BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM CỤM SƯ PHẠM TRUNG BẮC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm) Dãy số ( ) 1,2,3, n xn= được xác định bằng công thức ( ) 12 12 ,,3,4, 2 nn n xx xaxbxn −− + ==== Tìm lim n x x →+∞ . Câu 2: (2 điểm) Giả sử () fx có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và với , xh bất kỳ ta có đồng nhất thức ()().'() 2 h fxhfxhfx+−≡+ Chứng minh rằng 2 () fxaxbxc =++ , trong đó , ab và c là các hằng số. Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (), yfxx =∈ ¡ đối xứng với hai trục thẳng đứng xa = và () xbba => thì () fx tuần hoàn. Câu 4: (2 điểm) Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính sau: 1234 1234 1234 1234 32543 23685 692011 (4)3 xxxx xxxx xxxx xxxmx +++= +++= −−−=− −++++= Câu 5: (2 điểm) 1. Tìm đa thức bậc bốn () fx biết rằng: 3 ()(1) fxfxx −−= 2. Tìm đa thức có bậc nhỏ nhất của vành [ ] Rx sao cho nhận 12 i + là nghiệm đơn và i là nghiệm kép. ____________________________Hết___________________________ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM CỤM SƯ PHẠM TRUNG BẮC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN CHẤM THI OLYMPIC TOÁN HỌC Câu Lời giải Điểm Câu 1 (2 điểm) * Xét 1212 11 22 kkkk kkk xxxx xxx −−−− −− +− −=−=− Vậy ta có 21 2132 ,, 22 xxba xxbaxx −− −=−−=−=− 32 431 2 , ,(1).(3,4, ) 242 n nn n xxbaba xxxxn − − −−− −=−=−=−= * Suy ra 121321 ()() () nnn xxxxxxxx − =+−+−++− 2 22 2 () (1). 242 () 36612 2()(1)(1) 3232 2()(1) . 332 n n nn nn n n bababa aba babababa aba baba baba a − −− − −−− =+−−+−+− −−−− =+−−−++−+ −−−− ++ −−− =++ * Do đó, 2 2()().(1)2 limlim 33.23 n n n xx babaab xa − →+∞→+∞ −−−+ =++= 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2 (2 điểm) * Lấy đạo hàm của ()().'()(1) 2 h fxhfxhfx+−≡+ theo h ta được: '().''()'() 222 hhh fxhfxfx +≡+++ thay 2 h x =− đồng nhất thức trên ta được: '().''(0)'(0)(2) 22 hh fff≡+ * Thay 0 x = vào (1) ta nhận được đồng nhất thức: 0,5 0,5 ().'()(0)(3) 2 h fhhff≡+ * Thay (2) vào (3) ta được 2 ''(0) () '(0)(0), 2 f fhhhffh ≡++∈ ¡ * Kí hiệu ''(0) ,,'(0),(0) 2 f hxafbfc ==== , ta được biểu diễn của 2 () fxaxbxc =++ . Suy ra đpcm 0,5 0,5 Câu 3 (2 điểm) * Theo giả thiết, ta có ()()(1), fatfat −=+ ()()(2),, fbxfbxtx −=+∈ ¡ * Trong đẳng thức (2), ta đặt bxat −=− . Khi đó, ()(2)(3) fatftba −=+− * Từ (1) và (3) ta có (2)()(4) ftbafat +−=+ * Giả sử atx += . Khi đó, từ (4) ta có (22)() fxbafx +−= . Từ đó suy ra đpcm, trong đó 22 ba − là chu kỳ. 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 (2 điểm) * Ma trận bổ sung ° 32543 23685 1692011 11143 A m =↔ −−−− −+ 16920111692011 32543020326436 23685015244827 11143058168mm −−−−−−−− ↔↔↔ −+−−−− 16920111692011 058169058169 01524482700000 0581680001 mm −−−−−−−− ↔↔ −−−− * Hệ đã cho tương đương với hệ phương trình: 1234 234 4 692011 58169 1 xxxx xxx mx −−−=− ++= = * 0: m = hệ vô nghiệm 0,5 0,5 0,5 * 0 m ≠ : hệ có vô số nghiệm 42313 1916843 ,, 5555 mm xxxxx mmm −− ==−=− hay 3333 4391681 ,,,; 5555 mm xxxx mmm −− −− tuỳ ý. 0,5 1. (1 điểm) * Giả sử () fx có dạng 432 () fxaxbxcxdxe =++++ Ta có 432 (1)(1)(1)(1)(1) fxaxbxcxdxe −=−+−+−+−+ suy ra 32 ()(1)4(36)(432) fxfxaxbaxabcxbacd −−=+−+−++−−+ * Theo giả thiết, ta có: 322 4(36)(432) axbaxabcxbacdx +−+−++−−+= suy ra: 1 4 41 1 360 2 4320 1 0 4 0 a a ba b abc c bacd d = = −= = ⇔ −+= = −−+= = Vậy 432 111 ()( 424 fxxxxee =+++ tuỳ ý) 0,5 0,5 Câu 5 (2 điểm) 2. (1 điểm) * Gọi đa thức cần tìm là () fx . Vì [ ] () fxRx ∈ và nhận 12 i + là nghiệm đơn, i là nghiệm kép nên () fx chia hết cho các biểu thức sau: [ ] [ ] 2 (12)(12)25; xixixx −+−−=−+ [ ] 2 22 ()()(1) xixix −+=+ * Vì () fx có bậc nhỏ nhất nên () fx có dạng: 222* ()(1)(25),fxaxxxa =+−+∈ ¡ 0,5 0,5 . NAM CỤM SƯ PHẠM TRUNG BẮC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm) Dãy số ( ) 1,2,3, n xn= được xác. HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM CỤM SƯ PHẠM TRUNG BẮC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN CHẤM THI OLYMPIC TOÁN HỌC Câu Lời giải Điểm Câu 1 (2 điểm) * Xét 1212 11 22 kkkk kkk xxxx xxx −−−− −− +− −=−=−. biểu diễn của 2 () fxaxbxc =++ . Suy ra đpcm 0,5 0,5 Câu 3 (2 điểm) * Theo giả thi t, ta có ()()(1), fatfat −=+ ()()(2),, fbxfbxtx −=+∈ ¡ * Trong đẳng thức (2), ta đặt