[Điện Tử] Tự Động Hóa, Tự Động Học - Phạm Văn Tấn phần 6 docx

Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn ( + a c(t) = b dnr(t) + b dn−1r(t) +L dct) dn−1c(t) dnc(t) + a1 n−1 +L+ an−1 n dtn−1 dtn dt dt dtn dr(t) L+ bn−1 + bnr(t) dt (4.13) Trong trường hợp này, hệ thức biến trạng thái phải chứa r(t) Các biến trạng thái định nghĩa sau: x1 (t ) = c(t ) − b r(t ) & x (t ) = x1 (t ) − h 1r(t ) M (4.14) M & x k (t ) = x k − (t ) − h k r(t ) (k = 2,3,L, n) Với giá trị : h = b1 − a 1b h = (b − a b ) − a h h = (b − a b ) − a h − a h hk M = (b k ) (4.15 ) M − a k b − a k −1 h − a k − h − L − a h k −1 − a h k Dùng (14) (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái sau dạng bình thường : & x1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t ) & x2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t ) M (4.16) M & xn − (t ) = xn (t ) + hn − 1r (t ) & xn (t ) = −an x1 (t ) − a n − x2 (t ) − L − a xn − (t ) − a1 xn (t ) + hn r (t ) Phương trình output, có từ biểu thức thứ của(4.14): C( t ) = x (t ) + b r(t ) Chương IV: Trạng thái hệ thống (4.17) Trang IV.5 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn III SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI Những phương trình trạng thái hệ thống động viết dạng ma trận, để sử dụng ma trận để trình bày hệ phức tạp làm cho phương trình có dạng đơng Phương trình (4.1) viết dạng ma trận đơn giản sau: & X(t ) = f [X(t ), R(t )] = AX(t ) + BR(t ) (4.18) Trong X(t) ma trận cột biểu diễn biến số trạng thái gọi véctơ trạng thái R(t) ma trận cột, biểu diễn input gọi véctơ input ⎡ x (t ) ⎤ ⎢ ( )⎥ x t X (t ) = ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x n (t )⎦ ⎡r1 (t ) ⎤ ⎢r (t )⎥ ⎥ R(t ) = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢rp (t )⎥ ⎣ ⎦ (4.19) A ma trận vuông n x n : ⎡ a 11 a n L a n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ a 21 a 22 L a n ⎥ A = ⎢L L L L L L L L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a n a n L a nn ⎥ ⎣ ⎦ B ma trận n x p (4.20) (vì có p input r ) ⎡ b 11 b 12 L L b p ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ b 21 b 22 L L b p ⎥ B = ⎢ LLLLLLL⎥ ⎢ ⎥ ⎢ b n b n L L b np ⎥ ⎣ ⎦ (4.21) Tương tự vậy, q phương trình (4.2) có thê trình bày ma trận C(t ) = g [X(t ) + R(t )] = DX(t ) + ER(t ) (4.22) Trong D ma trận q x n E ma trận q x p Thí dụ, phương trình trạng thái phương trình (4.11) viết dạng ma trận: Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.6 Cơ Tự Động Học nx1 ⎡ x (t ) ⎤ & ⎥ ⎢ ⎢ x (t ) ⎥ &2 Phạm Văn Tấn nxn ⎥ ⎢ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ & ⎢ x n (t )⎥ ⎦ ⎣ = nx1 0 LL ⎤ ⎡0 ⎥ ⎢0 0 LL ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 LL ⎥ ⎢ ⎥ ⎢LLLLLLLLL ⎥ ⎢0 0 0 LL ⎥ ⎢ ⎢ − a n − a n −1 LLLLLL − a ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ x (t ) ⎤ ⎢ ( )⎥ ⎢x1 t ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x n (t )⎥ ⎣ ⎦ nx1 ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥r ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ + (t ) (4.23) Khi so sánh phương trình (4.23) với phương trình (4.18), ma trận A B đồng dễ dàng Trường hợp này, phương trình output (4.22) phương trình vơ hướng D = [1 0 L 0] (4.24) Và E = (ma trận không ( 4.25 ) Tương tự ma trận A, B,C,D phương trình (4.13) A = B = D = E = 0 LL ⎤ ⎡0 ⎢0 0 LL ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 LL ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢LLLLLLLLL ⎢0 0 0 LL ⎥ ⎥ ⎢ ⎢− a n − a n −1 LLLLLL − a ⎥ ⎦ ⎣ ⎡h ⎢ ⎢h ⎢M ⎢ ⎢h n ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ [1 [b ] (4.26) (4.27) L 0] (4.28 ) (4.29) IV VÀI THÍ DỤ Thí dụ 4.1: Xem hệ thống tuyến tính, có hàm chuyển cho bởi: G(S) = C(S) = R (S) S + 8S + 9S + (4.30) Phương trình vi phân tương ứng diển tả hệ thống là: Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.7 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn d 3c d 2c dc +8 +9 + 2c = 5r dt dt dt (4.31) Các biến số trạng thái định nghĩa: x (t ) = c (t ) & x (t ) = x (t ) & x (t ) = x (t ) & x (t ) = − x − x − x + r (4.32) Do hệ thống diễn tả ma trận: & X = AX + BR Với (4.33) (4.34) C = DX + ER ⎡ ⎤ A=⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − 8⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 ⎤ R = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢r ⎥ ⎣ ⎦ B= ; ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣ ⎡x1 ⎤ X = ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ ⎦ ; D = [1 0] ; 0⎤ 0⎥ ⎥ 5⎥ ⎦ 0 ; & ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ & & X = ⎢x ⎥ ⎢x ⎥ ⎣&3⎦ E=0 Thí dụ 4.2: Xem hệ thống điều khiển H.4.2 Hàm chuyển vịng kín hệ là: R(S) + S (S + 1) - C(S) = R (S) S + S + C(S) Hình 4.2 (4.35) Phương trình vi phân tương ứng d c dc + + 2c = r dt dt Chương IV: Trạng thái hệ thống (4.36) Trang IV.8 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Các biến trạng thái: x1 = c & x1 = x & x = −2x1 − x + 2r (4.37) Vậy hệ thống diển tả hệ thống véctơ: & X = AX + Br (4.38) C = DX+Er Trong : ⎡ A=⎢ ⎣− D= [1 1⎤ − 1⎥ ⎦ ⎡x1 ⎤ X=⎢ ⎥ ; ⎣x ⎦ ⎡0 ⎤ B=⎢ ⎥ ; ⎣ 2⎦ & ⎡x1 ⎤ & ⎥; ⎣x ⎦ & ; X=⎢ 0] Thí dụ 4.3 : Xem mạch RLC H 4.3 il nguon dong r(t) vc ic L C R v0 Trạng thái hệ mơ tả tập hợp biến trạng thái x1 = vc(t) ( 4.39) ( 4.40) x2 = iL(t) Đối với mạch RLC thụ động, số biến số trạng thái cần thiết với số phận tích trữ lượng độc lập Các định luật Kirchhoff cho: ic = c dv c = r(t)− iL dt di L = − Ri dt L L (4.41) + vC (4.42) (4.43) Output hệ : v0 = RiL Viết lại(4.41) (4.42) tập hợp phương trình vi phân cấp 1: • dv c 1 = − x + r(t) dt C C R = x1 − x2 L L x1 = x • Tín hiệu c(t) = v0 = Rx2 Chương IV: Trạng thái hệ thống (4.44) (4.45) (4.46) Trang IV.9 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Dùng phương trình (4.44), (4.45), (4.46) điều kiện đầu mạch x1(t0), x2(t0) ta xác định trạng thái tương lai mạch tín hiệu Dưới dạng véctơ, trạng thái hệ trình bày: • X = AX + Br C = DX + Er Trong đó: A= L C R ; − L − ⎡x ⎤ X = ⎢ 1⎥ ⎣x ⎦ ⎡1⎤ B = ⎢ C ⎥ ; D = [0 ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ X = ⎢ x1 ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ ⎦ R] ; ; E=0 Lưu ý biến trạng thái hệ thống Tùy theo cách chọn lựa, có tập hợp khác biến trạng thái V ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI Đồ hình truyền tín hiệu mà ta nói chương áp dụng cho phương trình đại số Ở đây, ta đưa vào phương pháp đồ hình trạng thái, mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mơ tả phương trình trạng thái ,và phương trình vi phân Ý nghĩa quan trọng đồ hình trạng thái tạo liên hệ kín phương trình trạng thái, mơ máy tính hàm chuyển Một đồ hình trạng thái xây dựng theo tất qui tắc đồ hình truyền tín hiệu Nhưng đồ hình trạng thái dùng để giải hệ tuyến tính giải tích máy tính Trở lại mạch RLC ví dụ 4.3 Để diễn tả đồng lúc phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta dùng giãn đồ hình trạng thái hình H.4_4 sau : -R/L 1/C r 1/S x1 1/L 1/S x1 x2 R x2 v0 -1/C H.4_4 Ở đó, 1/s lấy tích phân Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.10 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Dùng công thức Mason độ lợi tổng quát, ta có hàm chuyển: V0 (S) R / LCS R / LC = = R (S) + ( R / LS) + (1 / LCS ) S + ( R / L)S + / LC (4.48) Nhưng rủi thay, hầu hết mạch điện, hệ thống điện hay hệ điều khiển không đơn giản mạch RLC đây, thường khó xác định tập hợp phương trình vi phân cấp diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản ,ta thường chuyển hóa kiểu mẩu trạng thái từ hàm chuyển Một cách tổng quát hệ mô tả hàm chuyển sau: C(S) Sm + b m−1Sm−1 + + b1S + b G (S) = = R (S) Sn + a n −1Sn −1 + + a 1S + a (4.49) Ở n>=m hệ số a thực dương Nếu nhân tử mẫu cho S-n ta được: G (S) = S−( n −m ) + b m−1S− ( n −m+1) + + b1S− ( n −1) + b 0S− n + a n −1S−1 + + a 1S−( n −1) + a 0S−n (4.50) Công thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dàng tử số tổng độ lợi trực tiếp, mẫu số tổng độ lợi vòng hồi tiếp Ta viết lại công thức Mason C(S) = T = R(S) ∑p Δ i i i (4.51) Δ Nếu tất vòng hồi tiếp chạm tất đường trực tiếp chạm vòng hồi tiếp (4.51) thu lại ∑P T= 1− ∑ P i i j1 = Tổng lợicác độ đường tiếp trực 1− Tổng lợicác độ vòng tiếp (4.52) hồi j Thí dụ 4.4 : • Trước hết xem hàm chuyển hệ thống cấp 4: G (s) = b0 C(s) = R (s) s + a s + a s + a 1s + a (4.53) b0s −4 C(s) G(s) = = R(s) + a 3s −1 + a 2s −2 + a1s −3 + a 0s Vì hệ thống cấp 4, ta định nghĩa biến trạng thái (x1,x2,x3,x4) Gợi ý từ cơng thức Mason, ta tháy mẫu số (4.53) xem cộng với độ lợi vòng, tử số hàm chuyển với lợi đường trực tiếp đồ hình Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.11 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân với cấp số hệ thống Vậy cần lấy tích phân lần 1/S 1/S • • R(s) • • X4 • X 1/S • X • • X3 1/S • X • X2 • • X • X1 • C(s) H.4-5 Ghép nút lại Nhớ • • • x = x2 , x2 = x3 , x3 = x4 Ta có đồ hình trạng thái (4.53) R(s) • X4 1/S - a3 x4 • X3 x3 1/S • X2 1/S x2 1/S • X1 x1 b0 C(s) - a2 - a1 - a0 H.4_6 Thí dụ 4.5 : • Bây ta xem hàm chuyển cấp tử số đa thức theo S: b3 s3 + b2 s2 + b1s1 + b0 