821 — 1894) Muc TtTieĩu M Diĩu kiĩn biĩn d6i cha mot hĩ nhiĩt dong kin B Thĩ nhiĩt dong F* va G* Công nhận được đối với câc biến đổi đẳng nhiệt vă đẳng nhiệt đẳng âp
§ Năng lượng tự do #'; entanpI tự do Ớ
ĐIỀU CẦN BIẾT TRƯỚC
Ĩ Nguyín lí I, cđn bằng năng lượng Ĩ Nguyín li II, can bang entropi B CAc biĩn dĩi ding nhiĩt va dang ap
Trang 164 Nhac lai
1.1 Cđn băng entrôpi
Cđn bằng entrôpi giữa hai trạng thâi của một hệ nhiệt động kín được viết : AShe = — “ “trao adi + Kao ra‘
EF so
Entrôpi trao đổi ⁄24o gói = [ po biểu diễn sự trao đổi nhiệt của môi
ET e
trường ngoăi có nhiệt độ 7, cho hệ nghiín cứu
Entrôpi tạo ra Z{aora lă luôn luôn dương đối với một biến đổi thực (bất thuận nghịch) vă bằng không đối với một biến đổi lí tưởng thuận nghịch Dấu của đại lượng cuối cùng năy cho ta chiều của sự biến đổi của hệ nghiín cứu Tuy nhiín Ayo pq chi thể hiện sự biến đổi của một hăm trạng thâi của hệ trong trường hợp biến đổi của một hệ cô lập vẻ nhiệt : ⁄1Spa = Ago ra - Trong mọi trường hợp khâc, dấu của độ biến thiín entrôpi của hệ có thể lă ˆ dương hoặc đm vă tiíu chuẩn biến đổi đó lă không liín kết gì với một
hăm trạng thâi của hệ
1.2 Cđn băng năng lượng
Chúng ta hêy quan tđm đến một hệ kín chỉ chịu tâc dụng của câc lực âp suất Trong câc điều kiện đó, ở một biến đổi vô cùng nhỏ, công nguyín tố của câc lực đó có thể được viết Wy suạc =—,dV, trong đó ?, lă âp suất
của câc ứng lực bín ngoăi (ta nhắc lại thoạt đầu Ð z P)
Nếu tổng động năng vĩ mô vă thế năng của câc ngoại lực lă hằng số, độ biến thiín năng lượng tổng cộng của hệ chỉ lă độ biến thiín nội năng của nó
Thực vậy, iồng cong = U+€vimo + @P ngoai , nghĩa lă :
A đảng cộng — AU + &vi mo + ẾPngoăi ) = AU + A(ẾK vĩ mô † Ếpngoăi ) =AU
Âp dụng nguyín lí I lúc đó cđn bằng năng lượng có dạng :
EF
Aĩiĩng cong = 4U =W+Q=- | P,dV+Q
^ Hệ kín câch nhiệt
Hệ biến đổi không trao đổi nhiệt với môi trường bín ngoăi : biến đổi nguyín tố, sự truyền nhiệt lă bằng không, 5Q =
Nếu câc điều kiện ban đầu không phải lă câc điều kiện của sự cđn bằng, hệ sẽ biến đổi theo sự cđn bằng entrôpi đê nhắc lại trín đđy
Trong trường hợp của chúng ta đối với một biến đổi vô cùng nhỏ năo đó, độ biến thiín entrôpi chỉ bằng :
trong một
vua dQ
She = OK a9 ra › Vì tăng ở trạo đổi Tb! =0
ĩ
* do SAgo rq lă luôn dương đối với một biến đổi thực, hăm trạng thâi entrôpi S chi có thể tăng trong quâ trình đó ;
*° hệ ở trong một trạng thâi cđn bằng nếu mọi biến đổi tự phât lă không