G(s) = s + a3 s3 + a2 s2 + a1s + a0 b3 s−1 + b2 s−2 + b1s−3 + b0 s−4 G(s) = + a3 s−1 + a2 s− + a1s−3 + a0 s4 (4.54) (4.55) Tử số G(s) tổng độ lợi đường trực tiếp công thức Mason Đồ hình trạng thái (ĐHTT) vẽ hình H.4_7 Trong độ lợi đường trực tiếp b3/s; b2/s2; b1/s3 b0/s4 Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.12 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn b3 C(s) b2 R(s) • X4 x4 • X3 1/S 1/S x3 1/S • X x2 • X1 1/S b1 x1 b0 - a3 - a2 - a1 -a H.4_7 Từ ĐHTT, ta suy tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái hệ: • x1 = x2 (4.56) • x2 = x3 • x3 = x4 • x4 = - a0x1 - a1x2 - a2x3 - a3x4 + r Ngồi ra, phương trình output C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57) Từ đo, dạng ma trận, ta có: • X = AX + Br ⎡ x1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ d ⎢x ⎥ ⎢ = dt ⎢ x ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x ⎥ ⎣ − a0 ⎣ ⎦ 0 − a1 − a2 output là: C( t ) = D X + E r Chương IV: Trạng thái hệ thống ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ r (t ) ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢0⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − a3 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣ ⎦ (4.58) (4.59) Trang IV.13 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn C ( t ) = [b b1 ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ b3]⎢ 2⎥ ⎢x3⎥ ⎢ ⎥ ⎣x ⎦ b2 (4.60) • Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ hìmh H.4_7 khơng phải Ta xem hình H.4_8 b2 b3 b1 • X3 1/S • ` b0 X4 1/S R(s) • X2 1/S • X11/S x11 - a3 C(s) - a2 - a1 - a0 H.4_8a • • x 1/S X2 • • x1 H.4_8b Từ ĐHTT hình H.4_8a, ta có tập hợp phương trình trạng thái : C ( t ) = x (t ) • x1(t) = - a3 x1 + x2 + b3 r • x2(t) = - a2 x1 + x3 + b2 r • x3(t) = - a1 x1 + x4 + b1 r (4.61) • x4(t) = - a0 x1 + b0 r Để viết phương trình (4.61a), ta tham khảo hình H.4_8b Giữa hai nút • • , ta x x thêm nút x2 Các phương trình khác làm tương tự Đồ hình H.4_8a trình bày hàm chuyển đồ hình H.4_7 Nhưng biến trạng thái đồ hình khơng giống Thí dụ 4.6 : • Ta xem hệ thống điều khiển hình H.4_9 dùng ĐHTT để xác định trạng thái hệ + 2(s + 1)(s + 3) Chương IV: Trạng - hái hệ thốngs(s + 2)(s + 4) t R(s) G (s ) = C(s) Trang IV.14 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn H.4_9 Hàm chuyền vịng kín hệ : C(s) 2s + 8s + = R (s) s + 8s + 16s + (4.64) Nhân tử mẩu với s-3 : C 2s −1 + 8s −2 + 6s −3 = R + 8s −1 + 16s −2 + 6s −3 (4.47) Đồ hình ,trạng thái cho hình H.4_10 R(s) • X3 • • S- X2 S- X1 x2 -8 x3 S- C(s) -16 -6 H.4_10 Từ đồ hình suy phương trình trạng thái • x1 = x2 • x2 = x3 (4.66) • x3 = - 6x1 - 16x2 - 8x3 + r Và phương trình output : C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 Dưới dạng ma trận : 0⎤ ⎡0 ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ X + ⎢0⎥ r (t ) X= ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − 16 − 8⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.67) • (4.68) Và Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.15 Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn C(t ) = [6 2] X (4.69) Với ⎡ x1 ⎤ X = ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ • ⎤ x ⎢ •1⎥ • X = ⎢ x2 ⎥ ⎢ • ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Chương IV: Trạng thái hệ thống Trang IV.16 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Chương V: MƠ HÌNH HỐ CÁC HỆ THỐNG VẬT LÝ • • ĐẠI CƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC HỆ THỐNG CƠ KHÍ Chương V Mơ Hình Hóa Các Hệ Thống Vật Lý Trang V.1 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn I) ĐẠI CƯƠNG Một công việc quan trọng việc phân giải thiết kế hệ tự kiểm mơ hình hóa hệ thống Ở chương trước, ta đưa vào số phương pháp mơ hình hóa hệ thống thơng dụng Hai phương pháp chung hàm chuyển phương trình trạng thái Phương pháp hàm chuyển có giá trị hệ tuyến tính, khơng đổi theo thời gian Trong phương trình trạng thái, phương trình vi phân cấp dùng mơ tả hệ tuyến tính phi tuyến Vì thực tế, tất hệ vật lý phi tuyến vài phạm vi hoạt động Nên để sử dụng hàm chuyển chuyển phương trình trạng thái tuyến tính, hệ thống phải tuyến tính hố, hoạt động phải hạn chế vùng tuyến tính Dù phân giải thiết kế hệ điều khiển tuyến tính phát triển tốt, cho hệ phi tuyến thường phức tạp Kỹ thuật điều khiển thường phải xác định không việc để mơ tả xác hệ thống cách tốn học, mà phải, quan trọng hơn, để đặt giả thuyết đúng, phép tính xấp xỉ (nếu cần thiết) cho hệ thống đặc trưng hóa cách tương xứng mơ hình tốn học tuyến tính Thật quan trọng để thấy rằng, kỹ thuật điều khiển đại phải dựa mơ hình hố hệ thống cho vấn đề phân giải thiết kế phù hợp với lời giải nhờ máy tính Như vậy, chủ đích chương là: - Để chứng tỏ mơ hình hố tốn học hệ thơng điều khiển phận - Để chứng tỏ cách mơ hình hố dẫn đến lời giải máy tính II PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC MẠCH ĐIỆN Phương pháp cổ điển để viết phương trình mạch điện đặt sở hai định luật nút vòng kirchhoff Tuy hai định luật đơn giản phương trình kết khơng tự nhiên máy tính Một phương pháp để viết phương trình mạch điện phương pháp biến trạng thái Vì mạch điện phần lớn hệ tự kiểm khơng phức tạp lắm, ta trình bày ở mức độ giới thiệu Những lý giải chi tiết phương trình trạng thái cho mạch điện tìm giáo trình lý thuyết mạch + L R i(t) + e(t) C ec(t) - - H.5_1 Chương V Mơ Hình Hóa Các Hệ Thống Vật Lý Trang V.2 ... • X3 • • S- X2 S- X1 x2 -8 x3 S- C(s) -1 6 -6 H.4_10 Từ đồ hình suy phương trình trạng thái • x1 = x2 • x2 = x3 (4 .66 ) • x3 = - 6x1 - 16x2 - 8x3 + r Và phương trình output : C(t) = 6x1 + 8x2 +... Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn H.4_9 Hàm chuyền vịng kín hệ : C(s) 2s + 8s + = R (s) s + 8s + 16s + (4 .64 ) Nhân tử mẩu với s-3 : C 2s −1 + 8s −2 + 6s −3 = R + 8s −1 + 16s −2 + 6s −3 (4.47) Đồ hình... Văn Tấn b3 C(s) b2 R(s) • X4 x4 • X3 1/S 1/S x3 1/S • X x2 • X1 1/S b1 x1 b0 - a3 - a2 - a1 -a H.4_7 Từ ĐHTT, ta suy tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái hệ: • x1 = x2 (4. 56)